2026年广东省中考数学二轮复习热点专题特训

专题一　猜想与归纳 1．（2025河南）观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为_______________________． 2．一列数按规律排列：，…，则第10个数是__________． 3．【新定义】（2025汕头模拟）我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，那么实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“i”，其运算规则是：i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，则i2 025的值是（　　） A．i B．－i C．1 D．－1 4．用相同的火柴棍按图中的规律拼图案，其中第①个图案用了3根火柴棍，第②个图案用了5根火柴棍，第③个图案用了7根火柴棍，……按此规律，第⑩个图案所用火柴棍的根数为（　　） A．21根 B．22根 C．28根 D．29根 第4题图 　　第5题图 5．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示的方式进行拼接，若用餐的人数为30，则这样的餐桌需要__________张． 第一行 1 第二行 第三行 2　 … … 6.将一组数按如图所示的方式进行排列，若的位置记为（2，1），的位置记为（3，2），则（7，4）表示的数是（　　）　 A． B．5 C． D． 7．（2025绥化）观察下图，图①有2个三角形，记作a1＝2；图②有3个三角形，记作a2＝3；图③有6个三角形，记作a3＝6；图④有11个三角形，记作a4＝11，……按此方法继续下去，则an＝______________（结果用含n的代数式表示）． 8．（2025眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为____________． 9．如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，……以此规律，若∠C＝m°，则∠E1＝__________°，∠E2＝__________°，…，∠En＝__________°. 第9题图　　 第10题图 　　第11题图 10．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形……重复上述操作若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__________． 11．如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；……按照这个规律进行下去，点B100的坐标为____________． 12．观察下列各式： S1＝＝1＋，S2＝＝1＋，S3＝＝1＋，…. （1）猜想：Sn＝＝__________；（用含正整数n的代数式表示） （2）请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50. 专题二　函数图象的分析与判断 1．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一条折线），那么这个容器的形状可能是（　　） 2．（2025成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A. 小明家到体育馆的距离为2 km B．小明在体育馆锻炼的时间为45 min C．小明家到书店的距离为1 km D．小明从书店到家步行的时间为40 min 3．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是（　　） 4．（2025深圳三模）如图①，四边形ABCD是长方形，动点E从点B出发，沿B→C→D→A匀速运动，到达点A时停止运动，速度为3 cm/s，设点E的运动时间为t（s），△ABE的面积为S（cm2），其中S与t的关系如图②所示，则下列说法正确的是（　　） A. AB＝3 cm B．S的最大值为27 cm2 C．当t＝1 s时，S＝3 cm2 D．当S＝9 cm2时，t＝ s 5．某款电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率＝×100%）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C．本次充电的持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿折线ABC向终点C运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y，则下列能正确表示y与x之间函数关系的图象是（　　） 7．如图①，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图②所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D．2 8．（2025湛江三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M，N分别是BC，BA上的点，且MN⊥AB，将△BMN沿着直线MN折叠，得到△DMN，点B落在射线BA上，对应点为D.设BN＝x，△DMN与△ABC重叠部分的面积为S，已知AB＝8，AC＝4，则S与x之间的函数图象大致为（　　） 9．（2025广元）如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰三角形ABC满足顶点A，B在同一水平线上，且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰三角形ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰三角形ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　） A.AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y＝t2 D．△EFD的周长为9＋5 10．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里（图①）的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图②所示，则以下说法正确的是（提示：当铁块位于水面上方时，F＝G重力，当铁块入水后，F＝G重力－F浮力）（　　） 　　　图①　　　　　　图② A. 当铁块下降3 cm时，此时铁块在水里 B．当5≤h≤10时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为F＝h＋20 C．当铁块下降高度为6 cm时，铁块所受浮力为1.5 N D．当弹簧测力计的示数为8 N时，铁块底面距离水底8.5 cm 11．如图①是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离），在手柄转动过程中，千斤顶的高度y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图②所示，则图②中从点M到点N，千斤顶下降的高度为（　　） A．8 cm B．4 cm C．6 cm D．9 cm 12．为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图①所示的水压表和深度表．图②是深度表工作原理的简化电路图，其中R1（Ω）的阻值会随下潜深度h（m）的变化而变化，其变化关系图象如图③所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数U（V）与电阻R1的关系式是U＝，则下列说法不正确的是（ ） A．随着潜水深度的增大，R1的阻值不断减小 B．随着潜水深度的增大，电压表的示数不断减小 C.当下潜的深度为10 m时，R1的阻值为30 Ω D．当下潜的深度为40 m时，电压表的示数为3 V 第12题图 　第13题图 13．（2025武汉）如图①，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图②所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 专题三　最值问题 1．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜位置相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路径长为（杯壁厚度不计）（　　） A．22 cm B．21 cm C．20 cm D．27 cm 第1题图 　　　 第2题图 　　　第3题图 　　　第4题图 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C 落在点C′处，连接BC′，则BC′长度的最小值为____________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD平分∠BAC，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形内一点，连接PA，PB，PD，若∠ABP＝∠DAP，则DP长度的最小值为__________． 5．如图，已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长的最小值为3，则OP的长为__________． 第5题图　 　　第6题图　 　　第7题图　 　　第8题图 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝4，CE＝2，则BD长的最小值为__________． 7．如图，在正方形ABCD中，AB＝16，AE＝AB，P为边BC上一动点（不与点B，C重合），连接EP，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ长度的最大值为__________． 8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，点D的横坐标为3. （1）若P是抛物线对称轴上一动点，则BP＋DP的最小值为__________； （2）若Q是y轴上一动点，则当|DQ－AQ|取得最大值时，点Q的坐标为__________； （3）若线段MN在抛物线对称轴上移动（点M在点N的下方），且MN＝4，则AM＋MN＋CN的最小值是__________． 9．如图，反比例函数y＝（x>0）的图象上有一动点P，若点P在直线l：y＝x－4的上方，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，求△POQ面积的最大值以及此时点P的坐标 . 10．（2025广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，＝，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（　　） A．2＋ B．2＋2 C．3＋ D．4＋4 第10题图 　 　　第11题图 　　　第12题图 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别在边AD，CD上，且EF＝2，G为EF的中点，P为边BC上一动点，则PA＋PG的最小值是__________． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4.若D是BC边上一动点，则2AD＋DC的最小值是__________． 13．问题探究：（1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2，则△ABC周长的最大值为________． 问题解决：（2）如图②，某地有一片足够大的湿地，现在这片湿地上修建一形状为菱形的“探秘湿地”综合实践活动区，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿AE，ED，BE修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足BE＝420 m，∠DAE＋∠ADE＝60°.为达成最好的综合实践活动体验，需要AE，ED，BE三条步道的长度和尽可能地大．请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由． 专题四　选填常见解题技巧 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若 ＝2，则代数式 的值为__________． 3．已知反比例函数y＝的图象上有P（t，y1），Q（t＋4，y2）两点，则下列正确的选项是（　　） A．当t＜－4时，y2＜y1＜0 B．当－4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当－4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和二次函数y＝b（x＋k）2的图象可能是（　　） 5．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．－3 B．－ C． D．3 6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为__________． 第6题图 　　　第7题图 　　　第8题图 7．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片，长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张．如图，要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形，则需要C类纸片的张数为___________________________． 8．如图，点D（0，6），O（0，0），C（8，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos ∠OBD的值为__________． 专题五　计算类解答题 1．计算：（1）|－5|＋－（－2）2； （2）（π－1）0－＋2cos 45°＋； （3）（－1）2 026＋|－|－（π－2 025）0＋2sin 60°－； （4）－2tan 60°－|－5|＋（）0＋. 2．先化简，再求值：[（2b－a）（a＋2b）－（a－2b）2]÷（－2a），其中a＝－1，b＝－. 3．先化简，再求值：[（2x－y）2－4（x－y）·（x＋y）]÷，其中4x＝5y. 4．先化简，再求值：÷，其中x＝4. 5．先化简，再求值：÷，其中a2－4a＋2＝0. 6．先化简，再求值：÷，其中x是不等式≤x－1的最小整数解． 7．解方程（组）： （1）1－＝； （2） （3）（x－2）2＝（2x－1）（2－x）； （4）＝. 8．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解． 专题六　实际应用题 1．车厘子，又称樱桃，因其果实鲜美、色泽艳丽、饱满多汁而备受人们喜爱．某水果店以6 750元购进两种不同品种的车厘子，若按标价出售可获毛利润1 750元（毛利润＝售价－进价），这两种盒装车厘子的进价、标价如下表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 125 150 标价（元/盒） 150 200 （1）问该水果店各购进这两个品种的车厘子多少盒？ （2）因两个品种的车厘子都销售良好，该水果店计划再购进这两个品种的车厘子共80盒进行销售，同时由于资金周转问题，该店用于购进两个品种的车厘子的总资金不能超过11 200元，问如何进货才能使销售完这批车厘子获得的毛利润最大？最大毛利润是多少元？ 2．如图，在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（重物质量mA固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．通过改变托盘B与点O之间的距离x（cm），记录相应的托盘B中的砝码质量y（g），得到如下表格： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为________________________________________________． （2）当砝码的质量为24 g时，求托盘B与点O之间的距离． （3）当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 3．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x.其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义． （2）求打折前的每次健身费用和k2的值． （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 4．（2025广州模拟）如图①是果农正在进行果树压枝处理，这样做可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图②是一棵树枝AB在平面直角坐标系中的示意图，树枝AB近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度y（m）与它到树干OA的水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝0.1x＋1，树枝AB经过压枝后可近似看成抛物线形状，该抛物线最低点P距离地面0.7 m，且与树干OA的水平距离为1.5 m. （1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； （2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线的解析式，且测得树枝端点C处距离地面1.9 m．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干OA不得超过4.7 m，请判断此树枝是否需要修剪，并说明理由． 5．一个数学综合实践小组进行了如下项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某地非机动车道遮阳棚相关问题 素材 背景 某地非机动车道上的遮阳棚采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图①所示． 图① 抽象 测量 根据实地测得的相关数据，画出其侧面示意图．如图②，立柱FD与地面MN垂直，CD的长为2 m，AB＝CB＝4 m，∠ABC＝22°.太阳光线经过点B照射在点E处． 任务1 求出遮阳棚前端B到地面MN的距离； 任务2 当太阳光线与地面夹角∠BEN为61°时，求遮阳棚有效遮阳宽度DE的长． （结果精确到0.01 m．参考数据：sin 11°≈0.191，cos 11°≈0.982，tan 11°≈0.194，sin 61°≈0.875，cos 61°≈0.485，tan 61°≈1.804） 专题七　几何证明与计算（含尺规作图） 1．（2025烟台）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 2．（2025青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A 作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE. （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明． 3．（2025齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径． 4.（2025东莞模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求BD·DE的值； （3）当BC＝2CD时，求tan ∠ABD的值． 专题八　函数综合与探究 1．（2025深圳三模）镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 已知镁球到达最高处后再过1.5 s会燃烧完． 发射时间x/s 0 2 5 9 12 13 15 … 离地面的高度y/cm 0 92 200 288 312 300 300 … （1）①请利用表格数据描点，画出y与x的大致图象，根据图象估计y与x之间的函数关系是______________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． ②求y与x之间的函数关系式． （2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处． （3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于同一高度，求这两个镁球发射时间相隔多少秒． 2．（2025泸州）如图，一次函数y＝2x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象的一个交点为A（2，6）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数y＝2x＋b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝的图象相交于点B，C，求S△ABC的值． 3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q. （1）求该抛物线的解析式； （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标． 4．（2025浙江）已知抛物线y＝x2－ax＋5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值． 5.（2025武汉）抛物线y＝ x2－3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）． （1）求A，B两点的坐标． （2）如图①，若P是直线AB下方抛物线上的点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标． （3）如图②，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF＝ S△COE，求直线CD的解析式． 图①　　　　　　　　　图② 6.（2025广安）如图，二次函数y＝ x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，－3），连接AC，BC. （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的坐标． （3）将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 　　　　　　　　备用图 7.（2025北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT.当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为________时，y的值首次超过35. （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3. （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第__________日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行__________日的模拟练习． 专题九　代数推理　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　 1．下面是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1＋3＋32＋33＋…＋32 024＝（　　） 求1＋2＋22＋23＋…＋22 024的值． 解：令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 024，则2S＝2＋22＋23＋…＋22 025. ∴2S－S＝22 025－1. ∴1＋2＋22＋23＋…＋22 024＝22 025－1. A. B． C． D． 2．基本概念与代数推理： （1）若两个二项式相乘（2x－y）（　　），刚好满足平方差公式，则括号里面可填__________； （2）请说明，不管x取何值，二次根式有意义． 3．代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知a，b为实数，且0＜b＜a，求证：＜. 证明：＝①__________． ∵a＞0，b＞0，∴ab＞0. 又b＜a，∴b－a＜0.（②__________________） ∴＜0.∴③________________＜0.∴＜. （1）请将上面的证明过程补充完整；（②写依据） （2）已知a≠b，且a＋＝b＋，求证：ab＝－2. 4.用代数推理的方法证明下列两个结论： （1）设是一个四位数，若a＋b＋c＋d可以被3整除，则这个数可以被3整除． （2）已知函数y＝x2.当x＞0时，y随x的增大而增大． 5．小君想到了一种证明等式·＝（x≥0，y≥0）成立的方法．证明过程如下： 设＝m，＝n（m≥0，n≥0），则x＝m2，y＝n2. 等号左边＝mn，等号右边＝＝. ∵m≥0，n≥0，∴mn≥0.∴等号右边＝mn.∴等号左边＝等号右边． ∴等式·＝（x≥0，y≥0）成立． 小艳想利用同样的方法求出方程＝4的解．她的想法是：将原无理方程转化为用m，n表示的整式方程，再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 6．我们曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc（如图①），多项式乘多项式的运算法则：（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd（如图②）以及完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（如图③）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图④，请你写出（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系：_____________________________； （2）根据（1）中的结论，若x＋y＝5，xy＝，求x－y的值； （3）拓展应用：若（2 025－m）2＋（m－2 026）2＝7，求（2 025－m）（m－2 026）的值． 专题十　综合与实践 1．如图，多米诺游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时要保证，对于任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定会导致后一块骨牌也倒下．也就是说，只要满足以下两个条件，所有的骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．上述问题启发我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①证明当n取第一个值n0（n0为正整数）时命题成立； ②假设当n＝k（k≥n0，k为正整数）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 该证明方法叫做数学归纳法． 例　用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）（n为正整数）． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝×1×（1＋1）＝1，等式成立． ②假设当n＝k（k≥1，k为正整数）时等式成立，即1＋2＋3＋…＋k＝k（k＋1）． 那么1＋2＋3＋…＋k＋（k＋1）＝k（k＋1）＋（k＋1）＝（k＋1）（k＋2）， 即当n＝k＋1时，等式成立． 根据①和②，可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料，解决下列问题： （1）观察下列图形与对应等式的关系，并填空． （2）请用数学归纳法证明（1）中的结论． 2.综合与实践 【项目主题】从函数角度探究“大型滑梯的设计”． 图① 【抽象建模】如图①为滑梯实物图．首先，把滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图②所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A且垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图象的一部分，但可近似看成是某个二次函数图象一部分与某个反比例函数图象一部分的结合．整条曲线共分为AB，BC，CD三段，其中，曲线AB为冲刺部分，曲线BC为缓冲部分，曲线CD为降速部分． 图② 【数据与定义】已知A（0，5），B（2，2），C（4，1）．现给出如下定义：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），|a|称作该二次函数图象的“曲度”；对于反比例函数y＝（k≠0），称作该反比例函数图象的“曲度”．点P到曲线的竖直距离是指：点P（x0，y0）到曲线上横坐标为x0的点的距离． 【问题解决】（1）从二次函数及反比例函数图象特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图象的一部分；②反比例函数图象的一部分）． （2）根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线AB所在的函数图象“曲度”应该调________（填“大”或“小”）． （3）兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图象的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线BC是冲刺部分曲线AB或降速部分曲线CD所在函数图象的一部分，为进一步验证，可计算曲线BC上一点到这两段曲线所在函数图象的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数图象的可能性越大）．现测得缓冲部分一点E（3，1.33），通过计算判断曲线BC更可能是哪段曲线所在函数图象的一部分． 3.【问题情境】同学们查阅资料得知，部分图形通过裁剪、拼接后能够得到矩形． 【实践操作】（1）嘉嘉将如图①所示的平行四边形通过裁剪拼接得到矩形．若BC＝10 cm，拼接时应将△ABE沿AD平移__________cm. （2）淇淇将如图②所示的三角形通过裁剪、旋转拼接得到矩形．依据图中呈现的操作方法，可知线段DE与BC之间的数量关系为______________，线段AH与DE之间的位置关系为____________． （3）淇淇将如图③所示的四边形通过（2）中的方法裁剪拼成了矩形．请在图③中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（不要求尺规作图，直接在原图形上画图，矩形用实线表示） （4）芳芳将如图④所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转、平移等操作拼成了矩形．若BC＝13 cm，AC＝10 cm，求矩形中较长边的长． 4.（2025广西）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图①）． 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图②所示，P在AD上，MN＝3 m，AN＝1 m，AP＝2 m，AB＝3 m，BC＝2.5 m．由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图③为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形． 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ的位置． 设遮阳区的面积为S m2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为x m. 【直观感知】（1）从初始起右移至图③情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图③情形的x与S的值． 【深入研究】（3）从图③情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式． 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 5.项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全 项目背景：某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图①，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4 m，则AB＝________m． 任务二：模拟探究 若汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段CD模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD＜2AB时（如图①），线段CD能通过直角弯道； ②当CD＝2AB时，存在线段CD的中点E与弯道内侧的顶点B重合的情况，此时线段CD恰好不能通过直角弯道（如图②），∠ADC的度数是__________； ③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道． （3）如图③，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4 m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝a m，PN＝2 m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图④，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A.弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴、y轴平行，OA＝2 m，AB＝4 m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为b m，宽为2 m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为__________． （参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6） 专题十一　几何变换综合与探究 1．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：______________________． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. ①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝__________°，∠CBQ＝__________°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝1 cm时，直接写出AP的长． 2.（2025齐齐哈尔）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是______________；∠AD′C与∠ADB的数量关系是______________． （2）【类比推理】如图②，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形． （3）【深度探究】如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使 ＝，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝______________． （4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝3，AB＝，则DE′的最小值为__________． 3.主题：探索图形平移中的数学问题 问题情境：如图①，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，D是边AC的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边三角形ADE. 操作探究：将△ADE从图①的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′. （1）如图②，善思小组的同学画出了BA′＝BD′时的情形，则此时△ADE平移的距离为_______________． （2）如图③，F是BC的中点．在△ADE平移的过程中，连接E′F交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE′＝OF始终成立，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在△ADE平移的过程中，当△FD′E′为直角三角形时，直接写出△ADE平移的距离． 专题十二　坐标系下的代几综合 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2－6x＋8＝0的两个根（OB＞OC）． （1）求点B的坐标． （2）若OD∶OC＝2∶1，直线y＝－x＋b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan ∠MND的值． （3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图①，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（m，0），（0，n），m＞0，n＞0，顶点C在反比例函数y＝（x>0）的图象上，顶点D在反比例函数y＝（x>0）的图象上． （1）当点D的坐标为（4，1）时， ①求k2的值； ②求m，n的值． （2）当m，n满足什么关系时，k1>k2？请说明理由． （3）如图②，当k1＝k2时，在AD的延长线上取一点E，过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数的图象于点G.当G为EF的中点时，点E的纵坐标为__________．（用含m的代数式表示） 图①　　　　　　　　　图② 3.（2025广东节选）如图，动点B在第一象限内，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．（定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点） 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，△MBC是边长为2的等边三角形，且点D平分，过点M作直线l⊥x轴，交⊙M于点E（位于x轴下方）． （1）求过A，B，E三点的抛物线的函数表达式． （2）求证：四边形AMCD是菱形． （3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于4？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 专题一　猜想与归纳 1．2nxn　2.　3.A　4.A　5.7　6.B　7.n2－2n＋3 8.　9.　　 10．48　【提示】根据勾股定理，易得图①中所有正方形的面积和为8，经过每次操作后增加的小正方形的面积和为4，可推断n次操作后所有正方形的面积和为8＋4n. 11. 12．解：(1)1＋. (2)S1＋S2＋…＋S50＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋＝(1＋1＋1＋…＋1)＋ ＝1×50＋ ＝50＋＝50＋＝50. 专题二　函数图象的分析与判断 1．B　2.C　3.C　4.B　5.D　6.A　7.C　8.C　9.D　10.D 11．A　【提示】连接BD，交AC于点O，由图象可知，当AC＝30 cm时，BD＝40 cm，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当AC＝14 cm时BD的长，即可得出a的值． 12．B 第13题答图 13．B　【提示】如答图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接BD，由图②可知，AD＝20，CD＝8，BD＝15，DE＝12，所以点N的纵坐标表示点D到BC的距离，即DF的长． 专题三　最值问题 1．C　2.3－3　3.　4.－1　5.3　6.4　7. 8．(1)5；(2)(0，－10)；(3)4＋4 9．解：设P，则Q(x，x－4)，PQ＝－x＋4. ∴S△POQ＝·x·＝1－x2＋2x＝－(x－2)2＋3. ∵－＜0，∴当x＝2时，S△POQ有最大值，最大值是3，此时点P的坐标为(2，1). 10．B　11.4 12．12　【提示】胡不归问题，如答图，作射线CE，使∠BCE＝30°，过点D作DF⊥CE，垂足为F，则DF＝DC.当点A，D，F在同一直线上时，2AD＋DC的值最小． 第12题答图 13．解：(1)6. (2)存在三条步道长度和的最大值． 如答图，将△ADE绕点A顺时针旋转至△ABF的位置，延长BF至点M，使FM＝AF.∴∠M＝∠FAM. 第13题答图 由旋转的性质，得AF＝AE，BF＝DE，∠AFB＝∠AED，∠FAB＝∠EAD. ∴AE＝FM，∠FAB＋∠BAE＝∠EAD＋∠BAE，即∠FAE＝∠BAD＝120°. ∴BE＋AE＋DE＝BE＋FM＋BF＝420＋BM. ∵∠DAE＋∠ADE＝60°，∴∠AED＝120°. ∴∠AFB＝120°. 又∠M＋∠FAM＝∠AFB，∠M＝∠FAM， ∴∠M＝∠FAM＝60°. ∴∠FAM＋∠FAE＝180°，即M，A，E三点在同一条直线上． 当BM是以BE为弦，∠M为圆周角的圆的直径时，BM最长，此时三条步道的长度和，即420＋BM也最大． ∴BM最大值＝＝280(m).∴AE，ED，BE三条步道长度和的最大值为(420＋280)m. 专题四　选填常见解题技巧 1．B　2.　3.A　4.B 5．A　【提示】将正方形按如答图所示的方式放置，可快速求解． 第5题答图 6．3　7.8　8. 专题五　计算类解答题 1．解：(1)原式＝5－3－4＝－2. (2)原式＝1－3＋2×＋5＝3＋. (3)原式＝1＋－1＋2×－3＝－. (4)原式＝16－2×－5＋1＋2＝12. 2．解：原式＝[(4b2－a2)－(a2－4ab＋4b2)]÷(－2a) ＝(4b2－a2－a2＋4ab－4b2)÷(－2a) ＝(－2a2＋4ab)÷(－2a) ＝a－2b. 当a＝－1，b＝－时，原式＝－1－2×(－)＝0. 3．解：原式＝(4x2－4xy＋y2－4x2＋4y2)÷ ＝(－4xy＋5y2)÷ ＝8x－10y. 当4x＝5y时，原式＝2(4x－5y)＝2×0＝0. 4．解：原式＝·＝·＝. 当x＝4时，原式＝＝. 5．解：原式＝· ＝· ＝· ＝ ＝. ∵a2－4a＋2＝0，∴a2－4a＝－2. ∴原式＝＝. 6．解：原式＝÷ ＝÷ ＝÷ ＝· ＝. 解不等式 ≤x－1，得x≥－2. ∴不等式的最小整数解为x＝－2. 当x＝－2时，原式＝＝. 7．解：(1)去分母，得12－3(4－3x)＝2(5x＋1). 去括号，得12－12＋9x＝10x＋2. 移项、合并同类项，得－x＝2. 系数化为1，得x＝－2. (2)解：整理方程组，得 ②－①，得2x＝－4，x＝－2. 把x＝－2代入①，得2×(－2)－3y＝－1， y＝－1. ∴原方程组的解为 (3)解：去括号，得x2－4x＋4＝4x－2x2－2＋x. 移项、合并同类项，得3x2－9x＋6＝0. 二次项系数化为1，得x2－3x＋2＝0. 因式分解，得(x－1)(x－2)＝0. 于是得x－1＝0，或x－2＝0， x1＝1，x2＝2. (4)解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8. 去括号，得x2－2x＋x2＋4x＋4＝8. 移项、合并同类项，得2x2＋2x－4＝0. 二次项系数化为1，得x2＋x－2＝0. 因式分解，得(x－1)(x＋2)＝0. 解得x1＝1，x2＝－2. 检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝x2－4＝0， 因此x＝－2不是原分式方程的解． 当x＝1时，(x＋2)(x－2)＝x2－4≠0， 因此x＝1是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x＝1. 8．解： 解不等式①，得x＞－1. 解不等式②，得x＜4. ∴不等式组的解集为－1＜x＜4. 该不等式组的解集在数轴上的表示如答图所示． 第8题答图 ∴它的整数解为0，1，2，3. 专题六　实际应用题 1．解：(1)设该水果店购进A品种车厘子m盒，B品种车厘子n盒． 根据题意，得 解得 答：该水果店购进A品种车厘子30盒，B品种车厘子20盒． (2)设购进A品种车厘子x盒，则购进B品种车厘子(80－x)盒，设销售完这批车厘子获得的毛利润为w元． ∵用于购进两个品种的车厘子的总资金不超过11 200元， ∴125x＋150(80－x)≤11 200. 解得x≥32. 根据题意，得w＝(150－125)x＋(200－150)(80－x)＝－25x＋4 000. ∵－25＜0，∴w随x的增大而减小． ∴当x＝32时，w取最大值，此时w＝－25×32＋4 000＝3 200. 答：购进A品种车厘子32盒，B品种车厘子48盒才能使销售完这批车厘子获得的毛利润最大，最大毛利润为3 200元． 2．解：(1)y＝. (2)由题意，把y＝24代入y＝，得24＝. 解得x＝12.5. 答：当砝码的质量为24 g时，托盘B与点O之间的距离是12.5 cm. (3)应往托盘B中添加砝码．理由如下： ∵300＞0， ∴该函数图象在第一象限内，y的值随x值的增大而减小． 当托盘B向左移动(不能移动到点O)时，x减小，此时y增大． ∴应往托盘B中添加砝码． 3．解：(1)∵y1＝k1x＋b的图象过点(0，30)，(10，180)， ∴解得 k1＝15表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元． b＝30表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元． (2)由题意，得打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25(元)． k2＝25×0.8＝20. (3)选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意，得y1＝15x＋30，y2＝20x. 当小华健身8次时， 选择方案一所需费用为y1＝15×8＋30＝150(元). 选择方案二所需费用为y2＝20×8＝160(元). ∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少． 4．解：(1)由题意，得A(0，1)，顶点P(1.5，0.7). 设该抛物线的解析式为y＝a(x－1.5)2＋0.7. 把A(0，1)代入y＝a(x－1.5)2＋0.7， 得1＝a(0－1.5)2＋0.7.解得a＝. ∴该抛物线的解析式为y＝(x－1.5)2＋0.7. (2)此树枝不需要修剪．理由如下： 把y＝1.9代入y＝(x－1.5)2＋0.7，得 1．9＝(x－1.5)2＋0.7. 解得x1＝4.5，x2＝－1.5(不合题意，舍去). ∵4.5＜4.7，∴此树枝不需要修剪． 5．解：任务1：如答图，过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝90°，即遮阳棚前端B到地面MN的距离等于DH的长． 第5题答图 ∵AB＝CB＝4，∴△ABC为等腰三角形． 又BH⊥AC，∠ABC＝22°， ∴∠HBC＝11°. ∴CH＝CB·sin ∠HBC≈0.764. ∵CD＝2， ∴DH＝CH＋CD≈0.764＋2＝2.764≈2.76(m). 答：遮阳棚前端B到地面MN的距离约为2.76 m. 任务2：如答图，过点B作BG⊥MN于点G，则∠BGE＝90°. ∵FD⊥MN，∴∠ADG＝90°. 由(1)，得∠BHC＝90°.∴四边形HDGB是矩形． ∴BG＝DH≈2.76，BH＝DG. 在Rt△BHC中，∠HBC＝11°，CB＝4， ∴BH＝CB·cos ∠HBC≈3.928.∴DG≈3.928. 在Rt△BGE中，∠BEN＝61°，∴EG＝≈1.530. ∴DE＝DG－EG≈3.928－1.530＝2.398≈2.40(m). 答：当太阳光线与地面夹角∠BEN为61°时，遮阳棚有效遮阳宽度DE的长约为2.40 m. 专题七　几何证明与计算(含尺规作图) 1．解：(1)如答图，△BED即为所求．(作法不唯一) 第1题答图 (2)如答图．∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝2，AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠ADB＝∠CBD. 由(1)，得△BCD≌△BED. ∴∠EBD＝∠CBD. ∴∠FBD＝∠FDB.∴FB＝FD. 设AF＝x，则BF＝DF＝2－x. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋AF2＝BF2， 即12＋x2＝(2－x)2.解得x＝.∴AF＝. 2．(1)证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点，∴OD∥AC. 又AE∥BC，∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE＝CD. ∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD.∴AE＝BD. 又AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形． (2)解：四边形AEBD是矩形．证明如下： ∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. 由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形． ∴四边形AEBD是矩形． 3．(1)证明：如答图，连接OC. 第3题答图 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.∴∠A＋∠OCB＝90°. ∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥CD. ∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)解：∵点B是AD的中点， ∴BD＝AB＝2OC. ∵OB＝OC，∴OD＝OB＋BD＝3OC． ∴＝. ∵BE⊥AD，∠OCD＝90°， ∴sin D＝＝＝. ∴DE＝3BE＝9.∴BD＝＝＝6. ∴OC＝3，即⊙O的半径为3. 4．(1)证明：如答图1，连接OA. 第4题答图1 ∵DA平分∠BDE，∴∠EDA＝∠BDA. ∵OD＝OA，∴∠BDA＝∠OAD. ∴∠OAD＝∠EDA.∴CE∥OA. ∵AE⊥CD，∴OA⊥AE. ∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线． (2)解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°. ∵AE⊥CD，∴∠E＝90°＝∠BAD. 又∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD.∴＝. ∴BD·DE＝AD2＝22＝4. (3)解：如答图2，连接AO并延长交BC于点F，连接AC. 第4题答图2 ∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°. 由(1)，得AE⊥CD，OA⊥AE， ∴∠E＝∠EAF＝90°＝∠BCD.∴四边形AECF是矩形． ∴AF⊥BC，AE＝CF，CE＝AF. 又AF过圆心O，∴CF＝BF. 设CD＝x，则BC＝2CD＝2x. ∴AE＝CF＝BF＝BC＝x，BD＝＝x. ∴OA＝OB＝BD＝ x.∴OF＝＝x. ∴CE＝AF＝OA＋OF＝ x. ∵∠ABD＝∠ACD，∴tan ∠ABD＝tan ∠ACE＝＝＝. 专题八　函数综合与探究 1．解：(1)①画出y与x的大致图象如答图所示． 第1题答图 二次函数． ②设y＝ax2＋bx＋c.把(0，0)，(2，92)，(5，200)代入， 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋50x. (2)发射时间为12.5 s时，镁球到达最高处． (3)∵镁球到达最高处后再过1.5 s会燃烧完， ∴第1个镁球燃烧完的时间为12.5＋1.5＝14(s)， 此时y＝－2×142＋50×14＝308. 设第2个镁球的发射时间为x0秒． 令－2x＋50x0＝308. 解得x0＝11或x0＝14(舍去). ∴这两个镁球发射时间相隔14－11＝3(s). 2．解：(1)将A(2，6)代入y＝2x＋b，得6＝2×2＋b. 解得b＝2. ∴一次函数的解析式为y＝2x＋2. 将A(2，6)代入y＝，得6＝.解得m＝12. ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)由平移的性质，得直线BC的解析式为y＝2x＋2－12＝2x－10. 联立解得或 ∴B(－1，－12)，C(6，2). 如答图，过点A作AT∥y轴，交直线BC于点T. 第2题答图 ∵A(2，6)，∴点T的横坐标为2. 将x＝2代入y＝2x－10，得y＝2×2－10＝－6.∴T(2，－6). ∴AT＝6－(－6)＝12. ∴S△ABC＝S△ABT＋S△ACT＝AT·|xC－xB|＝×12×7＝42. 3．解：(1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4， ∴B(－3，0). ∴解得 ∴该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. (2)如答图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F. 第3题答图 设P(m，0)，则PA＝1－m. ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴C(－1，－4).∴CF＝4. ∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA. ∴＝，即 ＝. ∴QE＝1－m. ∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA＝PA·CF－PA·QE＝(1－m)×4－(1－m)(1－m)＝－(m＋1)2＋2. ∵－3≤m≤1，∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值2. ∴△CPQ面积的最大值为2，此时点P的坐标为(－1，0). 4．解：(1)把(1，0)代入y＝x2－ax＋5，得1－a＋5＝0. 解得a＝6. (2)由题意，得点B，C关于抛物线对称轴直线x＝－＝3对称，且其纵坐标均为t.∴＝3. 又点B为线段AC的中点，∴xC＝2xB. ∴＝ xB＝3.∴xB＝2. 把x＝2代入y＝x2－6x＋5，得y＝22－6×2＋5＝－3. ∴t＝－3. (3)∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(3，－4). ∵抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m＜3＜n， ∴下方与x轴平行的直线不能在顶点(3，－4)上方． 又直线l1，l2之间的距离为16， ∴如答图，要使n－m最大，则下方与x轴平行的直线应恰好经过抛物线的顶点(3，－4)，此时另一条直线的解析式为y＝16－4＝12. 第4题答图 把y＝12代入y＝x2－6x＋5， 得x2－6x＋5＝12. 解得x1＝7，x2＝－1，即n＝7，m＝－1. ∴n－m的最大值为7－(－1)＝8. 5．解：(1)联立解得或 ∴A(－2，－2)，B(6，6). (2)设P，则M，N(t，t). ∴PM＝|2t|，PN＝t－ t2＋3. ∵PM＝PN，∴|2t|＝t－ t2＋3. 当t≥0时，解得t＝2或t＝－6(舍去)； 当t＜0时，解得t＝6＋4(舍去)或t＝6－4. ∴点P的横坐标为2或6－4. (3)设C，D，直线CD的解析式为y＝kx＋b. 把C，D代入y＝kx＋b， 得解得 ∴直线CD的解析式为y＝x－cd－3. 又直线CD经过原点，∴－cd－3＝0.∴cd＝－12. 同理可得直线AC的解析式为y＝x＋c－3，直线BD的解析式为y＝x－d－3. ∴F，E. ∵cd＝－12，∴＝＝＝－. ∴OF＝OE. 又S△DOF＝S△COE，∴×OF·|d|＝××OE·|c|. ∴＝. ∵点C在第二象限，∴c＜0. 又cd＝－12，∴c＝－4，d＝3. ∴直线CD的解析式为y＝－x. 6．解：(1)把B(9，0)，C(0，－3)代入y＝ x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－3. (2)如答图1，当点P在BC下方时． 第6题答图1 ∵∠PCB＝∠OBC，∴PC∥OB. ∴点P与点C关于抛物线的对称轴对称． 又抛物线的对称轴为直线x＝－＝4， ∴点P的坐标为(8，－3) .　　　 如答图2，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于点H. 第6题答图2 ∵∠PCB＝∠OBC，∴CH＝BH. ∴CH2＝BH2. 设H(m，0).∴(0－m)2＋(－3－0)2＝(9－m)2. 解得m＝4.∴H(4，0). 设直线PC的解析式为y＝k1x＋b1. 把H(4，0)，C(0，－3)代入y＝k1x＋b1， 得∴ ∴直线PC的解析式为y＝ x－3. 联立解得(舍去)或 ∴点P的坐标为. 综上所述，点P的坐标为(8，－3)或. (3)点E的坐标为(－5，14)或(13，38)或. 【提示】由(2)可得原抛物线对称轴为直线x＝4. ∵B(9，0)，∴由对称性可得A(－1，0).∴OA＝1. ∵C(0，－3)，∴OC＝3. ∴AC＝＝. ∵将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线，∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个单位长度得到新抛物线． ∴新抛物线的解析式为y＝(x＋2)2－(x＋2)－3＋6＝ x2－ x－1. 当BE为平行四边形的对角线时，＝，即＝.　 ∴xE＝－5.∴yE＝×(－5)2－×(－5)－1＝14. 此时点E的坐标为(－5，14). 当BF为平行四边形的对角线时，＝，即＝.　 ∴xE＝13.∴yE＝×132－×13－1＝38. 此时点E的坐标为(13，38). 当BC为平行四边形的对角线时，＝，即＝.　 ∴xE＝5.∴yE＝×52－×5－1＝. 此时点E的坐标为. 综上所述，点E的坐标为(－5，14)或(13，38)或. 7．解：(1)6. (2)m＝46.画出T＝3时的曲线C3如答图所示． 第7题答图 【提示】∵T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，∴50－48≤48－m≤m－43.∴45.5≤m≤46. 又m为整数，∴m＝46. (3)①7；②1. 专题九　代数推理 1．A 2．解：(1)2x＋y. (2)原式＝＝＝. ∵(x－1)2≥0， ∴不管x取何值，二次根式有意义． 3．(1)解：①.②不等式的性质1.③－. (2)证明：由条件可知，a－b＝－. ∵－＝＝，∴a－b＝. ∵a≠b，∴a－b≠0.∴1＝.∴ab＝－2. 4．证明：(1)∵＝1 000a＋100b＋10c＋d＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)＝3(333a＋33b＋3c)＋(a＋b＋c＋d)，∴若a＋b＋c＋d可以被3整除，则这个数可以被3整除． (2)设y1＝x，y2＝x，则y1－y2＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2). 当x1＞x2＞0时，(x1＋x2)(x1－x2)＞0. ∴y1－y2＞0.∴y1＞y2. ∴当x＞0时，y随x的增大而增大． 5．解：设＝m，＝n(m≥0，n≥0). ∴m＋n＝4，m2－n2＝25－x2－(17－x2)＝8. ∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)，∴m－n＝2. 联立解得 ∴25－x2＝9，17－x2＝1. ∴x＝±4. 6．解：(1)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab. (2)由(1)，得(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy. ∴52＝(x－y)2＋4×.∴x－y＝4或x－y＝－4. (3)设a＝2 025－m，b＝m－2 026，则a＋b＝－1，a2＋b2＝(2 025－m)2＋(m－2 026)2＝7. ∴(2 025－m)(m－2 026)＝ab＝＝＝－3. 专题十　综合与实践 1．(1)42　n2. (2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k为正整数)时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2. 那么1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时，等式成立． 根据①和②，可知等式1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2对于任何正整数n都成立． 2．解：(1)②；(2)小． (3)将A(0，5)，B(2，2)代入y＝ax2＋bx＋c， 得∴4a＋2b＝－3. 将C(4，1)代入y＝，得1＝.解得k＝4. ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵整条曲线各段所在函数图象的“曲度”是一致的， ∴|a|＝，即|a|＝.∴a＝±. ∵抛物线开口向上，∴a＝.∴4×＋2b＝－3. 解得b＝－2. ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x＋5. 当x＝3时，二次函数y＝×32－2×3＋5＝，反比例函数y＝. ∴E(3，1.33)到曲线AB所在函数图象的竖直距离为＝，到曲线CD所在函数图象的竖直距离为＝. ∵＞，∴曲线BC更可能是曲线CD所在的反比例函数图象的一部分． 3．解：(1)10.(2)DE＝BC　AH⊥DE. (3)补全剪拼过程和剪拼后的图形如答图1所示．(画法不唯一) 第3题答图1 (4)如答图2，连接BD，交AC于点O. 第3题答图2 由题意，得拼成矩形的一组邻边的长分别为BD，AC的长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AC＝5 cm，BO＝OD，BD⊥AC. ∴BO＝＝＝12(cm). ∴BD＝2BO＝24 cm. ∵24 cm>10 cm，∴矩形中较长边的长为24 cm. 4．解：(1)从初始起右移至图③情形的过程中，S随x的增大而增大． (2)在图③中，x＝PQ＝AB＝3，此时NB＝1. ∴AN＝AB－NB＝3－1＝2. ∴S＝＝＝5. (3)▱MNPQ从图③情形起右移至M与A重合过程中的某位置如答图所示，此时3≤x≤4， 第4题答图 记PN与BC交于点J，PQ与BC交于点K，QM与 AD 交于点R，则PK＝x－3，MA＝4－x. 在图②中，tan ∠PNA＝＝2. ∴tan ∠KPJ＝＝2. ∴JK＝2(x－3). ∴S△JPK＝PK·JK＝(x－3)2. 同理，得tan ∠RMA＝＝2.∴RA＝2(4－x). ∴S△RAM＝MA·RA＝(4－x)2. 由题意，得S▱MNPQ＝3×2＝6. ∴S＝S▱MNPQ－S△RAM－S△JPK＝6－(4－x)2－(x－3)2＝－2x2＋14x－19. (4)当遮阳区面积最大时，▱MNPQ 向右移动了 m. 【提示】当0＜x≤3时，S随x的增大而增大， ∴当x＝3时，S取到最大值，最大值为5. 当3＜x≤4时，S＝－2x2＋14x－19＝－2＋. ∴当x＝时，S取到最大值，最大值为. 当x＞4时，S随x的增大而减小，此时S＜. ∵5＜， ∴当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了 m． 5．解：(1)4.(2)45°. (3)如答图1，设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H. 第5题答图1 ∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥MN，MQ＝PN＝2. ∵AB⊥PQ，∠BAI＝∠BAH＝45°， ∴∠IHA＝∠HIA＝45°. ∴△AHI，△MIQ，△NPH都为等腰直角三角形． ∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2. ∴PQ＝HI－IQ－PH＝8－4≈8×1.4－4＝7.2. ∴a的最大整数值为7. (或如答图2，设AB与MN相交于点G. 第5题答图2 由四边形PQMN为矩形，AB⊥BQ，B为PQ的中点，易得G为MN的中点，BG＝NP＝2. ∴MN＝2AG.∴AG＝AB－BG＝4－2. ∴MN＝2AG＝8－4≈8×1.4－4＝7.2. ∴a的最大整数值为7.) (4)10.　【提示】如答图3，过点A作AA′⊥x轴于点A′. 第5题答图3 易得OA′＝AA′＝.∴A(，). ∴反比例函数的解析式为y＝. 设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2． ∴OP＝OA＋AP＝2＋AP＝BP＋AP＝AB＝4. 过点P作PP′⊥x轴于点P′，则PP′＝OP′＝4.∴P(4，4). ∴直线MN的解析式为y＝－x＋8. 联立，得＝－x＋8. 解得x＝4±. ∴M(4－，4＋)，N(4＋，4－). ∴MN＝＝＝4≈10.4. ∴b的最大整数值为10. 专题十一　几何变换综合与探究 1．解：(1)∠EMB(或∠CBM或∠ABP或∠PBM)． (2)①15，15. ②∠MBQ＝∠CBQ.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°. 由折叠的性质，得AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°. ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°. 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL).∴∠MBQ＝∠CBQ. (3)AP的长为 cm或 cm. 【提示】由折叠的性质，得DF＝CF＝4 cm，AP＝PM. ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，∴CQ＝MQ. 设AP＝x cm，则PD＝(8－x)cm. 当点Q在线段CF上时，MQ＝CQ＝CF－FQ＝3 cm，DQ＝DF＋FQ＝5 cm. ∴PQ＝PM＋MQ＝AP＋MQ＝(x＋3)cm. 在Rt△PDQ中，PD2＋DQ2＝PQ2，即(8－x)2＋52＝(x＋3)2.解得x＝.∴AP＝ cm. 当点Q在线段DF上时，MQ＝CQ＝CF＋FQ＝5 cm，DQ＝DF－FQ＝3 cm. ∴PQ＝PM＋MQ＝AP＋MQ＝(x＋5)cm. 在Rt△PDQ中，PD2＋DQ2＝PQ2，即(8－x)2＋32＝(x＋5)2.解得x＝.∴AP＝ cm. 综上所述，AP的长为 cm或 cm. 2．(1)相等(或CD′＝BD)　相等(或∠AD′C＝∠ADB). (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝90°，BC＝DC. 由旋转的性质，得∠ECE′＝90°，CE＝CE′. ∴∠DCB－∠BCE＝∠ECE′－∠BCE，即∠DCE＝∠BCE′. ∴△BCE′≌△DCE(SAS).∴∠CE′B＝∠CED＝90°. ∵∠CED＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°. ∴∠CE′B＝∠ECE′＝∠CEF＝90°.∴四边形CEFE′是矩形． 又CE＝CE′，∴四边形CEFE′是正方形． (3)－.　【提示】由旋转的性质，得∠ECE′＝90°，CE＝CE′.∵＝，∴＝. ∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠BCD＝90°. ∴＝.∴＝＝. 又∠DCB－∠BCE＝∠ECE′－∠BCE，即∠DCE＝∠BCE′， ∴△BCG∽△DCE. ∴∠CGB＝∠CED＝90°. ∵∠CED＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°. ∴∠CGB＝∠ECG＝∠CEF＝90°. ∴四边形CEFG是矩形．∴CE＝FG. 如答图1，连接AC，CF，易得＝，∠ACD＝∠FCE.∴∠ECD＝∠FCA. 第2题答图1 ∴△ECD∽△FCA. ∴＝，即＝.∴DE＝. 在Rt△DEC中，CE＝＝. ∴FG＝CE＝. ∵△BCG∽△DCE，∴＝，即＝.∴BG＝. ∴BF＝FG－BG＝－. (4).　【提示】如答图2，连接AC，BD交于点O，连接OE′. 第2题答图2 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB. ∵AD＝3，AB＝， ∴AC＝BD＝＝2. ∴AO＝OB＝AB＝. ∴△AOB是等边三角形． ∴∠OAB＝∠AOB＝60°. 由旋转的性质，得AE＝AE′，∠EAE′＝60°. ∴∠OAB－∠OAE＝∠EAE′－∠OAE，即∠EAB＝∠E′AO. 又AO＝AB，AE′＝AE，∴△E′AO≌△EAB(SAS). ∴∠AOE′＝∠ABE＝90°. ∴点E′在OE′上运动，且E′O⊥AC. ∴当DE′⊥OE′时，DE′取得最小值． ∵∠AOB＝60°，∴∠E′OD＝30°. ∴当DE′⊥OE′时，DE′＝OD＝BD＝. 故DE′的最小值为. 3．(1)2. (2)证明：∵△ABC和△A′D′E′都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠E′A′D′＝60°，A′D′＝A′E′，AB＝AC＝BC. 由平移的性质，得AD＝A′D′＝A′E′. ∵F是BC的中点，D是AC的中点， ∴CF＝BC＝AC＝AD.∴A′E′＝CF. ①如题图③，当点A′在线段AC上(不与点C重合)时， ∵∠OA′E′＝∠OCF＝60°，∠A′OE′＝∠COF，A′E′＝CF， ∴△OA′E′≌△OCF(AAS).∴OE′＝OF. ②如答图1，当点A′与点C重合时，点O与点C重合，则OE′＝A′E′，OF＝CF.∴OE′＝OF. 第3题答图1 ③如答图2，当点A′在线段AC的延长线上(不与点C重合)时，∵∠ACB＝∠E′A′D′＝60°，∠ACB＋∠FCO＝180°，∠E′A′D′＋∠OA′E′＝180°，∴∠FCO＝∠E′A′O. 第3题答图2 又∠E′OA′＝∠FOC，A′E′＝CF，∴△OA′E′≌△OCF(AAS). ∴OE′＝OF. 综上所述，OE′＝OF始终成立． (3)解：△ADE平移的距离是8或16. 【提示】①如答图1，当点A′与点C重合时，∵△A′D′E′是等边三角形，∴∠E′A′D′＝∠A′D′E′＝∠E′＝60°. ∵A′F＝A′D′＝4，∴∠A′FD′＝∠A′D′F＝∠E′A′D′＝30°． ∴∠FD′E′＝∠A′D′F＋∠A′D′E′＝90°，即△FD′E′为直角三角形．此时DD′＝CD＋A′D′＝4＋4＝8，即△ADE平移的距离是8. ②如答图2，当∠D′E′F＝90°时，∵∠A′E′D′＝∠E′A′D′＝60°，∴∠A′E′O＝90°－∠A′E′D′＝30°. ∴∠A′OE′＝∠E′A′D′－∠A′E′O＝30°. ∴∠A′E′O＝∠A′OE′.∴A′O＝A′E′＝4. 由(2)，得△OCF≌△OA′E′.∴CO＝A′O＝4. ∴DD′＝CD＋CO＋A′O＋A′D′＝4＋4＋4＋4＝16. ∴△ADE平移的距离是16. ③当∠E′FD′＝90°时，此种情况不存在，舍去． 综上所述，△ADE平移的距离是8或16. 专题十二　坐标系下的代几综合 1．解：(1)由x2－6x＋8＝0，得x1＝4，x2＝2. ∵OB＞OC，∴OB＝4，OC＝2.∴B(－4，0). (2)∵OD∶OC＝2∶1，OC＝2，∴OD＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6. ∵M是AD的中点，∴MD＝3.∴M(－3，4). 将M(－3，4)代入y＝－x＋b，得3＋b＝4.解得b＝1. 在y＝－x＋1中，令x＝0，得y＝1； 令y＝0，得x＝1.∴E(1，0)，F(0，1).∴∠FEO＝45°. 如答图1，过点C作CH⊥EN于点H，过点N作NK⊥BC于点K. 第1题答图1 ∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，∴△DOC∽△NKC. ∴＝. ∴DO∶OC＝NK∶CK＝2∶1. ∴NK＝2CK.又∠NEK＝∠FEO＝45°， ∴△EKN，△ECH是等腰直角三角形． ∴EK＝NK，EH＝CH. ∴EK＝2CK＝CE＋CK. ∴CK＝CE＝OC－OE＝2－1＝1. ∴NK＝2，EN＝2，EH＝CH＝＝. ∴NH＝EN－EH＝.∴tan ∠MND＝＝＝. (3)存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，这样的三角形共有8个，点Q的坐标为(－4，5)或或(4，－3)或.(点Q的坐标写出其中任意两个即可) 【提示】由(2)可得N(3，－2).设P(0，m)，Q(t，－t＋1). ∴PN2＝9＋(m＋2)2，QN2＝2(t－3)2，PQ2＝t2＋(m＋t－1)2. 当PN＝5时，9＋(m＋2)2＝25.解得m＝2或m＝－6. 当QN＝5时，2(t－3)2＝25. 解得t＝. ①如答图2，△P′NQ1，△PNQ2，△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形， 第1题答图2 结合图形可得Q1(－4，5)，Q2. ②如答图3，△P′NQ3，△P′NQ4，△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，结合图形可得Q3(4，－3)，Q4． 第1题答图3 ③如答图4，△PQ5N，△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，结合图形可得Q5，与点Q2重合． 第1题答图4 综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，点Q的坐标为(－4，5)或或(4，－3)或.　 2．解：(1)①将D(4，1)代入y＝，得1＝.解得k2＝4. ②如答图1，过点D作DM⊥x轴于点M. 第2题答图1 ∴∠AOB＝∠DMA＝90°. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠BAO＋∠DAM＝∠DAM＋∠ADM＝90°． ∴∠BAO＝∠ADM. 在△AOB和△DMA中， ∴△AOB≌△DMA(AAS). ∴OB＝MA＝n，OA＝MD＝m. ∴OM＝OA＋MA＝m＋n.∴D(m＋n，m). 又点D的坐标为(4，1)，∴解得 即m的值为1，n的值为3. (2)当n>m时，k1>k2.理由如下： 如答图1，过点C作CN⊥y轴于点N.由(1)知D(m＋n，m). 将(m＋n，m)代入y＝，得m＝. ∴k2＝m(m＋n).同理可得△AOB≌△BNC(AAS). ∴OB＝NC＝n，OA＝NB＝m. ∴ON＝NB＋OB＝m＋n.∴C(n，m＋n). 将C(n，m＋n)代入y＝，得m＋n＝.∴k1＝n(m＋n). 若k1>k2，则n(m＋n)>m(m＋n).∵m>0，n>0，∴n>m. (3)m.　【提示】由(2)，得C(n，m＋n)，D(m＋n，m). 又k1＝k2，∴n(m＋n)＝m(m＋n). ∵m>0，n>0，∴n＝m，即OA＝OB. 又∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠EAF＝45°.∵EF⊥EA，∴△AEF是等腰直角三角形． 如答图2，过点E作EH⊥x轴于点H，则EH＝AH＝HF. 第2题答图2 设EH＝AH＝HF＝t.∴E(m＋t，t)，F(m＋2t，0). ∵G为EF的中点，∴G. ∵m＝n，∴k1＝k2＝2m2.将点G代入反比例函数y＝，得2m2＝t. 整理，得3t2＋2mt－8m2＝0.解得t＝－2m(舍)或t＝m. ∴点E的纵坐标为m. 3．解：∵∠DOE<∠AOC＝90°，∴∠DOE≠90°.△ODE是等腰直角三角形分两种情况： ①当∠OED＝90°，DE＝OE时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．证明如下： 设点E的坐标为(m，n)，则OC＝n，CE＝m. 根据题意可知，∠OCE＝∠OED＝∠EBD＝90°. ∴∠CEO＋∠BED＝∠BDE＋∠BED＝90°. ∴∠CEO＝∠BDE. 在△COE和△BED中， ∴△COE≌△BED(AAS). ∴BD＝m，BE＝n，m＜n. ∴B(m＋n，n)，A(m＋n，0)，D(m＋n，n－m). 又点E，D在反比例函数y＝ 的图象上， ∴k＝nm＝(n＋m)(n－m)，即m2＋mn＝n2或m2＝n2－mn. 整理，得 ＝ 或 ＝. 又 ＝，＝，＝，＝， ∴＝，＝. 即证得点E，D分别是BC，AB的中外比点． 如答图，过点F作FH⊥AO于点H，设F(t＞0)， 第3题答图 ∴∠BAO＝∠FHO＝90°. ∴AB∥FH.∴∠ABO＝∠HFO. ∴△HFO∽△ABO. ∴＝，即＝. ∴t2＝m2＋mn. 又mn＝n2－m2，∴t2＝m2＋mn＝n2. ∴t＝n.∴F(n，m). ∴＝＝，＝＝.∴＝. 即证得点F是OB的中外比点． ②当∠ODE＝90°，OD＝ED时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点，同理可证． 4．(1)解：由题意可知，△MBC是边长为2的等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则AM＝BM＝CM＝EM＝2. 又CO⊥BM，∴OM＝OB＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)，E(－1，－2)． 设过A，B，E三点的抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0). 把E(－1，－2)代入y＝a(x＋3)(x－1)，得－4a＝－2. 解得a＝. ∴过A，B，E三点的抛物线的函数表达式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－. (2)证明：如答图，连接DM. 第4题答图 ∵△BCM为等边三角形， ∴∠BMC＝60°. ∴∠AMC＝120°. ∵点D平分，∴＝. ∴∠AMD＝∠CMD＝∠AMC＝60°. ∵DM＝CM＝AM， ∴△MCD，△MDA是等边三角形． ∴DC＝CM＝AM＝AD. ∴四边形AMCD为菱形． (3)解：存在． ∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4. 设点P的纵坐标为n. ∵S△ABP＝AB·|n|＝2|n|＝4，解得n＝±2. 当n＝2时，x2＋x－＝2. 解得x1＝－1＋2，x2＝－1－2. ∴点P的坐标为(－1＋2，2)，(－1－2，2). 当n＝－2时，x2＋x－＝－2. 解得x1＝x2＝－1. ∴点P的坐标为(－1，－2). 综上所述，点P的坐标为(－1＋2，2)或(－1－2，2)或(－1，－2). 学科网（北京）股份有限公司 $