第一章三角形 期末复习题2025—2026学年苏科版八年级数学上册

2025—2026学年苏科版八年级数学上册期末第一章《三角形》复习答案 一．选择题（共6小题） 1．如图，在△中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，取的中点，连接，．想办法证明，推出即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】首先分别在的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作的平行线．找到所有的格点即可．即有5个． 【解答】解：满足条件的点有5个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 故选：． 【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点． 3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的△放在第一象限，其中角的对边长为1，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】取的中点，连接、．首先求出，根据三角形的三边关系可知：，推出当、、共线时，的值最大，最大值为2． 【解答】解：取的中点，连接、． 在△中，，，， ， ，， ， ， 当、、共线时，的值最大，最大值为2． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，△中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差，当时，△的面积最大． 【解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 【分析】将△绕点顺时针旋转得到△．连接．想办法证明，即可解决问题； 【解答】解：将△绕点顺时针旋转得到△．连接． △是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ，， ， ，，为边长的三角形是钝角三角形， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，有一△，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？（　　） A． B． C． D． 【分析】由利用大角对大边得到，进一步得到，从而得到． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 二．填空题（共10小题） 7．如图，在△中，的垂直平分线交于点，连接，若，则△的周长为　10　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， △的周长为：， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为　7　 ． 【分析】此题比较简单，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解． 【解答】解：，点在上， 平分， ，，， ． 故答案为：7． 【点评】此题考查了角平分线的判定与性质，掌握其性质是解题的关键． 9．已知在△中，，是边上的高，，则或 ． 【分析】分两种情况讨论，一是点在线段上，由是边上的高，得，而，则，由，得，即可由，求得；二是点在的延长线上，则，求得，由，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，点在线段上， 在△中，是边上的高， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，点在的延长线上， ，交的延长线于点， ， ， ， ，且， ， ， 故答案为：或． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的内角和等于、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 10．等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是　8，2或5，5　 ． 【分析】分两种情况：当腰长为8时，底边长为8时，求出等腰三角形的另外两条边长即可． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得： 当腰长为8时，另外底边长为， 因为，所以此时8，8，2能组成三角形，符合题意； 当底边长为8时，另外腰长为， 因为，所以此时5，5，8能组成三角形，符合题意； 综上分析可知：它的另外两边长是8，2或5，5． 故答案为：8，2或5，5． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握分类讨论思想的应用，分别从腰长为8与底边长为8去分析求解是关键． 11．如图，，，若满足△△，可以添加的条件是或 ． 【分析】可证明，再根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：， ， ，， ， 当添加时，结合，，可利用证明△△， 当添加时，结合，，可利用证明△△， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键掌握全等三角形的判定定理有，，，，． 12．如图所示，只需要补充一个条件（答案不唯一）　 ，就可以根据“”得到△△． 【分析】“”是斜边直角边定理，即如果两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，以此作答即可． 【解答】解：根据图示可知，，，即， △和△均为直角三角形， ， 所以只需补充一组对应直角边相等的条件，或，就可以根据“”得到△△， 故答案为：（或． 【点评】本题考查了全等三角形全等的判定，理解“”满足的条件是解题的关键． 13．如图，已知点，在线段上，且，，要使△△，可以添加的条件是（答案不唯一）　 ． 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：在△和△中， ， △△， △△，可以添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：、、、、． 14．在△中，，，垂足为，，那么的大小是　42　 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到，再根据同角的余角相等解答． 【解答】解：在△中，， ， ， ， ， 故答案为：42． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 15．如图，已知点在△的边上，以为边作△，若，，则添加条件（或或 （只需添加一个条件即可），使得△△． 【分析】先由角的和差性质证得，结合三角形五种判定方法即可判断． 【解答】解：， ， ，， 即， 又， 当添加， 则△△， 当添加， 同理可得出△△， 当添加， （对顶角相等）， ， △△， 故答案为：（或或． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 16．如图，在△中，点，，，分别为，，的中点，，则的值为　8　 ． 【分析】根据三角形的中线平分面积的性质，，，，计算出答案即可． 【解答】解：点是的中点， 是△的中线， ， ， ， 同理可得，，． 则的值为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握好三角形的中线平分面积是解题关键． 三．解答题（共10小题） 17．等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②　　；若，求的度数； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【分析】（1）①根据证明得，从而可证； ②证明，可得；分别延长，，交于点，可得，从而可得； （2）延长到点，使，连接，．可得，运用勾股定理可求解． 【解答】（1）①证明：在与中， ， ， ， ． ②是等边三角形， ，， ， 又， ， ， ． 分别延长，，交于点，如图， ，且， ， ． ， ． 故答案为：； （2）延长到点，使，连接，． 由（1）②得， 又是等边三角形，， ，即， 由勾股定理得，． ， ，， ． 又， ，即， ． 【点评】本题主要考查了等边三角形性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 18．求证：全等三角形对应边上的高线相等． 已知： 求证： 证明： 【分析】根据图形写出已知，求证，根据全等三角形的性质求出，，根据全等三角形的判定求出即可． 【解答】已知：如图，，、分别是和的对应边、上的高． 求证：． 证明：， ，， 、分别是和的对应边、上的高， ， 在和中 ， ， ． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力．注意命题的证明的格式、步骤． 19．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以； （2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到； （3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到． 【解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， ， 平分； （2）证明：过点作于点，于点， 平分，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 20．如图，△中，、是△的两条高，点、分别是、的中点．求证：． 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论． 【解答】证明：连接、． 是△的高，为的中点， 在△中，，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半） 同理可得， ， 是的中点，（等腰三角形三线合一） ． 【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线问题，关键是根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用解答． 21．如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）请判断是否平分，并说明理由； （3）若，，且，求△的面积． 【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）平分，理由： 过点分别作于，于， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3），，， ， 即， 解得， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 22．阅读理解：如图1，在△的边上取一点，连接，可以把△分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点是△的边上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△中，，试找出边上的完美点，并说明理由． （2）如图3，已知，△的顶点在射线上，点是边上的完美点，请认真分析所有符合要求的点，直接写出相应的的度数． 【分析】（1）取的中点，连接即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明； （2）根据点是边上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可． 【解答】解：（1）取的中点，连接即可如图① ，是的中点， ，， ． △，△是等腰三角形． 点是边上的完美点（2）满足条件的点如图所示：②③④⑤⑥ 【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键． 23．如图，在△中，，，的平分线交于点，垂直平分．求的度数和的长． 【分析】由垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由等边对等角，可得，又由在△中，，，的平分线交于点，即可求得的度数，继而求得答案． 【解答】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 24．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由． （2）当点的运动速度为多少时，能够使与全等． 【分析】（1）经过1秒后，可得厘米，则厘米，可证明； （2）由与全等可知有或，全等可得或，或可求得的长，可求得点运动的时间，由或可求得点运动的路程，可求得其速度． 【解答】解： （1）与全等，理由如下： 当运动1秒后，则厘米， 厘米， 为中点，且厘米 厘米， ， 在和中 ； （2）与全等， 或， 当时， 则，厘米， 设点运动的时间为秒， 则，解得， 点的运动的速度（厘米秒）， 当时， 由（1）可知（秒， 厘米， 点的运动的速度（厘米秒）， 即当点每秒运动厘米或3厘米时． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即、、、和 25．如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求△的面积． 【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3）解：，，， ， 即， 解得， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 26．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）　4　 ，　　 ； （2）如图1，若点的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 【分析】（1）由非负数的性质即可求出，的值， （2）利用坐标的特点，得出△△，得出，得出结论； （3）连接，则，证得△△，利用三角形的面积进一步解决问题． 【解答】解：（1），且，， ，， ，． 故答案为：4，； （2），，则． 于， ， ， 在△与△中， ， △△， ， 则； （3）的值不发生改变．． 连接，则，， ， ， 在△与△中， ， △△， ， ． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，点的坐标特点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点；属于一个综合性题目． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/24 16:07:29；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第17页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年苏科版八年级数学上册期末第一章《三角形》复习 一．选择题（共6小题） 1．如图，在△中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 2．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的△放在第一象限，其中角的对边长为1，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 4．如图，△中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 5．如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 6．如图，有一△，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 7．如图，在△中，的垂直平分线交于点，连接，若，则△的周长为　　 ． 8．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为　　． 9．已知在△中，，是边上的高，，则　　 ． 10．等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是　　 ． 11．如图，，，若满足△△，可以添加的条件是　　 ． 12．如图所示，只需要补充一个条件　　 ，就可以根据“”得到△△． 13．如图，已知点，在线段上，且，，要使△△，可以添加的条件是　　 ． 14．在△中，，，垂足为，，那么的大小是　　． 15．如图，已知点在△的边上，以为边作△，若，，则添加条件　　 （只需添加一个条件即可），使得△△． 16．如图，在△中，点，，，分别为，，的中点，，则的值为　　 ． 三．解答题（共10小题） 17．等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②　　；若，求的度数； （2）如图2，连接，若，，求的长． 18．求证：全等三角形对应边上的高线相等． 已知： 求证： 证明： 19．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 20．如图，△中，、是△的两条高，点、分别是、的中点．求证：． 21．如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）请判断是否平分，并说明理由； （3）若，，且，求△的面积． 22．阅读理解：如图1，在△的边上取一点，连接，可以把△分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点是△的边上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△中，，试找出边上的完美点，并说明理由． （2）如图3，已知，△的顶点在射线上，点是边上的完美点，请认真分析所有符合要求的点，直接写出相应的的度数． 23．如图，在△中，，，的平分线交于点，垂直平分．求的度数和的长． 24．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由． （2）当点的运动速度为多少时，能够使与全等． 25．如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求△的面积． 26．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）　　 ，　　 ； （2）如图1，若点的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $