期中复习（易错题50题20个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期中复习（易错题50题20个考点） 范围：九年级上册 一．二次函数的图象（共1小题） 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A．B． C．D． 二．二次函数的性质（共2小题） 2．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 3．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1 三．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A． ①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 四．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上两点，且x1＜x2＜1，则下列说法正确的是（　　） A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0 8．抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a＝　 　． 9．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　． 五．二次函数图象与几何变换（共1小题） 10．将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（　　） A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0） C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3） 六．二次函数的最值（共2小题） 11．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 12．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 七．抛物线与x轴的交点（共6小题） 13．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣2.6＜x＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x＜﹣2.2 14．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 15．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 16．若m为实数，则函数y＝（m﹣2）x2+mx+1的图象与坐标轴交点的个数为（　　） A．3 B．2 C．1或2 D．2或3 17．如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 18．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　 　． 八．二次函数与不等式（组）（共1小题） 19．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 九．二次函数的应用（共3小题） 20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 21．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 22．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，s＝　 　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 一十．二次函数综合题（共2小题） 23．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 一十一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 25．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 一十二．圆周角定理（共1小题） 26．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　） A． B． C． D． 一十三．圆内接四边形的性质（共1小题） 27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 一十四．正多边形和圆（共1小题） 28．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm． 一十五．扇形面积的计算（共1小题） 29．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 一十六．旋转的性质（共6小题） 30．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A． B． C．4 D．6 31．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 32．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 33．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 34．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　（填序号）． 35．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 一十七．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 36．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（　　） A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣） C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，） 一十八．平行线分线段成比例（共3小题） 37．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 38．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 39．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 一十九．相似三角形的判定（共3小题） 40．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　） A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C 41．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 　 　． 42．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 二十．相似三角形的判定与性质（共8小题） 43．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 44．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 45．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 46．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 47．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　 　． 48．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边CD上一点，EF⊥AE交BC于点F，则CF长的取值范围是 　 　． 49．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 50．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°． （1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°； （2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC•BD＝AD•BC， ①求证：△ACD∽△BCE； ②求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题50题20个考点） 范围：九年级上册 一．二次函数的图象（共1小题） 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a， ∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选：C． 二．二次函数的性质（共2小题） 2．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x＝m≥1． 故选：C． 3．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上， ∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2， 故选：B． 三．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向下，则 a＜0． 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0． 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误； 当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确； 由 2a+b＝0，得 a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误． 综上，正确的选项有：①②④． 所以正确结论的个数是3个． 故选：B． 6．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限， ∴开口方向向上， 其对称轴为x＝﹣1， 则＜0，2m﹣1≥0， 解得≤m＜1． 如图： 故选：D． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上两点，且x1＜x2＜1，则下列说法正确的是（　　） A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1， 开口向下，而x1＜x2＜1， ∴y1＜y2， 即y1﹣y2＜0． 故选：D． 8．抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把点（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+2得：4a﹣2b+2＝3， 2b﹣4a＝﹣1， 3b﹣6a＝﹣， 故答案为：﹣． 9．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点， ∴n﹣2＝0或， 解得，﹣2≤n＜1或n＝2， 故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2． 五．二次函数图象与几何变换（共1小题） 10．将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（　　） A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0） C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3） 【答案】D 【解答】解：将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y＝x2+2x 当该抛物线与直线y＝3相交时， x2+2x＝3 解得：x1＝﹣3，x2＝1 则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3） 故选：D． 六．二次函数的最值（共2小题） 11．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 12．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 【答案】A 【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a． ∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a， ∴4﹣2a＝﹣1， ∴a＝， 不合题意，舍去． 当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2． ∴3﹣a2＝﹣1． ∴a2＝4， ∵1≤a≤3， ∴a＝2． 当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小． ∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a． ∴12﹣6a＝﹣1． ∴a＝． ∵a≥3． ∴不合题意，舍去． 综上：a＝2． 故选A． 七．抛物线与x轴的交点（共6小题） 13．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣2.6＜x＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x＜﹣2.2 【答案】B 【解答】解：由题意，结合表格数据， ∵当x＝﹣2.5时，y＝0.25；当x＝﹣2.4时，y＝﹣0.04， ∴满足题意的横坐标的范围是﹣2.5＜x＜﹣2.4． 故选：B． 14．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选：A． 15．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 16．若m为实数，则函数y＝（m﹣2）x2+mx+1的图象与坐标轴交点的个数为（　　） A．3 B．2 C．1或2 D．2或3 【答案】D 【解答】解：①当m＝2时，y＝2x+1， ∴函数y＝（m﹣2）x2+mx+1的图象与坐标轴交点的个数为2； ②当m≠2时，函数y＝（m﹣2）x2+mx+1的图象与x轴的交点个数即为方程（m﹣2）x2+mx+1＝0的根的个数， ∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0， ∴方程有两个不同的根，即函数与x轴的交点个数为2，与y轴的交点个数为1， ∴当m≠2时，则函数y＝（m﹣2）x2+mx+1的图象与坐标轴交点的个数为3． 故选：D． 17．如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：抛物线顶点平移到点M时，由已知x1的最小值为﹣3 则设此时抛物线解析式为：y＝a（x+1）2+2 把（﹣3，0）代入得 a＝﹣ 则当抛物线顶点平移到N时，解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2． 当y＝0时，解得抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣1，0） 则x2的最大值为3． 故选：C． 18．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　1或﹣　． 【答案】1或﹣． 【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意． 当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点， ①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1， ②与x、y轴各一个交点， ∴Δ＝0，m≠0， （3m）2﹣4m（m﹣1）＝0， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣， 综上所述：m的值为1或﹣． 八．二次函数与不等式（组）（共1小题） 19．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 九．二次函数的应用（共3小题） 20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ＝， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 21．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． ∴OH＝AB＝3， ∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1， ∴E（0，1），D（2，0）， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1， 把点D（2，0）代入，得k＝﹣， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1； （2）∵GM＝2， ∴OM＝OG＝1， ∴当x＝1时，y＝， ∴N（1，）， ∴MN＝， ∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是： 425+×50＝500（元）． 答：每个B型活动板房的成本是500元； （3）根据题意，得 w＝（n﹣500）[100+] ＝﹣2（n﹣600）2+20000， ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100+≤160， 解得n≥620， ∵﹣2＜0， ∴n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值为19200元． 答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元． 22．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，s＝　30　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【答案】（1）30； （2）h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s． （3）①不成功，理由见解答部分； ②此过程守门员的最小速度为m/s． 【解答】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等， 抛物线关于s＝15对称， ∵当s＝0时，h＝0， ∴s＝30时，h＝0， 故答案为：30． （2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5， 把（12，4.8）代入上述解析式， ∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a＝﹣， ∴h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s． （3）①不成功，理由如下： 若守门员选择面对足球后退，设t s时，足球位于守门员正上方， 则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t）， 解得t＝1.6， ∴s＝15×1.6＝24m， ∴h＝﹣（24﹣15）2+5＝3.2m， ∵3.2＞2.5， ∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为v m/s，且t s时，足球位于守门员正上方， 则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t＝s， ∴s＝15•＝m， 代入上述解析式可得，h＝﹣•（）2+•＝1.8， 解得v＝或v＝85． ∴此过程守门员的最小速度为m/s． 一十．二次函数综合题（共2小题） 23．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D， ∵B的坐标为（4，0）， ∴B'（﹣4，0）， ∴直线B'C的解析式为：y＝x+3， 则﹣x2+x+3＝x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝2， ∴D（2，）； 如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC， 过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°， ∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC， ∴∠DCH＝∠ABC， ∵∠DHC＝∠COB＝90°， ∴△DCH∽△CBO， ∴， 设点D的横坐标为t，则， ∵C（0，3）， ∴， ∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点， ∴， 解得x1＝4，x2＝﹣1， ∴B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴点D的纵坐标为：， 则点D坐标为； （3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 设N（m，﹣m+3）， 分两种情况： ①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形， ∵D（2，），F（0，）， ∴M（m+2，﹣m+4）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4， 解得：m＝， ∴N（，3﹣）或（﹣，3+）； ②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形， 同理得：M（m﹣2，﹣m+2）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2， 解得：m＝4， ∴N（4+，﹣）或（4﹣，）； ③以DF为对角线时，设中点P的坐标为（1，4）， 设M（t，﹣t2+t+3），N（n，﹣n+3）， ∴， 此方程组无解，所以此种情况不成立； 综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　，　（3，0）　，　（0，4）　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）． ②． （3）存在，m＝． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A（﹣2，0），B（3，0）． 故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）①∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴P（1，4）， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴＝＝． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4． 设点P的横坐标为m， 则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）． ∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m， ∵PQ∥AB， ∴＝＝＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）， ∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4， 令﹣x2+x+4＝﹣x+4， 解得x＝或x＝0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m＝． 一十一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 25．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：连接OF，如图： ∵DE⊥AB，AB过圆心O， ∴DE＝EF，＝， ∵D为弧AC的中点， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝DF， ∵⊙O的直径为10， ∴OF＝OA＝5， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝4， ∴DE＝EF＝4， ∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8， 故选：D． 一十二．圆周角定理（共1小题） 26．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解法一： ∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD， ∴△AEB∽△DEC； ∴＝； 设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）； 连接BC，则∠ACB＝90°； Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x； 在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x； 由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2， 即：72＝（10﹣3x）2+（x）2， 整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣； 由于x＜，故x＝﹣； 则DE＝5﹣2x＝2． 解法二：连接OD，OC，AD， ∵OD＝CD＝OC 则∠DOC＝60°，∠DAC＝30° 又AB＝7，BD＝5， ∴AD＝2， 在Rt△ADE中，∠DAC＝30°， 所以DE＝2． 故选：A． 一十三．