精品解析：浙江省台州市黄岩区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025学年第一学期期末九年级教学质量监测数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数 B. 任意一个五边形的外角和是 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上” 4. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 5. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点都在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点、．点，，，处的读数分别为，，，，则直尺的宽的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的图象上有两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若，则 10. 如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 某数学兴趣小组为了估计投一枚图钉“钉尖朝上”的概率，进行了多次投图钉的试验，试验次数结果整理如下（频率保留三位小数）： 投图钉次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “钉尖朝上”的次数 30 61 94 124 153 183 216 246 277 309 “钉尖朝上”的频率 0.600 0.610 0.627 0.620 0.612 0.610 0.617 0.615 0.616 0.618 请你估计“钉尖朝上”的概率为_____（保留两位小数） 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 15. 已知一元二次方程的一个根为，抛物线的对称轴为直线，则方程的另一个根为__． 16. 如图，内接于，，平分交于点D，连接并延长交于点E，若，则的半径等于_____． 三、解答题（本题有8小题，第1721题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C逆时针旋转后的； （2）求点A的运动路径长．（结果保留） 19. 现有六张分别标有数字的卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，则抽到标有的卡片的概率是____________； （2）若将其中标有的卡片给甲，标有的卡片给乙，两人各随机取出一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两张卡片上的数字之和小于的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有一个根为，求的值； （2）求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 22. 如图，是的直径，点为上的一点，与相切于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过、，且，求t的取值范围． 24. 在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接． （1）如图1，若经过点，的半径为5，求的长度； （2）如图2，若不经过点，记与交于点，． ①若，求的长度； ②若设，则与之间的关系式为________； ③如图3，连接，若，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末九年级教学质量监测数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）逐一分析各选项中的图形是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故C正确； D项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故D错误， 故选：C． 2. 如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则“上加下减”，向下平移时，在函数值上减去平移单位． 【详解】解：∵原抛物线解析式为，向下平移2个单位， ∴新抛物线的解析式为. 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数 B. 任意一个五边形的外角和是 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 在一定条件下，一定发生的事件叫做必然事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，根据定义逐项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是3的倍数是随机事件，故选项A不符合题意； B、任意一个五边形的外角和是是必然事件，故选项B符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，故选项C不符合题意； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”是随机事件，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 5. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得′，′，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到′′， ′，′， ′′′． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，熟练掌握旋转和三角形外角的性质进行角度的转化是解题的关键． 7. 如图，点都在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点、．点，，，处的读数分别为，，，，则直尺的宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可证，根据相似三角形的性质求出的长度． 【详解】解：点，，，处的读数分别为，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 已知的图象上有两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数性质，由点A和点B在函数图象上，可得与关于t的表达式，再通过t的取值范围判断和的符号及大小关系． 【详解】解：∵点和在的图象上， ∴，， ∴，. 对于选项B：若，则， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴，故选项B正确； 其他选项均可通过反例排除：选项A，当时，，，不满足；选项C，当时，，不满足；选项D，当时，，，，不满足， 故选：B． 10. 如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作交于点H，利用等腰直角三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余及补角的定义得出，证明，得到，，设，则，由等腰直角三角形性质得出，利用勾股定理列方程得到的表达式，此时的表达式是二次函数，当时，有最小值，将开方后即可得出其最小值． 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的最值． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 某数学兴趣小组为了估计投一枚图钉“钉尖朝上”的概率，进行了多次投图钉的试验，试验次数结果整理如下（频率保留三位小数）： 投图钉次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “钉尖朝上”的次数 30 61 94 124 153 183 216 246 277 309 “钉尖朝上”的频率 0.600 0.610 0.627 0.620 0.612 0.610 0.617 0.615 0.616 0.618 请你估计“钉尖朝上”的概率为_____（保留两位小数） 【答案】0.62 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验中频率的稳定性，当试验次数较大时，频率逐渐接近概率，通过计算总频率并保留两位小数可得估计值． 【详解】解：由表格可知，当试验次数很大时，频率趋于稳定， 当试验次数为500时，“钉尖朝上”的频率为，保留两位小数约为0.62。 故答案为：0.62． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的公式，掌握圆锥侧面积的公式是解答本题的关键． 根据圆锥侧面积的公式计算即可解答． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 作交于点C，交弦于点D，点C即为上到弦的距离的最大值的点，由垂径定理求出，结合勾股定理可推出，进而求出上的点到弦的最大距离． 【详解】解：如图，作交于点C，交弦于点D， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴上的点到弦的距离的最大值是． 故答案为：5． 15. 已知一元二次方程的一个根为，抛物线的对称轴为直线，则方程的另一个根为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴及一元二次方程根与系数的关系，由抛物线对称轴条件得出的值，再根据根与系数的关系求另一根． 【详解】解：抛物线化简为，其对称轴为，代入对称轴得，解得． 对于一元二次方程，设另一根为，根据根与系数的关系，有，解得． 故答案为：． 16. 如图，内接于，，平分交于点D，连接并延长交于点E，若，则的半径等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形的性质及圆周角定理． 延长交于点，连接，连接，证明，由等腰三角形的性质推出，设的半径是，得到，由角平分线定义得到，再由三角形外角的性质得到，推出，由勾股定理得到，求出r的值，即可得到的半径． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径是， ∴， ∵平分， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径为． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第1721题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 即； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C逆时针旋转后的； （2）求点A的运动路径长．（结果保留） 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换及弧长公式的应用，熟练掌握旋转的性质，找出关键点是解题的关键． （1）利用网格特点找出点A，B绕点C逆时针旋转后的点D，E，再顺次连接即可得到答案； （2）利用勾股定理先求得的长作为扇形的半径，再根据弧长公式求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由网格图可知，， ∴点A的运动路径长， 即点A的运动路径长为． 19. 现有六张分别标有数字的卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，则抽到标有的卡片的概率是____________； （2）若将其中标有的卡片给甲，标有的卡片给乙，两人各随机取出一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两张卡片上的数字之和小于的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握用树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：甲从中随机抽取一张卡片，共有种结果，其中抽到标有的卡片的结果有种， ∴抽到标有的卡片的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片数字之和小于结果有种， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有一个根为，求的值； （2）求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：由关于的一元二次方程可知： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键； （1）把代入一元二次方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程，得：， 解得； 【小问2详解】 略 21. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 【答案】（1） （2）立方米 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【小问1详解】 解：设气压P与气球体积V之间的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，气球将爆炸，随着的增大而减小， 当时，， 解得：． ∴故为了安全起见，气体的体积应不小于立方米． 22. 如图，是的直径，点为上的一点，与相切于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、勾股定理、圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、勾股定理、圆周角的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）连接，由（1）得，然后可得，，，进而可得，则由相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过、，且，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的对称轴公式，二次函数的单调性与最值及二次函数的代数变形与不等式求解． （1）利用待定系数法将点代入二次函数，得到关于a、b的等式，再结合二次函数对称轴公式，通过代数变形求出对称轴； （2）由可知抛物线开口向上，对称轴为，分析区间与对称轴的位置关系：区间在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，因此时函数取得最大值，将代入函数，结合（1）中，联立方程求解a； （3）由题意可知当时，，则且，离对称轴越近函数值越大，根据列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入得， ∵对称轴，， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，，即， 解得． 【小问3详解】 解：当时，， ∵，对称轴， ∴当时，，， ∴且， ∴离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴，即 解得， 综上所述，且． 24. 在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接． （1）如图1，若经过点，的半径为5，求的长度； （2）如图2，若不经过点，记与交于点，． ①若，求的长度； ②若设，则与之间的关系式为________； ③如图3，连接，若，求的半径． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、垂径定理及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、垂径定理及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，，，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）①连接，同理（1）可得：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解； ②同理①可得：，由题意易得，，，则有，，然后根据勾股定理可进行求解； ③由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，如图所示： 同理（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴； ②同理①可得：， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：； ∴与之间的关系式为； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $