精品解析：内蒙古霍林郭勒市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（2026.1.24）

霍林郭勒市第一中学2025-2026学年度高三数学周测 （2026.1.24） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为210 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 11. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知且，则______. 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 四、解答题 15. 已知函数，. （1）求函数的值域及单调区间； （2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 16. 已知各项均为正数的数列的前项和为. （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设函数，求使成立的x的取值集合. 18. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍林郭勒市第一中学2025-2026学年度高三数学周测 （2026.1.24） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 则. 故选：B 3. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数是以3为周期的周期函数，根据函数的周期性分别求出即可得解. 【详解】解：因为为偶函数， 所以函数关于直线对称，则有， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以 所以是以3为周期的周期函数， 故，， 所以. 故选：A. 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：B. 5. 已知不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的解集，得到，，，进而可求解； 【详解】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又，则， 即有. 故选：. 7. 已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，再分别求出两个函数的最大值即可得解. 【详解】，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 而时，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为210 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由题意得，，再由组合数的性质，求出，再令结合展开式的各项系数之和为1024求出，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【详解】解：因为的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等； ； 展开式的各项系数之和为1024， ； ； ． 原二项式为：；其展开式的通项公式为：； 展开式中奇数项的二项式系数和为：；故错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，对； 令，即展开式中存在常数项，对； 令，，对； 故选：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式、和差倍角的正弦公式、诱导公式等逐项计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：ACD. 11. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知且，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】由换底公式化为同底的对数，然后解方程可得. 【详解】因为，根据换底公式得， 计算得，即， 解得，或， 可知，解得， ，解得，因为，所以此答案舍去， 故答案为：. 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由和事件的概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】由，可知， 又，可得， 由，可得， 所以. 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再求出，即可求出答案. 【详解】， 即， 所以， 因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数，. （1）求函数的值域及单调区间； （2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1）的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 16. 已知各项均为正数的数列的前项和为. （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） ， ， 因为的各项均为正数，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）由等式关系判断数列为等差数列，计算前项和； （2）根据裂项相消法计算数列的前项和，进而证得不等式. 【小问1详解】 当时，由，得，所以， 因为，所以， 两式相减得，即， 因为的各项均为正数，所以， 当为偶数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 当为奇数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 综上，，， 所以， 所以是以为首项，2为公差的等差数列， ； 【小问2详解】 略 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设函数，求使成立的x的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦型函数的周期，以及最高点，确定函数解析式中的参数，即可求解解析式； （2）利用三角函数恒等变形得，则得，然后结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图可知，，得， 由，得，即，， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知 ， 由得，所以或， 所以或. 所以x的取值集合为. 18. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】（1） （2）证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明如下： 当时，由，得， 设，则， 设，则，则即在内单调递增， ∵，， ∴存在，使得，即，即，， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， ∴， ∵当，即时，，上式取不到等号， ∴时，. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号确定区间单调性； （2）问题化为证明，构造并利用导函数研究不等式恒成立，即可证. 【小问1详解】 由的定义域为， ， 若，则，在内单调递增， 若，当时，在内单调递减， 当时，，在内单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $