精品解析：黑龙江省绥化市第九中学2026-2027学年高三上学期10月期中数学试题

绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性验证：当时，可得，充分性成立， 必要性验证：当时，取，，此时，但，因此必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 2. 已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可设圆的方程为， 将代入可得，解之得， 所以圆心与半径分别为， 则C到的距离为， 所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为， 其和为. 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得. 【详解】如图，在长方体中， 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确． 4. 一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角．现有一个距离杆子底部水平距离为2米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形边角关系，将光照强度转化为关于杆高的函数；对目标函数求导，通过导数符号判断函数单调性，找到函数取得最大值对应的值，即为所求路灯杆的高度. 【详解】如图所示：由题意得，由勾股定理得，则其中， 根据商的导数运算法则，令，，则，， 所以，令得（舍去）或. 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 因此，当时，取得最大值，即点光照最强. 5. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六个完全一样的正四棱柱分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面展开图的面积至少为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出外接圆柱的底面半径，再结合其侧面积公式计算. 【详解】由题意得，该圆柱形容器的半径的最小值为， 所以该圆柱形容器的侧面展开图面积的最小值为. 6. 已知，，成等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列转化角的关系，再联立方程组求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以，则. 设，，则，，. 又，， 所以， 整理得，即， 所以，即. 7. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换求解. 【详解】因为， 所以只需将函数向左平移个单位长度得到. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，由，得，当时，由，得，故B错误； 对于C，， 又因为，所以，又，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又因为，所以，故D错误. 11. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，先根据已知条件判断数列的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解通项公式；对于CD，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得. 【详解】对于A选项，由题意可得，即， 又，所以数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，A正确； 对于B选项，由题意可得，，所以数列为等比数列， 其首项为，公比为，所以，B错误； 对于C选项，由题意可得， 可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，C错误； 对于D选项，由题意可得，可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名， 所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是. 13. 二项式的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据题意，展开式的通项为， 令，则． 14. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 16. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为17. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 17. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【小问1详解】 如图： 由， 因为， 所以， 由，得，又，则． 【小问2详解】 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． 【小问3详解】 因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 18. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 19. 已知点满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最小值． 【答案】（1）40；10. （2）． 【解析】 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【小问1详解】 表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ， 即的最大值为40，最小值为10. 【小问2详解】 解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 4. 一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角．现有一个距离杆子底部水平距离为2米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六个完全一样的正四棱柱分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面展开图的面积至少为（ ）（容器壁的厚度忽略不计） A. B. C. D. 6. 已知，，成等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______. 13. 二项式的展开式中的系数为15，则________． 14. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 16. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 17. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 19. 已知点满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $