精品解析：天津市河东区2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

天津市河东区2025-2026学年上学期八年级数学期末试题 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页．第卷为第4页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式的除法． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：不是同类项，不能合并，原计算错误； B：当时，，当时，原式无意义，原计算错误； C：，原计算错误； D：当且时，，原计算正确； 故选：D． 4. 下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 利用三角形内角和定理和外角和定理，分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在角，从而确定是否为直角三角形． 【详解】解：①的三个内角的度数之比是，， 是直角三角形，符合题意； ②由，得， ， ， ，是直角三角形，符合题意； ③三角形外角和为，设外角为，，，则，解得，外角为、、，对应内角为、、，是直角三角形，符合题意． ①②③符合条件， 故选：D． 5. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形的三边关系，解答的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，为条件，不能唯一确定三角形，不符合题意； C、，，，是与的夹角，故为条件，能唯一确定三角形，符合题意； D、只给定了三个角，只能确定三角形的形状，不能确定大小，不符合题意； 故选：C． 6. 下列各式因式分解正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）是解此题的关键． 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．故原式不成立，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，属于因式分解，故本选项符合题意； D．因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：B． 8. 如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线性质得，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，直线交于点，连接，再通过尺规作图得射线，交于点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法等．由作图可知，点D在线段的垂直平分线上， 平分，推出，，进而可得，逐项判断即可． 【详解】解：中，， ． 由作图可知，点D在线段的垂直平分线上， ，故选项A结论正确，不合题意； 由作图可知，平分， ，故选项B结论正确，不合题意； ，故选项C结论错误，符合题意； ， ， ， ，故选项D结论正确，不合题意； 故选：C． 10. 某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程． 先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式． 【详解】解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为， 根据题意可得方程：，即． 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，坐标与图形性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点的运动时间是，则，，然后分两种情况：当点在点左边时或当点在点右边时，列方程，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，， ，， ， 设点的运动时间为， 点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ，， 当点在点左边时，如图， △是等腰三角形，， △是等边三角形， ， ， 解得：， ， ， 此时点的坐标为； 当点在点右边时，如图， ， ， 是等腰三角形， ， ， 解得：， ， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 12. 如图，为等边三角形，，交于点，于，以下结论①；②；③；④连接，若，则；正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明即可判定①；由全等三角形的性质得，进而得到，即可判定②；由得，再根据直角三角形的性质即可判定③；证明得，即得到，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故选项①正确； ∵， ∴， ∴，故选项②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项③正确； 如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称．关于x轴对称的点的坐标变化规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：点关于x轴对称的点为． 故答案为：． 14. 当__________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分式的值为0的条件，分子为0且分母不为0，求解方程并排除分母为0的情况，即可作答． 【详解】解：∵分式值为0， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如果是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 16. 已知无意义，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，完全平方公式的变形求值． 由零指数幂无意义，得，再根据完全平方公式求值． 【详解】解：无意义， ， 即， ． 故答案为：． 17. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． 作点关于对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） （1）画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）__________； （2）已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）_____________； 【答案】 ①. 见解析 ②. 图见解析，取格点和，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变换——轴对称，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）取格点，连接交于点，即为所求； （2）取格点和，可得点和是点和点关于轴的对称点，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图，取格点，连接交于点，即为所求； （2）如图，取格点和，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点， 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，根据，得出，最后把代入计算，即可作答． 详解】解： ， 当时， ． 21. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 检验，当时， 所以原方程无解； 【小问2详解】 解： ， ， 检验，当时，， 所以是原方程的解． 22. 如图，已知于点F，的延长线交于点，连接平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． （1）直接根据角平分线的性质可证得结论； （2）证明，得到，进而线段的和与差可求解． 【小问1详解】 证明： ． 平分，， ． 【小问2详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， ． 23. 某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，先由一台型数控机器人分拣了420件后，再由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）型、型两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）该快递公司计划购买A型、B型数控机器人共5台，要求每小时总分拣量不低于390件，已知A型机器人单价12000元，B型机器人单价8000元．请直接写出当购买__________台A型数控机器人时总费用最低，最低费用是__________元． 【答案】（1）A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件 （2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用． （1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合该任务由，两种型号的数控机器人接力9小时完成，可列出关于的分式方程； （2）设购买A型机器人台，则B型机器人台，根据要求每小时总分拣量不低于390件，可列出不等式，结合，为正整数，即可得出方案． 【小问1详解】 解：设一台型数控机器人每小时分拣件快递，则一台型数控机器人每小时分拣1.5x件快递， 可得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台，则B型机器人台， 根据题意得：， 解得， ∵购买的机器人台数为非负整数， ∴且， 解得， ， ∵A型数控机器人的单价比B型数控机器人的单价贵， ∴A型数控机器人买的越少，总费用越低， ∴当时，即购买台A型数控机器人时总费用最低，总费用为元， 故答案为：；． 24. 如图1，已知三角形是等腰直角三角形，点的纵坐标为7，点的纵坐标为1； （1）点坐标__________，点的坐标__________； （2）如图2，过点作于点，过点作轴于点D，交于点，求证：点为中点； （3）如图3，延长线段与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，连接，若已知，求的面积是多少？请直接写出结果__________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作轴交x轴于点，作轴交x轴于点，根据证明，再由全等三角形的对应边相等即可求解； （2）过作轴交于点，先证明是等腰直角三角形，则，再证明即可； （3）延长与轴交于点，连接，先证明，则，，那么可求，再由三线合一得到，最后根据三角形中线等分三角形面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过作轴交于点 轴，则轴， ， 是等腰直角三角形， 轴 是等腰直角三角形 ， ∴， 在和中 是中点； 【小问3详解】 解：延长与轴交于点，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ， ∴ ∵等腰直角三角形中， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中线等分面积等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市河东区2025-2026学年上学期八年级数学期末试题 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页．第卷为第4页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（ ） A ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 5. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，直线交于点，连接，再通过尺规作图得射线，交于点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，为等边三角形，，交于点，于，以下结论①；②；③；④连接，若，则；正确的是（ ） A ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 14. 当__________时，分式的值为0． 15. 如果是一个完全平方式，那么的值是______． 16. 已知无意义，且，则__________． 17. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值__________． 18. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） （1）画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）__________； （2）已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）_____________； 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 分解因式： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中 21. 解下列分式方程： （1） （2） 22. 如图，已知于点F，的延长线交于点，连接平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，先由一台型数控机器人分拣了420件后，再由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）型、型两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）该快递公司计划购买A型、B型数控机器人共5台，要求每小时总分拣量不低于390件，已知A型机器人单价12000元，B型机器人单价8000元．请直接写出当购买__________台A型数控机器人时总费用最低，最低费用__________元． 24. 如图1，已知三角形是等腰直角三角形，点的纵坐标为7，点的纵坐标为1； （1）点坐标__________，点的坐标__________； （2）如图2，过点作于点，过点作轴于点D，交于点，求证：点为中点； （3）如图3，延长线段与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，连接，若已知，求的面积是多少？请直接写出结果__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $