第1章 三角形 期末复习 提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形 期末复习 提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 2．根据下列条件，能画出且只能画出一个△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 3．将三个全等的三角形按如图所示的方式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．150° C．120° D．90° 4．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，若BF＝3，CE＝5，AE＝，则EF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列结论：①DE＝DF；②OA＝OD；③AD⊥EF；④AE+DF＝AF+DE；⑤AD垂直平分EF．其中一定正确的是（　　） A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②③⑤ 6．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线交于点O，连接OB．若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积为（　　） A．9 B．18 C．13.5 D．54 7．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝7，DE＝2，则△BEC的面积为（　　） A．10 B．8 C．7 D．4 8．在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 9．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 10．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为（　　）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 二．填空题（共4小题） 11．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，请写出图中所有相等的线段：　 　 ． 13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，在Rt△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若∠ACB＝60°，且OM＝ON，则∠MOB＝　 　 ． 14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线向下平移，使点A的对应点满足，则平移前后的两个三角形重叠部分的面积是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．已知如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证： （1）△BFD≌△AEC； （2）DE＝CF． 16．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求EF和CE的长． 17．（1）如图，在7×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上．借助网格特征，请利用无刻度的直尺①画出△ABC的中线BD；②画出直线l，使得直线l垂直平分AB． （2）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图的方法求作一点P，使得PB＝PC，∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在边AB，BC，AC上，连接PQ，QR，PR，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上． 19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD． （1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：AE⊥DE． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当DC＝2时，求证：△ABD≌△DCE． （2）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BAD的度数为多少时，△ADE是等腰三角形？请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A A A C D C A 1．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意； B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意； C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意； D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意． 故选：A． 2．根据下列条件，能画出且只能画出一个△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 【解答】解：A、∵3+4＜8， ∴不构成三角形，不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项不符合题意； B、∵∠A不是AB，BC边的夹角，得不到三角形全等， ∴不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项不符合题意； C、∵“ASA”能得到三角形全等， ∴能画出唯一确定的△ABC，所以此选项符合题意； D、∵两个锐角不确定， ∴可画出多个三角形，不能画出唯一确定的△ABC，所以此选项不符合题意； 故选：C． 3．将三个全等的三角形按如图所示的方式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．180° B．150° C．120° D．90° 【解答】解：如图所示，由图形可得：∠3+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠1+∠9+∠7＝540°， ∵三个全等三角形， ∴∠4+∠9+∠6＝180°， 又∵∠5+∠7+∠8＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3的度数是180°． 故选：A． 4．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，若BF＝3，CE＝5，AE＝，则EF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ABD＝90°，∠CED＝90°，∠AFB＝90°， ∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB， ∴∠C＝∠A， 在△CDE和△ABF中， ， ∴△CDE≌△ABF（AAS）， ∴CE＝AF， 又CE＝5， ∴AF＝5， 又， ∴． 故选：A． 5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列结论：①DE＝DF；②OA＝OD；③AD⊥EF；④AE+DF＝AF+DE；⑤AD垂直平分EF．其中一定正确的是（　　） A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②③⑤ 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD． 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF，DE＝DF，故①正确； ∴AE+DF＝AF+DE，故④正确； 如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，故②不正确； ∵AE＝AF，DE＝DF， ∴AD垂直平分EF， ∴③⑤正确． 所以，一定正确的是①③④⑤． 故选：A． 6．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线交于点O，连接OB．若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积为（　　） A．9 B．18 C．13.5 D．54 【解答】解：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，OH⊥AC于H， ∵AO平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴ON＝OH，OM＝OH， ∵△ABO的面积＝AB•ON＝6，AB＝6， ∴ON＝2， ∴OM＝2， ∴△BCO的面积＝BC•OM＝×9×2＝9． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝7，DE＝2，则△BEC的面积为（　　） A．10 B．8 C．7 D．4 【解答】解：过E作EH⊥BC于H， ∵CD是边AB上的高， ∴ED⊥AB， ∵BE平分∠ABC， ∴EH＝ED＝2， ∴△BEC的面积＝BC•EH＝×7×2＝7． 故选：C． 8．在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 【解答】选项A：连接AC、AD， ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD，所以选项A不合题意； 选项B：连接BF、EF， ∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF， ∴△BFC≌△EFD（SSS）， ∴∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项B不合题意； 选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项C不合题意； 选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 故答案选：D． 9．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【解答】解：∵∠ABC＝80°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴MA＝MP，NC＝NP， ∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP， ∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°， ∴∠APC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 10．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为（　　）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s， ∵∠CAB＝∠DBA＝60°， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①AP＝BP，AC＝BQ， 则1×t＝6﹣1×t， 解得：t＝3， 则4＝3x， 解得：x＝； ②AP＝BQ，AC＝BP， 则1×t＝tx，6﹣1×t＝4， 解得：t＝2，x＝1， 故选：A． 二．填空题（共4小题） 11．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为　130°　 ． 【解答】解：∵△ABD≌△CBD， ∴∠C＝∠A＝80°， ∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C＝360°﹣80°﹣70°﹣80°＝130°． 故答案为：130°． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，请写出图中所有相等的线段：AD＝BD，CD＝DE，BE＝AE＝BC ． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，AE＝BE， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵DE⊥BA，BD平分∠ABC， ∴CD＝DE， 由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2，BC2＝BD2﹣CD2， ∴BE＝BC， ∴AE＝BE＝BC， 故答案为：AD＝BD，CD＝DE，BE＝AE＝BC． 13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，在Rt△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若∠ACB＝60°，且OM＝ON，则∠MOB＝　75°　 ． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝30°， ∵OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥BC， ∴OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝15°， ∵OM⊥AB， ∴∠OMB＝90°， ∴∠MOB＝90°﹣∠ABO＝75°， 故答案为：75°． 14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线向下平移，使点A的对应点满足，则平移前后的两个三角形重叠部分的面积是 　　 ． 【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴AD＝AB＝1， ∵， ∴A′D＝AD＝， 由平移的性质得到A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∠A′MD＝∠B＝30°，∠A′ND＝∠C＝30°， ∴∠A′MD＝∠A′ND＝30°， ∴A′M＝A′N， ∵A′D⊥MN， ∴MN＝2MD， ∵tan∠A′MD＝tan30°＝＝， ∴MD＝， ∴MN＝2MD＝， ∴平移前后的两个三角形重叠部分的面积＝MN•A′D＝××＝． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．已知如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证： （1）△BFD≌△AEC； （2）DE＝CF． 【解答】证明：（1）∵AD＝BC， ∴AD+CD＝BC+CD， ∴AC＝BD， 在△BFD和△AED中， ， ∴△BFD≌△AED（SSS）． （2）∵△BFD≌△AED， ∴∠B＝∠A， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF． 16．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求EF和CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°，BE⊥AC， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∵EA平分∠DEF， ∴∠FEA＝∠DEA， 在△FAE和△DAE中， ， ∴△FAE≌△DAE（AAS）， ∴AF＝AD； （2）解：由（1）可知：△FAE≌△DAE， ∴EF＝DE＝3， ∵∠D＝90°，BE⊥AC， ∴∠AFB＝∠D＝90°， ∴△ABF和△ACD均为直角三角形， ∴在Rt△ABF和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△ACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 17．（1）如图，在7×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上．借助网格特征，请利用无刻度的直尺①画出△ABC的中线BD；②画出直线l，使得直线l垂直平分AB． （2）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图的方法求作一点P，使得PB＝PC，∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：（1）①结合网格特征，找到AC的中点D，连接BD，即可， 为△ABC的中线，如图， ②根据网格得出AH＝BH＝AT＝BT，故HT垂直平分AB，即直线l垂直平分AB， 直线l垂直平分AB，如图所示， ∵，， ∴AH＝BH＝AT＝BT， ∴HT垂直平分AB，即直线l垂直平分AB． （2）点P如图所示， 18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在边AB，BC，AC上，连接PQ，QR，PR，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上． 【解答】证明：在△PBQ和△QCR中， ， ∴△PBQ≌△QCR（SAS）， ∴PQ＝RQ， ∴点Q在PR的垂直平分线上． 19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD． （1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：AE⊥DE． 【解答】解：（1）如图，线段DE，AE即为所求． （2）在DA上截取DH＝CD，连接HE， 由（1）知∠HDE＝∠CDE， 又DE＝DE， ∴△HDE≌△CDE（SAS）， ∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEC＝∠DEC， 在△AHE和△ABE中， ∠AHE＝∠ABE＝90°， 而AD＝AH+DH＝AB+CD，DH＝CD， ∴AH＝AB， 又AE＝AE， ∴Rt△AEH≌Rt△AEB（HL）， ∴∠AEH＝∠AEB， ∴∠DEH+∠AEH＝∠DEC+∠AEB＝90°， 即∠AED＝90°，故AE⊥DE． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当DC＝2时，求证：△ABD≌△DCE． （2）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BAD的度数为多少时，△ADE是等腰三角形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝2，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵DC＝2， ∴AB＝DC＝2， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）； （2）解：∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠AED＞40°＝∠ADE， 当AD＝DE时，则∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BAD＝30°， 当EA＝ED时，则∠DAE＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝60°， 综上所述：当∠BAD的度数为30°或60°时，△ADE是等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $