精品解析：陕西省西安交大少年班2025--2026学年上学期第二次阶段性联考数学试卷

西交大少年班第二次阶段性联考数学试卷 考试时间：100min 满分100分 1. 若二次函数的图像与轴交于两点，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 将化简为，由一元二次方程根与系数的关系得，，代入中，化简即可求解． 【详解】解：， 令，则， ，． ∴原式 ． 故答案为：． 2. 在锐角中，分别是的对边，且．则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，分式的化简求值，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点作于点D，解直角三角形得到，，则，在中，由勾股定理得，整理得，再将原式通分化简，代入求解即可． 【详解】解：过点作于点D， 则，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 整理得， ∴． 而． 代入， 则 故答案为：1． 3. 在中，已知为边的中点，且与的平分线交于点．则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】以点D为圆心，为半径作圆交直线于点F，连接，首先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，进而可得，即E和F点重合，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：以点D为圆心，为半径作圆交直线于点F，连接， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴，即E和F点重合， ∵为圆的直径， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用、圆周角定理的运用以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半性质的运用，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 4. 已知10个两两互不相等的正整数，，，满足条件 ，， ，， ，． 则的最小可能值为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查不定方程，根据题意合理赋值是解答本题的关键． 根据最小的正整数是1，据此进行代入运算即可． 【详解】，，， ． ，，， ． 要使得最小，就让，，，尽量最小， 由于，，，是各不相同的正整数， ∴不妨令，， ∴． 不妨令， ， ． 不妨令，则，此种情况不成立． 不妨令，则，此种情况成立． ． ． 故答案为：20． 5. 如图，已知直线y＝ x与抛物线y＝－ x2＋6交于A，B两点，点P在直线AB上方的抛物线上运动．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为________． 【答案】　 【解析】 【分析】如图，作PM⊥x轴交AB于点M，设点P的坐标为 ，则点M的坐标为 ，从而可用含a的式子表示出PM长，解方程组求得点A，B的横坐标，继而根据S△PAB＝S△PAM＋S△PBM可得关于a的二次函数，进而根据二次函数的性质求得面积最大时a的值即可求得答案. 【详解】如图，作PM⊥x轴交AB于点M. 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ∴PM＝－a2－a＋6. 联立， 解得：，， 所以点A，B的横坐标分别为－6，4， ∴S△PAB＝S△PAM＋S△PBM＝×(6＋4)×PM＝－ (a＋1)2＋， 当a＝－1时，△PAB的面积最大，此时－a2＋6＝， 所以点P的坐标为. 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式及二次函数的最值问题，本题将三角形的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的性质解决即可． 6. 已知函数．则的整数部分为_______． 【答案】1509514 【解析】 【分析】本题考查了估计无理数的应用，解题的关键是得出． 通过计算求和部分和误差范围，确定整数部分． 【详解】解：当时，， 即． ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． ∴． ， ， …… ． ． ． 又， 的整数部分是． 故答案为：1509514． 7. 已知关于的方程有两个实根．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象．设，则，可得当时，；当时，；当时，；然后画出函数图象，即可求解． 【详解】解：设，， 当时，； 当时，； 当时，； 画出函数图象，如下， ∵关于的方程有两个实根， ∴函数的图象与直线有两个交点， 观察图象得：当时，有两个交点， 即的取值范围是． 故答案为： 8. 已知直角三角形的两条直角边及斜边均为整数，且其内切圆的半径．则这样的直角三角形有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆，勾股定理及因式分解的应用，由直角三角形内切圆半径公式得，即得，进而由勾股定理可得即得到，再根据、为整数且解答即可求解，掌握直角三角形内切圆性质是解题的关键． 【详解】解：由直角三角形内切圆性质可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵、为正整数且 ， ∴和 为整数，且乘积为， ∴，或，或，， 解得，，或，，或，，， ∴这样的直角三角形有个， 故答案为 ：． 9. 如图，在中，已知是斜边的中点，于点，于点．若的长都是有理数，则线段中，长不一定是有理数的为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，斜边上的中线的性质，勾股定理． 根据斜边上的中线的性质可知是有理数，则是有理数；证明，得到，则，都是有理数；由勾股定理可知不一定是有理数． 【详解】解：∵的长度都是有理数， ∴是有理数， ∴是有理数； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，都是有理数， 而，不一定是完全平方数，即不一定是有理数； 综上所述，长不一定是有理数的为． 故答案为：． 10. 设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 11. 设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足，求出所有这样的数对的个数． 【答案】1706 【解析】 【分析】由数对满足，可得，由m，n均是不超过1000的正整数可求得其取值范围，从而求得满足条件的数对的个数． 【详解】解：由数对满足， 可得， 当时，满足条件的m的个数为， 记， 由题意，得， 又∵， ∴， ∴，解得， ∵n为正整数， ∴， 当时，， ∴或， 记满足条件的数对的个数为S， 则， ∴满足条件的数对有1706个． 【点睛】本题考查了不等式的变形与整数解，取整函数的应用，不等式的估算与范围确定及数对求和与代数运算． 12. 已知实数满足，．求的最大值和最小值． 【答案】的最大值为7，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、完全平方公式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用完全平方公式可得，求出，再构造，则，利用二次函数的性质可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根或没有实数根，利用一元二次方程根的判别式，最后利用二次函数的性质解不等式，由此即可得． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 构造， ∴， ∴， ∵这个与之间的二次函数图象的开口向上， ∴要使恒成立，则这个二次函数的图象与轴只有一个交点或没有交点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根或没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 整理得：， 设， 当时，则，解得或， ∵这个二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，， 即的解集为， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为7，最小值为． 13. 如图，已知分别与切于点，过点的割线与交于两点，作与弦交于点的延长线与交于点．证明：． 【答案】 证明：如图，过点O作于点Q，连接，延长交于点F， ∴， ∵分别与切于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点O，Q，B，P四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴点C，E，Q，B四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要涉及圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等数学概念和定理．过点O作于点Q，连接，延长交于点F，结合切线长定理可得，根据，可得O，Q，B，P四点共圆，从而得到，再结合，可得到点C，E，Q，B四点共圆，从而得到，进而得到，继而得到，然后根据，可得，即可求证． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西交大少年班第二次阶段性联考数学试卷 考试时间：100min 满分100分 1. 若二次函数的图像与轴交于两点，，则_______． 2. 在锐角中，分别是的对边，且．则_______． 3. 在中，已知为边的中点，且与的平分线交于点．则的长为_______． 4. 已知10个两两互不相等的正整数，，，满足条件 ，， ，， ，． 则的最小可能值为_______． 5. 如图，已知直线y＝ x与抛物线y＝－ x2＋6交于A，B两点，点P在直线AB上方的抛物线上运动．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为________． 6. 已知函数．则的整数部分为_______． 7. 已知关于的方程有两个实根．则的取值范围是______． 8. 已知直角三角形的两条直角边及斜边均为整数，且其内切圆的半径．则这样的直角三角形有_______个． 9. 如图，在中，已知是斜边的中点，于点，于点．若的长都是有理数，则线段中，长不一定是有理数的为________． 10. 设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 11. 设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足，求出所有这样的数对的个数． 12. 已知实数满足，．求的最大值和最小值． 13. 如图，已知分别与切于点，过点的割线与交于两点，作与弦交于点的延长线与交于点．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $