2025-2026学年九年级寒假中考数学专题训练：尺规作图

尺规作图 重庆中考尺规作图多以基础作图 + 简单应用为主，分值一般 8-10 分，题型为解答题（要求保留作图痕迹，无需写作法和证明），核心考查 5 种基本作图的掌握及实际应用，同时注重作图规范和题意理解，以下是分模块的核心要点： 一、核心原则（中考评分关键） 痕迹必留：圆规画弧 / 圆、直尺画直线 / 射线 / 线段的痕迹要清晰，不能用涂改液 / 橡皮修改痕迹，辅助线可轻画但作图线必须明显； 工具规范：严格用无刻度直尺和圆规，禁止用刻度尺量长度、量角器画角度，否则按错误处理； 结果准确：作图结果需符合题意，比如作垂直平分线要过中点、作角平分线要平分角度，无需严格精准但视觉上无明显偏差； 无需作法：重庆中考明确要求保留作图痕迹，不写作法和证明，切勿额外写步骤浪费时间。 二、5 种基本作图（中考必考基础，所有作图题均基于此） 1. 作一条线段等于已知线段 要点：以已知点为圆心，已知线段长为半径画弧，与射线交于一点，连接即可；应用：三角形构图、线段和差作图。 2. 作一个角等于已知角 要点：① 以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；② 以新作角的顶点为圆心，同长为半径画弧，交射线于一点；③ 以该点为圆心，已知角上两弧交点的距离为半径画弧，两弧相交，连接顶点与交点即可；应用：平行线作图、等腰 / 等边三角形构图、角的和差。 3. 作已知角的角平分线 要点：① 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；② 分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧在角内部相交；③ 连接顶点与交点，即为角平分线；关键：第二步半径必须 “大于一半”，否则两弧无交点，作图无效；应用：角平分性质应用、三角形内心作图。 4. 作已知线段的垂直平分线 要点：① 分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径，在线段两侧画弧，得到两个交点；② 过两个交点作直线，即为垂直平分线；关键：半径 “大于一半”+ 两侧都画弧（保证有两个交点），垂直平分线是直线，不是线段 / 射线；应用：找线段中点、三角形外心作图、线段垂直平分线性质应用（如找到两点距离相等的点）。 5. 过一点作已知直线的垂线 分点在直线上和点在直线外两种情况，均为中考高频考点： （1）点在直线上（作垂线，实际是作平角的角平分线） 要点：以该点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点，再按 “垂直平分线” 方法作这两点的垂直平分线即可。 （2）点在直线外 要点：以该点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，再按 “垂直平分线” 方法作这两点的垂直平分线，过该点的直线即为垂线；应用：三角形的高、过定点作直线的垂线（如最短路径问题）。 1．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，①__________， ∴∠ABE=∠CDF ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB ∴∠BAE=∠BAD，②___________， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴③_______________ ∴∠BAE=∠DCF 在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF 2．在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． (1)作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 3．学习了角平分线的性质后，小李进行了拓展性研究，他发现利用角的对称性能得到线段相等的结论．请你根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)小李先作的角平分线，然后在角平分线上任取一点P，在的边上任取一点E，连接．在边上截取，连接，则（不写作法，只保留作图痕迹） (2)利用三角形全等证明他的猜想． 证明：∵平分，∴①______， 在和中，， ∴（③______），∴． 4．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 5．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点、，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，①___________． ∴， ∴， ∴②_________． 在和中：， ∴， ∴③___________，， ∴④___________． ∴四边形是平行四边形． 6．在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 7．在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；） (2)在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；． 证明：过点O作于点F， ， 平分， ① ， 在与中， ， ③ ，与相切于点F； ， ， ． 进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ． 8．如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 9．平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． (1)尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H，交于点O，连接；（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①______，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②______， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④______． 10．如图，四边形为矩形，对角线交于点为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下操作：在右侧作，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证四边形为平行四边形． 证明：四边形为矩形，交于点， ， 在与中， ， ， ③_________， 又， 四边形为平行四边形． 以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为④______． 11．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．    (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：，． 证明：∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵点为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤ ， ∴，． 12．如图，在四边中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 13．已知四边形是平行四边形，．    (1)利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 14．小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求； （2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF． 【详解】（1）解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB， ∴，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠BAE=∠DCF， 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE=DF， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 2．(1)图见解析 (2)①；②；③；④；⑤互相垂直 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据画角平分线的方法即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ． （2）证明：∵平分， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直． 故答案为：①；②；③；④；⑤互相垂直． 3．(1)作图见解析 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作线段，全等三角形的判定和性质． （1）根据尺规作图作角平分线的方法以及尺规作图作等线段的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义即全等三角形的判定和性质补全证明过程即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵平分，∴①， 在和中，， ∴（③）， ∴． 故答案为：①，②，③． 4．(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，， （2）证明：， ① ，， ， 为底边的中点， ② 在和中 ， ． 故答案为：①；②；③；④． 5．(1)见解析 (2)①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键， （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作角， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，． ∴， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①②③④． 6．(1)见解析 (2)，，，，成立，证明见解析 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在外时，分两种情况讨论，然后分别根据角平分线的性质和全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）证明：∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴③． 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤成立． 证明如下：如图所示，当点D在下方时，    ∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时，    ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 7．(1)见解析 (2)①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比 【分析】本题考查尺规基本作图——作已知角的平分线，作圆，全等三角形的判定与性质，切线的判定 （1）按尺规基本作图作的平分线，再以点O为圆心、为半径作即可； （2）证明，得，即可得出与相切于点F；再根据，得到，即圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比． 【详解】（1）解：如图，射线、即为所求． （2）证明：过点O作于点F， ， 平分， ， 在与中， ， ， 与相切于点F； ， ， ， 即圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比． 故答案为：①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比． 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 9．(1)见解析 (2)①，②，③，④正方形 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解答本题的关键． （1）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧将于点M，N，过点M，N作直线，则直线为的垂直平分线； （2）根据菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线为的垂直平分线， （2）证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③， ∴四边形为平行四边形 ∵， ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④正方形． 理由：当平行四边形为正方形时，如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴， 又 ∴ 同理可得，, ∴，且互相垂直平分， ∴四边形是正方形 故答案为：①，②，③，④正方形． 10．(1)图见解析 (2)①；②；③；④菱形 【分析】本题考查了尺规作图（作角等于已知角），矩形的性质，平行四边形以及菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确求证． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：四边形为矩形，、交于点， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． 以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为菱形． 理由：同理证明四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， 即， 四边形为菱形． 故答案为：①；②；③；④菱形． 11．(1)画图见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题考查了尺规作图及几何证明，涉及作角等于已知角，全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握作图方法和几何性质是解题的关键． （1）根据作角等于已知角的方法作图即可； （2）根据所给步骤推理证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 12．(1)见解析 (2)，，，，得到的四边形是菱形 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 13．(1)见解析 (2)；；；； 【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形． 【详解】（1）如图，为所作；    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 14．(1)见解析 (2)； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 【分析】本题主要考查作角平分线以及平行线的判定： （1）以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别心为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，过点M作射线交于点，则即为所作； （2）由四边形内角和定理得，由角平分线定义得到，三角形内角和定理得，故可得，从而可得，即可得结论 【详解】（1）解：如图，为的角平分线， （2）解：∵且， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $