精品解析：上海市浦东新区进才北校2025-2026学年上学期八年级数学期末测试卷

2025学年第一学期初二年级期末评价数学学科试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、选择题：（每道题3分，共18分） 1. 在二次根式中，字母x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，牢记二次根式被开方数是非负数是正确解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式再解之即可． 【详解】解：被开方数为非负数，可得， 解得． 故选C． 2. 在4、、、这四个实数中，是无理数为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；分别对各数判断是否是无理数即可． 【详解】解：4是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，而是无理数，是无理数． 所以无理数是， 故选：C． 3. 下列条件中，不能确定一个直角三角形的是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一条直角边和斜边 D. 已知一个锐角和斜边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定方法，需结合边长信息才能唯一确定．根据直角三角形的性质，选项B只已知两个锐角但无边长信息，只能确定形状而不能确定大小，因此不能唯一确定一个直角三角形． 【详解】解：对于选项B： ∵直角三角形中两个锐角互余， ∴已知两个锐角时，角度固定但边长未知， ∴三角形大小不唯一，只能得到形状相同的三角形， 故不能确定一个直角三角形． 其他选项均可通过三角形全等的判定定理确定唯一三角形． 4. 下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、负整数指数幂与零指数幂、求绝对值等知识，掌握这些知识是关键；计算各选项的数值及绝对值，比较大小即可． 【详解】解：，； ，； ； ，； 比较绝对值：， 即的绝对值最小； 故选：B． 5. 如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解；由作图方法可得垂直平分， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定．熟练掌握这些性质与判定，并能灵活运用是解决此题的关键． 根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质、等腰三角形的判定可判断②；根据三角形三边关系可判断③；根据角平分线的性质定理可判断④． 【详解】解：∵分别是、的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 故②正确； 当时，， 即E、F不是中点， 故③错误； 如图，过点O作于点H，连接， 则， ∴ ， 故④正确； 综上，正确的有①②④； 故选：A． 二、填空题：（每道题2分，共24分） 7. 已知，则的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的意义，先根据算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 8. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月20日，累计票房已达 152亿元，将数据“152亿”用科学记数法表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，熟记科学记数法的表示方法是解题的关键．将“152亿”转换为具体数值，再根据科学记数法的定义，表示为 的形式，其中 ， 为整数． 详解】解：152亿 ． 故答案为 ． 9. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 10. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，将平方根内的数字和变量分别化简，数字部分分解质因数后提取平方因子，变量部分根据指数奇偶性提取偶数次方． 【详解】解：． 故答案：． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，已知根的情况求参数．根据一元二次方程的定义，二次项系数 ；再根据根的判别式，方程有实数根时 ，代入系数计算判别式并解不等式，即可作答． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根， ∴且， 其中 ，，，代入得 ， 解得 ， ∵， ∴且， 故答案为：且． 12. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】令先利用公式法求解一元二次方程的根，再分解因式即可. 【详解】解：令 故答案为： 【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，利用公式法解一元二次方程，掌握“利用公式法求解一元二次方程的根，再把代数式分解因式”是解本题的关键. 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 14. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为或满足两边平方和等于第三边的平方． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②设，则， 解得， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵，即，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故④符合题意； ⑤设，则，， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴不是直角三角形． 故能确定是直角三角形的条件有①③④． 故答案为：①③④． 15. 如图，点在上，，，．若．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，结合四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F， 平分， ， 四边形的面积为，，四边形的面积， ， ， 故答案为：． 17. 在中，，两锐角的角平分线交于点，当时，则点到边的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质定理，连接，过点P作，垂足分别为D，E，F，点P为三角形的内心，利用角平分线的性质和等面积法求解． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足分别为D，E，F． 由于点P是和的角平分线的交点， 根据角平分线的性质，点P到各边的距离相等，即． 设，则． 在中，， ． 又 ． 因此， 解得． 故点P到距离为2． 故答案为2． 18. 如图，两块完全一样的含角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，，则此时两直角顶点、间的距离是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等边对等角，旋转的性质；得到是等边三角形是解答此题的关键；连接，因为点M为的中点，也是的中点，由旋转的性质可知，，而，从而可证为等边三角形，即可求． 【详解】解：连接，如图， ∵点M为的中点， ∴点M为的中点， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 三、计算题：（每道题4分，共8分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，立方根，求一个数的绝对值，二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂，立方根，求一个数的绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解方程：（每道题5分，共10分） 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2），； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把化一般式，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∴，； 五、解答题：（第21题6分；第22题7分；第23题7分；第24题9分；第25题11分，共40分） 21. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握这些知识是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）由根与系数的关系及完全平方公式变形运用，得到关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 由（1）知当时，方程才有实数根， ∴． 22. 为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【答案】1班人数是20人，2班人数是26人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得（舍去），然后验根作答即可． 【详解】解：设2班人数是人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是人． 23. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）长为4． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 24. 已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． （1）解这个关于的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的； （3）代入，得到��和��是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和，结合��的值发现三角形是直角三角形，从而求出面积。 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵是不等于1的整数， ∴， ∴，， 【小问2详解】 解：由（1）知方程的解为2和， ∵这个方程有两个不相等的正整数根， ∴的值为不是2的正整数， ∵是不等于1的整数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 整理得， 同理且， ∴和是方程的两个根， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 25. 如图1，在等腰直角中，，将点绕点逆时针旋转至点，射线与的平分线交于点，连接． （1）当时， ①问的大小是否变化？如果不变，求出这个大小；如果变化，用含有的式子表示其大小； ②如果，求的面积； （2）如果，求的值． 【答案】（1）①的大小不变，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①由旋转的性质及角平分线的意义、三角形内角和、三角形外角的性质即可求得的大小； ②先证明，得，即可求解； （2）分两种情况：及，构造全等三角形，利用三角形全等的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①的大小不变； 由旋转知：， ∴； ∵是的平分线， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图，过点A作的垂线交的延长线于点F， 则, ∴， 由（1）②知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）②知 ∴， ∴； 当时，如图，过点A作交于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初二年级期末评价数学学科试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、选择题：（每道题3分，共18分） 1. 在二次根式中，字母x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 在4、、、这四个实数中，是无理数为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 下列条件中，不能确定一个直角三角形的是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一条直角边和斜边 D. 已知一个锐角和斜边 4. 下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：（每道题2分，共24分） 7. 已知，则的平方根是_____． 8. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月20日，累计票房已达 152亿元，将数据“152亿”用科学记数法表示为______ 9. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 10. 化简：___________． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是___________． 12. 在实数范围内分解因式：________． 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 14. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 15. 如图，点上，，，．若．则_________． 16. 如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是______． 17. 在中，，两锐角的角平分线交于点，当时，则点到边的距离为___________． 18. 如图，两块完全一样的含角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，，则此时两直角顶点、间的距离是___________． 三、计算题：（每道题4分，共8分） 19. 计算 （1） （2） 四、解方程：（每道题5分，共10分） 20. 解方程 （1） （2） 五、解答题：（第21题6分；第22题7分；第23题7分；第24题9分；第25题11分，共40分） 21. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 22. 为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 23. 已知：如图，，、分别是、中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． （1）解这个关于的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 25. 如图1，在等腰直角中，，将点绕点逆时针旋转至点，射线与的平分线交于点，连接． （1）当时， ①问大小是否变化？如果不变，求出这个大小；如果变化，用含有的式子表示其大小； ②如果，求的面积； （2）如果，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $