河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月迎期末检测数学试题

河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月迎期末检测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 2．如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 3．已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（    ） ①若，则 ②若，则； ③若，则当时，取得最大值 ④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、多选题 9．若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 10．已知数列满足且是数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．到的两条渐近线的距离之积为 C．若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D．若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 三、填空题 12．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 13．甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是 . 14．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)若，证明：. 16．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程. (2)设直线，的斜率分别为，，证明. 17．在数列中，，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)求． 18．经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 (1)用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； (2)年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 19．如图，在三棱柱中，平面底面是边长为2的正三角形，的中点分别为．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《 河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月迎期末检测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D A C D AB ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 2．D 【分析】先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体，据此计算即可求解. 【详解】该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体， 因为，所以圆柱的高为，圆柱底面半径为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 3．C 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出即可. 【详解】，其在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点为，所以. 故选：C. 4．B 【分析】先求出两个集合，再根据交集和补集的定义运算. 【详解】由，得，得，故， ，则，所以. 故选：B. 5．D 【分析】根据等腰三角形的性质，结合平面向量数量积的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】过点作，垂足为， 和是等腰三角形， 为中点，为中点， 设， 则， ， ， 因为， ， 即 ， 即 联立解得：， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 6．A 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解. 【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式的总项数为7项，故， 展开式的通项， 当是偶数时该项为有理项， 有4项， 所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为． 故选：A． 7．C 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 8．D 【分析】对于①，计算出；对于②，由得到，故，与矛盾，②正确；对于③，若，则，，构造函数，，求导得到其单调性，得到当时最大，故③正确；对于④，表达出，作差得到，故，得到④正确. 【详解】①若，则，故①正确； ②假设，因为，，所以， 所以，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 而当时，易得，所以，故②正确； ③若，则， ， 设，， 则， 令，得，解得，此时函数单调递减， 令，，解得，此时函数单调递增， 所以当时最大，所以当时，取得最大值，故③正确； ④由题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴， 又，，，， ∴，∴，故④正确． 综上，正确说法的序号为①②③④， 故选：D． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 9．AB 【分析】根据均值不等式及“”的妙用求解判断各选项. 【详解】对于A：，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，A正确； 对于B：， 当且仅当，即时等号成立，所以有最小值4，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，C错误； 对于D：， 当且仅当时等号成立，所以有最大值，D错误； 故选：AB 10．ABD 【分析】求出判断A；构造函数，利用导数探讨单调性判断BC；构造函数，利用导数确定单调性判断D. 【详解】对于A，由，得， 又，，因此，A正确； 对于BC，设，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，即，因此， 当时，，；当时，，， 由，不存在，则数列满足当时，，B正确，C错误； 对于D，，令，， 令，求导得，函数在上递增，则， ，函数在上递减，随着减小，增大， 因此，即，D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】由焦距和渐近线斜率求出可得双曲线方程判断选项A；由点到直线距离公式结合双曲线方程判断选项B；选项C，设关于原点的对称点为，证明，的斜率之积为3，得重合；设直线的方程为，代入双曲线方程，结合韦达定理和重心坐标公式，由的取值范围， 建立不等式求的取值范围判断选项D. 【详解】由题意，得，，解得，， 所以的方程为，故A正确； 的两条渐近线的方程为，即， 设，则， 所以到的两条渐近线的距离之积为，故B错误； 设，，则关于原点的对称点也在上， 又，的斜率之积为， 又在上， 有，，所以 ， 即，的斜率之积为3， 又直线，的斜率之积为3，都在上，所以重合， 即关于原点对称， 故C正确； 因为，直线过点，设，，， 直线的方程为，由，得， ，所以 ， ， ， 因为在轴两侧，则其横坐标异号， 即， 由可知，所以 ， 因为的重心为，所以，， 又在上， 所以 ， 化简得，所以，即 ， 所以 或 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 12．/ 【分析】由题意得即，进一步即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意卡片之和为13，若两人一共抽取了4张卡片，则乙抽到6，7或5，8，根据乙抽取卡片情况分类讨论，若两人一共抽取了5张卡片，根据甲抽取卡片情况，讨论乙的卡片情况，根据古典概型求出概率即可. 【详解】根据题意可分为2大类：①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8. 当乙抽到6，7时，甲排除5，8；当乙抽到5，8时，甲排除6，7， 此时概率； ②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片； 当甲抽取的数字为1，4，8；2，3，8；2，4，7；3，4，6时，要排除乙抽到6，7或5，8，所以， 所以游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率. 故答案为：. 14．1 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 故答案为：1． 15．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，，利用导数求其单调区间； （2）依题意，当时，成立，利用导数结合单调性进行证明； （3）令，，则，用此不等式对待证不等式左边各项放缩，并利用不等式的基本性质即可证得. 【详解】（1）当时，. 所以，. 所以，当时，，单调递增. 当时，，单调递减. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当，成立，等价于当时，成立. 因为，设，则. 所以，单调递减，即单调递减. 当时，.所以，单调递减，，符合题意. 当时，，所以存在，使得当时，. 此时单调递增，，不符合题意. 综上. （3）由（2）知，当时，对任意，都有， 即成立，令，， 则. 当时，. 所以，. 当时，. 综上，. 16．(1)；； (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆的离心率和焦点三角形周长求出，然后得到，从而得到椭圆的标准方程；根据题意设双曲线标准方程，然后求得参数的值，即可得到双曲线标准方程； （2）设点坐标，然后得到，由点坐标满足的方程化简，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知，，解得，. 又，因此. 故椭圆的标准方程为. 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以，因此双曲线的标准方程为. （2）设，则，. 因为点P在双曲线上，所以. 因此，即 17．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据递推式，结合等差数列的定义，证明是等差数列，进而求出； （2）设，利用错位相减法求出. 【详解】（1）由，得． 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）记， 则. 两式作差可得，， 所以． 18．(1)分布列见解析， (2)15 【分析】（1）根据分层抽样特点求出，的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出的所有可能取值的概率，进而得到分布列和期望； （2）根据题意设抽取到的乡村旅游者年龄在内的人数为，则，判断的单调性，求出的最大值，从而求得. 【详解】（1）由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. （2）样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理可知，只需证明即可，通过平行四边形的性质及面面垂直的性质定理可证； （2）根据（1）中结论及等腰三角形的性质可得，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面的法向量，进而可求夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，取的中点，连接． 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面．所以. 因为分别为的中点，所以，且， 又是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 所以平面，从而， 又，且，平面, 故平面．    （2）由平面，得， 又是的中点，所以是等腰三角形，且． 由平面，得， 又， 所以． 所以所以，即是等边三角形． 连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 由可得． 设平面的法向量为， 由得， 取． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 答案第2页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $