精品解析：河南省南阳市唐河县第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学周测试题（12.27）

周测试题（12-27） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，利用交集和补集求出答案. 【详解】， 令得，令得，令得， 故， ， 所以. 故选：D 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限， 故选：B 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 方程有两个相异实根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，曲线与直线有2个交点，数形结合求得k的范围. 【详解】原方程可化为有两个相异实根， 由化简得到，表示以为圆心，以2为半径的上半圆，由可化为，直线过定点， 如图所示， 方程有两个相异实根，可化为过定点的直线与半圆有两个交点， 设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当，直线与半圆有两个交点， AD与半圆相切时，，解得，又， 所以. 故选：C 5. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数表达式，然后确定的表达式，进而利用和差角和倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为. 当时，取最大值为5. 此时，所以. 化简得. 由于，化简得，解得， 所以或. 因为，所以在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以，所以. 故选：C. 6. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 8. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（    ）种. A. 450 B. 540 C. 720 D. 1080 【答案】B 【解析】 【分析】利用分组分配法可求解. 【详解】将甲、乙、丙等六名教师按1，2，3分为三个组共有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校共有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按2，2，2分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按1，1，4分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为28 D. 方差为52 【答案】BD 【解析】 【分析】由两组数据的平均数、方差计算公式即可求解； 【详解】， 故选：BD 10. 抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出，即可判断D. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确； 对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立， 整理得，，即， 所以， 所以，， 所以， 不能确定什么时候最小，则D错误. 故选：BC 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项A的正误；根据三棱锥的体积公式，判断选项B的正误；根据向量法求线面角，判断选项C的正误；根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项D的正误；判断结果即可. 【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面， 根据三垂线定理可知， 因为，所以平面，所以A选项正确； 对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的， 所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示： 则，设， 所以，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 当时，可得， 化简得，解得或（舍）， 所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，可知， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某同学记录了自己高三8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为_______． 【答案】125 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】从小到大排序：115, 117, 119, 125, 126, 129, 130, 132， 由， 向上取整得到4，因此第 40 百分位数是排序后的第 4 项数据：125. 故答案为：125. 13. 已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系以及点的坐标可求得直线的方程，与抛物线联立由向量数量积为0计算可得； 【详解】由可得，由可得； 所以直线的方程为，即； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得， 即； 所以， 解得； 故答案为： 14. 双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为________ 【答案】或 【解析】 【分析】当直线交双曲线两支时，不妨设双曲线的焦点在轴，设过的直线与圆相切于点，则在、中应用正弦定理可得，再结合双曲线定义可得，再运用余弦定理可得，进而可求得离心率；当直线交双曲线一支时，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解离心率. 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为， 不妨设双曲线的标准方程为，则， 设过的直线与圆相切于点，则在中，， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， 又， ， 在中，， 即， 化简得，即. 当直线与双曲线交于一支时，如图， 设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：， 所以. 故答案为：或 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由. 【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. " 【解析】 【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可． 试题解析： 设直线l的方程为y＝x＋b① 圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．② 联立①②消去y，得 2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有③ 因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0， 而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0， 把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4， 故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0． 考点：存在性问题． 【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解． 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） 由条件，根据正弦定理可得， ，即， ， 又中， 进行化简得， 所以，即或，即（舍去）， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得，从而用等量关系即可得证； （2）由（1）知，锐角三角形中，利用角关系求得角的范围，再把式子用角的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为锐角三角形，根据（1）， 则，得， 式子，， 由得，又易知函数在内单调递减， 所以， 因此. 17. 设为数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）当时，，即，解得或（舍）． 由，得， 两式相减，得， 即，又，所以，即． 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列． （2）方法一：由（1）知． 设（，且）， 又的图象经过点，则，解得，所以． 所以． ， ， 两式相减，得 所以． 对，所以． 因为，所以， 综上所述，． 方法二：因为． 所以，即单调递增，所以． 由方法一知：． 对．所以． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）应用计算，再结合等差数列定义证明； （2）方法一：结合错位相减法计算证明；方法二：证明单调递增，再结合错位相减法计算证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切. （1）求的值； （2）若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，定点为，理由为： 根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则， 设直线l方程为：，由可得， 设，则， 故，即，又， 故，故，所以， 综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据即可求解. 【小问1详解】 根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 【答案】（1） 证明：因为平面平面，所以． 在平面中，，所以，又，所以四边形为梯形． 取的中点，连接，易知为矩形， ，所以，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线即可证明，即证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后利用坐标求出平面的法向量坐标，根据二面角的余弦值求出结果即可；（ii）利用坐标法列出球表面积的表达式，利用二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）由（1）可知平面平面，所以，又， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， 由（1）得平面，所以为平面的一个法向量，记， 由题意得， 整理得，解得或（舍），故． （ii）由（i）知，即． 设球的球心坐标为，半径为，则， 即， ， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值，所以球表面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测试题（12-27） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 方程有两个相异实根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（    ）种. A. 450 B. 540 C. 720 D. 1080 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为28 D. 方差为52 10. 抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某同学记录了自己高三8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为_______． 13. 已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则__________． 14. 双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由. 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 17. 设为数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：． 18. 已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切. （1）求的值； （2）若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $