2026年中考数学一轮复习-专题06 因式分解

专题06 因式分解 一、选择题（共10小题） 1．（2025•万山区模拟）多项式a3﹣ab2因式分解的结果为（　　） A．a（a2﹣b2） B．a2（a﹣b2） C．ab（a﹣b） D．a（a+b）（a﹣b） 2．（2025•马鞍山模拟）下列因式分解中正确的是（　　） A．a4﹣8a2+16＝（a﹣4）2 B．﹣a2+4a﹣4＝﹣（a﹣2）2 C．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝（a﹣b）（x﹣y） D．a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2） 3．（2025•江津区模拟）对多项式am2﹣4a分解因式，正确的选项是（　　） A．a（m2﹣4） B．a（m+2）（m﹣2） C．（m+2a）（m﹣2a） D．a（m+2）（2﹣m） 4．（2025•英山县校级模拟）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 5．（2025•英德市一模）下列多项式分解因式正确的是（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2+b2＝（a+b）2 C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3 D．2a﹣4＝2（a﹣2） 6．（2025•卫滨区校级三模）若m为任意整数，则（2m+6）2﹣36的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 7．（2025秋•汝阳县期中）对a3﹣2a2b+ab2进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2﹣2ab+b2） B．a（a﹣b）2 C．（a﹣b）（a2﹣ab） D．a3﹣ab（2a﹣b） 8．（2025•曲靖模拟）已知a+b＝6，a﹣b＝2，则3a2﹣3b2＝（　　） A．36 B．24 C．18 D．12 9．（2025•云南模拟）若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 10．（2025•涿州市校级三模）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2+6x+10＝（x+3）2+1 二、填空题（共8小题） 11．（2025•阜阳三模）因式分解：xy2﹣6xy+9x＝　 　 ． 12．（2025秋•海原县校级期末）因式分解：2x2﹣2＝　 　 ． 13．（2025•金安区校级三模）因式分解：2x3﹣12x2+18x＝　 　 ． 14．（2025•武都区模拟）分解因式：5a3﹣20a＝　 　 ． 15．（2025•抚顺一模）因式分解：mx2﹣4m＝　 　 ． 16．（2025•南岗区校级四模）把多项式2ax2﹣8axy+8ay2分解因式的结果是　 　 ． 17．（2025•阳山县模拟）因式分解a2﹣4a+4的结果是 　 　 ． 18．（2025•平房区一模）把多项式2x2+4x+2因式分解的结果是　 　 ． 三、解答题（共4小题） 19．（2025•高唐县一模）因式分解：a3b﹣2a2b2+ab3． 20．（2025•台江区校级模拟）因式分解： （1）3ax2﹣6ax+3a； （2）（m2+1）2﹣4m2． 21．（2025•丰南区校级三模）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且满足ab﹣ac+b2﹣bc＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． （2）已知，，求多项式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20的值． 22．（2025•益阳模拟）（1）已知a，b，c为整数，且c≠0，若多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+2x﹣3整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D B B A D C 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：a3﹣ab2 ＝a（a2﹣b2） ＝a（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．【答案】B 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：a4﹣8a2+16＝（a2﹣4）2＝（a+2）2（a﹣2）2，则A不符合题意， ﹣a2+4a﹣4＝﹣（a﹣2）2，则B符合题意， x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝（a﹣b）（x+y），则C不符合题意， a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），则D不符合题意， 故选：B． 3．【答案】B 【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：am2﹣4a ＝a（m2﹣4） ＝a（m+2）（m﹣2）， 故选：B． 4．【答案】D 【分析】先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：由条件可知： a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a+b）2 ＝1×32 ＝9． 故选：D． 5．【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故本选项不符合题意； B、a2+b2不能因式分解，故本选项不符合题意； C、a2+2a﹣3＝（a+3）（a﹣1），故本选项不符合题意； D、2a﹣4＝2（a﹣2），故本选项符合题意； 故选：D． 6．【答案】B 【分析】先利用完全平方公式将式子展开，然后用提公因式法将式子进行因式分解，求出式子能被4整除． 【解答】解：（2m+6）2﹣36 ＝4m2+24m+36﹣36 ＝4m2+24m ＝4（m2+6）， 因为4（m2+6）能被4整除， 所以（2m+6）2﹣36能被4整除． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：a3﹣2a2b+ab2， ＝a（a2﹣2ab+b2）， ＝a（a﹣b）2． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】先整理3a2﹣3b2＝3（a+b）（a﹣b），然后把a+b＝6，a﹣b＝2代入计算，即可作答． 【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝2， ∴3a2﹣3b2 ＝3（a2﹣b2） ＝3（a+b）（a﹣b） ＝36， 故选：A． 9．【答案】D 【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式＝3（a2+2ab+b2）﹣47＝3（a+b）2﹣47， ∵a+b＝4， ∴原式＝3×42﹣47＝1． 故选：D． 10．【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共8小题） 11．【答案】x（y﹣3）2 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣6xy+9x， ＝x（y2﹣6y+9）， ＝x（y﹣3）2． 故答案为：x（y﹣3）2． 12．【答案】2（x+1）（x﹣1） 【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）． 13．【答案】2x（x﹣3）2． 【分析】首先提取公因式2x，再次运用完全平方公式进行二次分解即可． 【解答】解：原式＝2x（x2﹣6x+9） ＝2x（x﹣3）2， 故答案为：2x（x﹣3）2． 14．【答案】5a（a+2）（a﹣2） 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：5a3﹣20a ＝5a（a2﹣4） ＝5a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：5a（a+2）（a﹣2）． 15．【答案】m（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可得． 【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣22）＝m（x+2）（x﹣2）． 故答案为：m（x+2）（x﹣2）． 16．【答案】2a（x﹣2y）2． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：2ax2﹣8axy+8ay2 ＝2a（x2﹣4xy+4y2） ＝2a（x﹣2y）2， 故答案为：2a（x﹣2y）2． 17．【答案】（a﹣2）2． 【分析】利用完全平方公式，进行分解即可解答． 【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2， 故答案为：（a﹣2）2． 18．【答案】2（x+1）2． 【分析】将原式提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2+2x+1） ＝2（x+1）2， 故答案为：2（x+1）2． 三、解答题（共4小题） 19．【答案】见试题解答内容 【分析】首先提取公因式ab，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2． 20．【答案】（1）3a（x﹣1）2； （2）（m+1）2（m﹣1）2． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）3ax2﹣6ax+3a ＝3a（x2﹣2x+1） ＝3a（x﹣1）2； （2）（m2+1）2﹣4m2 ＝（m2+1）2﹣（2m）2 ＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m） ＝（m+1）2（m﹣1）2． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）对ab﹣ac+b2﹣bc＝0因式分解得（b﹣c）（a+b）＝0，由此得到b＝c，则△ABC是等腰三角形； （2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20进行化简，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）∵ab﹣ac+b2﹣bc＝0， ∴（b﹣c）（a+b）＝0， ∵a，b，c是△ABC的三条边长， ∴a+b＞0， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）a2﹣b2﹣8a+12b﹣20 ＝a2﹣8a+16﹣（b2﹣12b+36） ＝（a﹣4）2﹣（b﹣6）2 ＝（a﹣4+b﹣6）（a﹣4﹣b+6） ＝（a+b﹣10）（a﹣b+2） ∵已知，， ∴原式＝（a+b﹣10）（a﹣b+2） ＝2． 22．【答案】（1）； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或2． ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2，其中k1，k2为整数． 所以，． 由k1，k2为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为r（r＝1，2），则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r其中k3，k4为整数． 所以，， 由k3，k4及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 【分析】（1）由题可知x3+ax2+bx+c＝（x+m）（x2+2x﹣3），进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题易知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或，2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2，其中k1，k2为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为r（r＝1，2），则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r其中k3，k4为整数．进而求证即可． 【解答】（1）解：由题意可知存在整数m，使得x3+ax2+bx+c＝（x+m）（x2+2x﹣3）． 即x3+ax2+bx+c＝x3+（2+m）x2+（2m﹣3）x﹣3m． 所以，a＝2+m，b=2m﹣3，c＝﹣3m． 所以，． （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或2． ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为3k1+1，3k2+2，其中k1，k2为整数． 所以，． 由k1，k2为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为r（r＝1，2），则可设这两个整数分别为3k3+r，3k4+r其中k3，k4为整数． 所以，， 由k3，k4及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 第3页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $