四川省广汉市金雁中学2026届高三上学期1月月考数学试题

金雁中学高2023级一月月考试题 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数z满足z=2+3i,则z的虚部为( A.-2 B.3 C.-2i D.3i 2已阳集合A=女e2s少B=化< 则A∩B=() A.[-2,0)U(0,2] B.【-2,0)U(1,2] C.{-2,-1} D.{-2-12 3.已知棱长为3的正方体ABCD-AB,C,D,的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为() A.25元 B.27元 C.16元 D.23π 4.设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f(x)=tnx(o>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为二，则f 的值是() A.-V5 B.5 C.1 D.3 6.已知数列{an}是首项为1的等差数列，且a=a7,则4+a,+a。=() A.63 B.3或63 C.21 D.3或21 7.已知向量a=(L√5)，若(a-35)上a,则6在à上的投影向量为() 第1页共4页 〔 13 22W3 33 B. D33 8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测依照 以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为方若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为5：若观 众没有携带，安检门依旧有一的概率因误检其他物品而亮灯提示若某观众通过安检门时被亮灯提示，则 10 该观众确实私自携带应援物品的概率为( ) A.5 c 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的是() A.样本数据6.1,5.9,5.9,6.0,6.1,5.8,6.3的极差为0.5 B.样本数据2,4,6,9,11,16的75%分位数是10 C.若随机变量X~N1,o2)(o>0),且P(X≤3)=0.75，则P(1≤X≤3)=0.25 D.若随机事件A,B满足P(A>0,P(B)>0,且AB=O,则P(AB)≠P(A)P(B) 10.如图，已知点A,B,C,D在表面积为12π的球O的球面上，且O∈BD,OA⊥平面BCD,点E为BC中 点，当二面角A-BC-D的大小为时，则有( ) A.异面直线AB和CD所成角的大小为 B.直线B1与平面ABD所成角的大小为店 B C.sin(2∠ABE)= 2W2 3 D.△BED的面积为√2 11.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E的准线交x轴于点G,抛物线E上一点T(4,yo) 到点F的距离为6，点A,B是抛物线E上的两点（异于原点O),则下列说法正确的是(） A.p=4 B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2 C.若0A1OB,则直线AB恒过点(4,0) D.若直线AB过点F,则直线AG,BG的斜率之和为O 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(m+2n,2),b=(1,2),其中mn>0.若a/b,则m的最大值为 第2页共4页 13.已知在(x+)的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则x2的系数为 14已知函数f(e)=(x-2b)c,g()=m-2b,若f(e)≥g(e)恒成立，则的取值范围 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 己知a=(sinx+cosx,2sinx),万=(sinx-cosx,V3cosx),函数f(x)=a.万+t(t为常数). (1)求(x)的最小正周期及单调递减区间： (2)若f八2 0,且在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,J 的面积. 16.(本小题15分) 已知动点P(x,月与定点F1,0)的距离和P到定直线1：x=2的距离的比是常数 ,记点P的轨迹为曲线 c (1)求曲线C的标准方程： (2)设点F(←L,0),若曲线C上两点MN均在x轴上方，且M/1FN,|+FW-反， 求直线FM的斜率. 17.(本小题15分) 如图，在六面体ABCEF中，D为AB的中点，四边形CDFE为矩形，且EC⊥CB,AC⊥CB,AC=CB=4. (I)求证：EC⊥平面ABC; (2)已知AB=5,求平面EAF与平面ECB的夹角的余弦值. 第3页共4页 18.(本小题17分)立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大 陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温 和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给 顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 2 3 4 5 6 销售量y 218 224 230 232 236 90 (张) 经计算可得： -2=205, 21y=4004,2=91 (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少， 现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程： 2 (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为了，并且A套餐包含两张优患券， B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn,求Pa: (3)请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数N。,使得当n>N。时，a。-d<￡(a是一个确定的 实数)，则称数列{a}收敛于a 运用：记(2)中所得概率Pn的值构成数列{P}(∈N)求P的最值，并证明数列{P}收敛. 参考公式： 6= à=-b标. 2(-到 19.(本小题17分) 已知函数风对=e-2x-1)=4+边， (1)若曲线y=x)在点(11)》处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)若片0)在(0，+o)上恒成立，求整数k的取值集合， (3)求证：∑ln[1+i(i+1]>2w3. 第4页共4页 参考答案 一、1.A2.D3.B4.A5.A6.B7.C8.B多选9.ACD10.ACD11.ABD 二、填空题：12.13.60 14 11.【答案】ABD【详解】对于A,由题意可知，点T(4yo)到点F的距离为4+号=6，解得p=4,故A正 确；则y2=8x,F(2,0),G(-2,0): 对于B,若AB中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 1=8x1,两式作差得y好-y号=8(x1-2), y吃=8x2 所似直线A8的斜率为产=。=2，故卫正确： 对于C,设A(x,,Bxy),若0A10B,则OA.0i=xx2+yy2=+y2=0,y2=-64 64 当斜率存在时，直线4：y=区-)+n=兴-号 过定点(8,0)， y1+y2 y1+y2 当斜率不存在时，y=-y2,x1=x2=凶=8，过点(8,0)，故C错误： 8 D选项，设A(x1,y),B(x2,y2),当斜率存在时，直线AB:y=8+,代入点F(2,0)可得yy2=-16, y1+y2 欧志益茶® 当AB斜率不存在时，y1+y2=0,此时k4G+kBG=0,D正确；故选：ABD 14【解】由于f(x)≥g(x)恒成立，则f(x)-g(x)=(x-2b)e-(m-2ab)=(x-2b)(e*-a)≥0在R上恒成立： 令h(x)=(x-2b)(e-a,当a≤0时，e*-a>0,所以h(x)≥0的解为：x≥2b,不满足条件； 当a>0时，令h(x)=0,解得：x=2b,x2=ha,当2b<na时，若2b<x<na,则h()<0,不符合题意； 当2b>ha时，若na<x<2b,则h(x)<0,不符合题意： 当2b=ha时，h(x)≥0在R上恒成立；所以要使h(x)≥0在R上恒成立，则2b=na,即a=e2, 所台是.令p0t).则g回=后产，当<分时.e)0,90在司 2,1上单调递增： 当1>时9)<0，)在行+o上单调递减： 所以0e[月)名当1→时、90y,当1→m时：0→0. 所以的取值范围是： 15.由题意得f(x)=a·b+t=sin2x-cos2x+2V3 sinxcosx+t=V3sin2x-cos2x+t -2n2x-引-1，所以八)的小正周期T--x 2 令受+2a≤2x8+2mc☑，物子+msxska(ke列. 6 2 6 所以(x)的单调递减区间为 [点+acz) 5π 【2详解】由 =0,得2i 2x}+-0.-1 ,所以 62 A=2π ,所以a2=b2+c2-2 bccos4=b2+c2+bc, 又a-6-c2=6,即=b+c2+6,所以bc=6,所以Sbcoin4=×6x5_35 2 2 22 16.解：由题意， Vx-1)'+y2 x-2 2 2,整理化筒得，号广1，所以击线C的标准方程为 2+=1 【2详解】由题意，直线M,FN的斜率都存在，设kM=kw=k,则直线FN的方程为y=k(x+I), 分别延长NF',F交曲线C于点W,M', 设W(,),N(x,2), y=k(x+1) 联立 即(1+2k2）x2+42x+2k2-2=0, 4k2 2k2-2 则x+x2= 1+2,=1+2 根据对称性，可得M=FN,则PM+FNM=N=V1+Vx+x-4x: =V1+2 4k2 A 2-2 1+2k2 +2k2 251+),即25(1+)-8万，解得及=+5.所 1+2k2 1+2k2 以直线FM的斜率为±√3 17.(15分)【解析】(1)因四边形CDFE为矩形，则EC⊥CD,因EC⊥CB,CBOCD=C,CB,CDc平 面ABC,故EC⊥平面ABC (2)由(1)EC⊥平面ABC,AC,CBC平面ABC,则得EC⊥AC,EC⊥CB,又AC⊥CB, 2 故可以点C为坐标原点，分别以CA,CB,CE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系C-z. 因AC=CB=4,AE=5,则EC=V52-4=3,又D为AB的中点， 则得A(4,0,0),B(0,4,0),D(2,2,0),E(0,0,3),F(2,2,3,于是A正=(-4,0,3)，AF=(-2,2,3),设平面EAF的法向 m-AE=-4x+3z=0 量为m=(x,y,z),则 n-A丽=-2x+2y+3红=0，故可取m=8,-3,4): iCE=3c=0 又CE=(0,0,3),CB=(0,4,0),设平面ECB的法向量为n=(a,b,c),则 ,故可取n=1,0,0), i.CB=4b=0 设平面EAF与平面ECB的夹角为O, 则cos日=|cos(L,)= 1u_3_3W34 1m:nl1×V3434 18.【小问1详解】 .125-3.=00256则)2 5 ∑y-t 则b= 4004-6×90-5×3×228=44, r-n 91-62-5×32 is] a=-bt=228-4.4×3=214.8,所以y关于t的经验回归方程为少=4.4t+214.8 【小问2详解1思燕，可知R-子品号×行+号号 2、2,17 1 721,所以当22时，氨列2P为各项都为1的落数别 12 【小问3详解】 3 由(2)知， > 因此B,的最大值为P= 当n为奇数时，卫.=44气3) 31 3 且P随n的增大而增大，因此P的最小值为乃专 4 述，P的最大值为，最小值 对于任意6>0，总存在正整数N。= 1og(4ε)+1，其中[x表示不超过x的最大整数， a,a小际訓}” 所以数列{}收敛于3 l9.【答案】解：(1)fx=ex-a,,f(1)=ea, 由于曲线y-f8)在点(1，f1)处的切线与x轴平行，∴.f(1)=0,即ae; (②由于g6>点0e0在(Q,+o)上恒成立，即>点在0，+o）上恒成立， 即k<1++1x+,x∈(0，+o） 设h()=4th型，x∈(0，+o)所以6--型，0) x2 令1h6),则r)l点0,0)即rw在0o)为增函数。 又r(2)=1-ln3<0,r3)=2-2n2>0.即存在唯一的实数根a,满足r(a)=0,且a∈(2,3)， 当x>a时，r(x>0,h'x)>0,当0<x≤a时，r8<0,h(x水0， 即函数h)在(O,a)为减函数，在(a,+o)为增函数，则h(mnh(a)-a1a, a 由于r(a=a-1-ln(a+1)=0,且a∈(2,3)，所以，a-1=n(a+1),所以，hx)mimh(a)=a+1∈(3,4)， 故k∈{1,2,3}： (③)油(2知，h的-“>3，（心0，所以：lh6x1号-z 令X0m).n∈N.则16+pzan2-23C） 所以n11×2+ln1+2x3H+[1+na+12-301-+2-3(分3H+2-3)广2如31-》>2n3, 故1ln[1+i(i+1]P>2n-3. 4