2.1不等式及其性质 寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2.1不等式及其性质寒假预习课时练 一、单选题 1．下列解集中，包括2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可． 【详解】解：A．表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意； B．表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意； C．表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意； D．表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式． 【详解】解：A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式； B未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式； C是二元一次不等式，所以不是一元一次不等式； Ｄ是一元一次不等式，所以D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，熟记一元一次不等式的定义是解本题的关键． 3．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A．不等式两边同时减b，可得，选项不成立，不符合题意； B．当时，可得，选项不成立，不符合题意； C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项不成立，不符合题意； D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意； 故选：D． 4．若，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】解：A、在两边都乘上6可得，，故选项正确，此选项不符合题意； B、在两边都加上1可得，，故选项正确，此选项不符合题意； C、在两边都乘上可得，，故选项错误，此选项符合题意； D、根据不等式性质3可知，两边同乘以时，可得，两边都加上1可得，故选项正确，此选项不符合题意． 故选：C． 5．若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解本题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故A选项正确，符合题意； 当时，，故B选项错误，不符合题意； 当，时，，故C选项错误，不符合题意； 当，时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 6．设，，那么M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．通过计算，化简后根据结果的符号判断大小关系． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 即， 选择C． 7．三角形的三个内角分别为α，β，γ，且，，则β的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和先根据三角形的内角和定理表示出，然后根据及可确定的范围，从而可确定的范围． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 10．若，则 （填，或) 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．已知，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式性质，两边同乘负数不等号方向改变，再加常数不等号方向不变，从而比较与的大小． 【详解】解： ， 两边同乘，得（不等式性质：两边同乘负数，不等号方向改变）， 两边同加，得（不等式性质：两边同加同一个数，不等号方向不变）． 故答案为：． 12．已知，两边同时除以，得到的不等式为 ． 【答案】​​ 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可求解，能熟记不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴​， 故答案为：． 13．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“”的意义求出a和b的值成为解题的关键． 先根据“”“”的意义求出a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵, ∴x的最小值是, ∵, ∴y的最大值是, ∴. 故答案为：9. 14．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．分两种情况：当时，当时，结合新定义，分别求出y的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，， 此时， 即； 当时，， 此时， 即； 综上所述，的范围为． 故答案为： 15．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 17．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 18．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 19．已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)，依据是不等式性质1 (2)，依据是不等式性质2 (3)，依据是不等式性质3 (4)，依据是不等式性质1 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式性质为解题关键． （1）依据是不等式性质1求出结果即可； （2）依据是不等式性质2求出结果即可； （3）依据是不等式性质3求出结果即可； （4）依据是不等式性质1求出结果即可． 【详解】（1）解：， （依据是不等式性质1）； （2）， （依据是不等式性质2）； （3）， （依据是不等式性质3）； （4）， ，即（依据是不等式性质1）． 20．把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 21．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． (1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； (3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，解不等式． （1）根据“可乘方程”的定义逐一判断即可； （2）根据“可乘方程”的定义建立关于t的一元一次方程求解即可； （3）先根据“可乘方程组”，得到，求出，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：①， ，则①不是“可乘方程”， ②，即， ，则②是“可乘方程”， ③， ，则③是“可乘方程”， 则是“可乘方程”的是②③， 故答案为：②③； （2）解：∵方程是关于x，y的“可乘方程”，即方程是关于x，y的“可乘方程”， ∴，即， 解得：； （3）解：∵是关于x，y的“可乘方程组”， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 22．举反例说明下列命题是假命题， (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)反例： (2)若两条直线不平行，则被第三条直线所截得的同位角不相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】（1）解：当时，满足，但不成立； （2）解：如图，为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． 23．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根，不等式的性质， （1）根据，然后利用算术平方根即可得出结论； （2）根据，，得到，，即可得出结论； （3）根据，得到，即可得出结论； 理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共14页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2.1不等式及其性质寒假预习课时练 一、单选题 1.下列解集中，包括2的是() A.x<2 B.x≥3 C.x≤3 D.x>2 2.下列不等式中，是一元一次不等式的是() A.1+2 B.x2>9 C.2x+y≤5 D.5<0 2 3.已知a<b,则下列各式中一定成立的是() A.a-b>0 B.ac2>bc2 b D.-3a>-3b 4.若m>-1,则下列各式中错误的是() A.6m>-6 B.m+1>0 C.-5m<-5 D.1-m<2 5.若ax2>bx2,则下列结论一定成立的是() A.a+x>b+x B.9、b xx C.-a<-b D.ab<b2 6.设M=x2+4mx-3,N=2x2+4mx-2,那么M与N的大小关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 7.三角形的三个内角分别为a,B,y,且a≥B≥y,a=2y,则的取值范围是() A.36°≤B≤45° B.45°≤B≤60 C.60°≤β≤90 D.45°≤B≤72° 8.下列实数中，满足不等式x>3的是() A.(-33 B.√2 C.n D.27 9.若代数式M=-2a2+4a+1,N=-3a2+4a,则M和N的大小关系是() A.M<N B.M=N C.M>N D.与a的值有关 二、填空题 10.若a<b,则2a-1一2b-1(填>，=或<) 11.已知a<b,则1-2a1-2b.(填“>”或“<”) 1/3 12.已知a>b,两边同时除以-2，得到的不等式为 13.已知x之1，y≤8，若x的最小值是a,y的最大值是b,则a+b=__ 14.对于任意实数x,符号[x表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，「-4.1=-5，记y=x-[,当 -5.5<x≤-4.5，则y的范围为 15.已知m-√5<n-√3，那么mn 三、解答题 16.把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x+3<-2: (2)9x>8x+1; (3③)2x>-4: (4)-10x<-5. 17.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式. (1)x+y; (2)3x>7: (3)5=2x+3; (4)x2>0: (5)2x-3y=1; (652; (7)2<3. 18.已知a>b>0,c<0,求证：C>S a b 19.已知m>n,用“<”或“>”填空，并说明依据： (1)m-5 n-5; (2)6m 6n; 1 1 (3)-5m -、n; 3 3 (4)m+3n 4n. 20.把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x-5<9; 2/3 (2)6x<4x-2; (o>+4: (4)-4x<x+5; ⑨51>x, 空2 3 21.关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0(a,b,c为常数，且abc≠0)，若ab=c,则称这个方程为可乘方 程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组” (1在①2x-3y+6=0:②-2y=1,®-8-y+1=0中，是*可乘方程的是： (2)若方程(2-)x-3y=3(t-1)是关于x,y的“可乘方程”，求t的值； [kx+9y+2m-3n=0 (3)若 x+k+y+m+2m=0是关于x,y的可乘方程组，且1≤n-m<2,直接写出k的取值范围. 22.举反例说明下列命题是假命题， (1)如果a+b>0,那么a>0,b>0; (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等. 23.比较下列各组数的大小. (1)-10与-3.2： (26-1与2+1 2 2 ③5,1与时 2 3/3