圆内接四边形的性质（共1小题） 27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠DCE＝64°， ∴∠BOD＝2∠A＝128°． 故选：A． 一十四．正多边形和圆（共1小题） 28．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D， 由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a， ∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD＝＝，即＝， 解得a＝， 故答案为：． 一十五．扇形面积的计算（共1小题） 29．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD，OD，BD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB， ∴△ACD∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CD＝，又OC＝1， ∴∠COD＝60°， ∴S扇形OAD＝＝π， S△CDO＝×CO×CD＝， ∴S扇形OAD﹣S△CDO＝π﹣，S扇形CDE＝＝π， ∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+． 故选：A． 一十六．旋转的性质（共6小题） 30．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1， ∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°， ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°， ∴∠BAC1＝90°， ∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝． 故选：B． 31．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′， ∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°， 故选：B． 32．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得： EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝1， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3， ∴DG的最小值为3， 故选：C． 33．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 34．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　（填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F， ∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠MEP＝∠NFP＝90°， ∴△MEP≌△NFP（ASA）， ∴PM＝PN，ME＝NF， 故①正确； ∵OP＝OP， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）， ∴OE＝OF， ∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP＝∠AOB＝60°， ∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°， ∴PO＝2OE， ∴OM+ON＝OP， 故②正确； ∵△MEP≌△NFP， ∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积， ∴四边形PMON的面积保持不变， 故③正确； ∵PM＝PN，∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形， ∵MN的长度是变化的， ∴△PMN的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 35．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 一十七．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 36．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（　　） A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣） C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，） 【答案】C 【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2） 则OB＝2，且OB与x轴、y轴夹角为45° 当点B绕原点逆时针转动75°时， OB1与x轴正向夹角为30° 则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）； 同理，当点B绕原点顺时针转动75°时， OB1与y轴负半轴夹角为30°， 则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）； 故选：C． 一十八．平行线分线段成比例（共3小题） 37．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 38．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 39．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：l1∥l2∥l3， ∴＝＝， 又∵DF＝10， ∴DE＝DF＝6， 故选：B． 一十九．相似三角形的判定（共3小题） 40．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　） A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； B、∵＝，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； C、∵＝，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等， ∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确； D、∵∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC，故本选项正确； 故选：C． 41．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 　2或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BF＝BC∴BF＝4 ∵DE垂直平分BF， ∵BC＝8 ∴BD＝BF＝2． （2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB＝AC ∴BM＝CM 在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C， ∴△AMC∽△FAC， ∴＝ ∴FC＝ ∵AC＝5，MC＝BC＝4 ∴FC＝ ∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝ ∴BD＝BF＝ 故答案为：2或． 42．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似． 二十．相似三角形的判定与性质（共8小题） 43．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 44．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵AF＝2DF，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a， ∵HD∥AB， ∴△HFD∽△BFA， ∴＝＝＝， ∴HD＝1.5a，＝， ∴FH＝BH， ∵HD∥EB， ∴△DGH∽△EGB， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴BG＝HB， ∴＝＝． 故选：B． 45．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB∽△DEC， ∴；故①正确； ②∵△AEB∽△DEC， ∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确； ③∵∠BAC＝∠BDC， ∴A，B，C，D共圆， ∴∠ADE＝∠ACB， 如果∠ADE＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB， 但这两个角不一定相等，故③错误； ④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． ∴＝， ∵△ABE和△ADE共高， ∴＝， ∵△BCE和△DCE共高， ∴＝， ∴＝，故④正确． ∴结论中正确的是①②④， 故选：C． 46．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴＝，即＝， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴＝＝＝， 故选：C． 47．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 在△BDF和△ECF中， ， ∴△BDF≌△ECF（AAS）， ∴BF＝EF＝， 又∵BF∥DA， ∴△BFO∽△ADO， ∴， 又∵AD＝4， ∴， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， ， 又∵AB＝AO+BO， ∴AO＝， 故答案为． 48．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边CD上一点，EF⊥AE交BC于点F，则CF长的取值范围是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， 又∵∠AED+∠AEF+∠CEF＝180°， ∴∠AED+∠CEF＝90°， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， 又∵∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CEF， ∴△ADE∽△ECF， ∴， 又∵AB＝4，AD＝6，AB＝EC+ED， ∴， 解得：CF＝＝， 又∵0≤CE≤4， ∴， 故答案为． 49．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： （1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°， ∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C， 在△ADF和△ACG中， ∴△ADF∽△ACG， ∴∠DAF＝∠CAG， ∴AG平分∠BAC； （2）在△AEF和△ABG中， ， ∴△AEF∽△ABG， ∴， 在△ADF和△AGC中， ， ∴△ADF∽△AGC， ∴， ∴， ∴EF•CG＝DF•BG． 50．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°． （1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°； （2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC•BD＝AD•BC， ①求证：△ACD∽△BCE； ②求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）如图1，延长CD交AB于E， ∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD， ∠BDE＝∠CBD+∠BCD， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB+90°． ∴∠CAD+∠CBD＝90°； （2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵AC•BD＝AD•BC，BD＝BE， ∴， ∴△ACD∽△BCE； ②如图2，连接DE， ∵BE⊥BD，BE＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴＝， ∵△ACD∽△BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵， ∴△ACB∽△DCE， ∴， ∴＝＝＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$