2025-2026学年九年级寒假中考专题训练：正方形求长度

正方形求长度 正方形背景下的线段长度求解是高频考法，核心考查正方形的性质、全等/相似三角形判 定与性质、勾股定理、坐标法等知识的综合运用，解题关键是依托正方形的边、角、对角 线特征，构造可计算的几何模型。以下梳理核心解题思路+典型模型+步骤技巧+避坑 要点，适配该题型的快速解题需求。 一、核心解题原则 抓正方形核心性质：四边相等、四角为90°、对角线相等且互相垂直平分对边平行， 邻边垂直，这些是构造等量关系的基础： “未知转已知”：通过作辅助线，将待求线段转化为直角三角形的边、全等/相似三角 形的对应边，或通过坐标法转化为两点间距离： 优先用“几何法”（全等/相似/勾股），几何法受阻时快速切换“坐标法”（通 法，无思维门槛)，两种方法均可解决该题型，按需选择。 二、高频解题方法（按使用频率排序） 方法1：构造直角三角形（勾股定理）一一最核心 正方形的90°角为构造直角三角形提供天然条件，待求线段若为斜线段，优先找/作垂线， 将其放入直角三角形中，利用勾股定理计算（需先求直角边长度）。 适用场景 待求线段两端点可向正方形的边作垂线，形成直角三角形，且直角边的长度可通过正方形 边长、已知线段推导。 解题步骤 确定待求线段为Rt△的斜边： 过线段端点作正方形边的垂线（辅助线：作⊥），标记直角三角形的两条直角边： 利用正方形的边长、线段和差求直角边的长度： 勾股定理计算： 方法2：构造全等三角形一一高频用 利用正方形的边相等、角为90°，通过旋转、平移、作垂线构造全等三角形 (SAS/ASA/AAS/SSS),将待求线段转化为已知/易求线段。 核心全等模型（正方形专属） 旋转型全等：正方形中绕顶点旋转90°，易构造全等垂线型全等：过正方形内/外一点向 两边作垂线，形成的直角三角形易证全等 试卷第1页，共3页 适用场景 待求线段与正方形的边/对角线形成的三角形，有一组边相等+一组角相等，可补全条件 构造全等。 解题关键 找相等的边（正方形的边）、找相等的角(90°角的和差，如∠1+L2=90°，∠2+∠3=90°， 则∠1=∠3)。 方法3：构造相似三角形一一 次高频 若题目中存在平行线段、公共角、直角，且无明显全等条件时，优先考虑相似三角形（正 方形对边平行，易形成“A型”“X型”相似)，利用相似比=对应边比求线段长度。 核心相似模型 解题关键 找准相似的对应边，避免比例列错（相似比需统一“前项：后项”）。 方法4：坐标法（解析法）一一通法兜底 几何法思维卡壳时，坐标法是万能解法，无需找全等/相似，只需通过建系、标坐标、用 公式计算，适合所有正方形背景的长度问题，步骤固定，不易出错。 解题步骤（核心：建系要简便） 建平面直角坐标系：以正方形的一个顶点为原点，相邻两边为x轴、y轴（最优建系方式， 坐标均为正，计算简单)： 标各点坐标：设正方形边长为（若已知边长直接标，未知则设为参数，最后会消去）， 根据题目条件，用正方形边长、已知线段长度表示各点坐标： 求待求线段长度：若为两点间线段，用两点间距离公式：若为点到直线的距离，用点到直 线距离公式（该题型极少用）。 优势 无需分析复杂的几何关系，只需代数计算，适合基础中等的学生，或几何法思路不清晰时 快速得分。 ABCD E BC 1.如图，在正方形 中，点”是边上一点 ,DFL AE交B 于 试卷第2页，共3页 .BE_2 CP 点F,以FD'FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接AP,CP,若BC5,则AP等于 (). 9 2V29 √3 4 A.25 B.29 C.10 D.11 ABCD中，ELFG于点，连接8H,且 2.如图，在正方形中， BH A F D HE BA=BH,K在CD上，∠KGF=45,若BG=EK,则G为（) 5 2W2 V10 A.4 B.5 C.5 D. 2 D ABCD BC 3.如图，四边形 为正方形，点E为边上靠近点B的三等分点，连 接E,DEDE AC BF AE 与正方形对角线交于点F,连接与交于点G,若 G B BF=B,则AG的长度为(） 15v10 55v10 15v13 A.V13 B.11 C.42 D.11 试卷第3页，共3页 H 4.如图，将正方形ABCD折叠，使得点B落在CD边的点G上， E A 点A折叠后的对应点为H,折痕为EF,连接DH,若 tan∠GFC= 4'EF=io,则DH的长为（) B 6W5 √17410 V85 A.5 B.2C.5D.5 A D ABCD E AB BD 5.在正方形中，点为中点，点在对角线 上， M BD=6BF EF FEF⊥FM CD M 且 ，连接，过点作 交干 ,则 FM DM的值为 A.香万 B.2 5 C.2 D. ABCD E F 6.如图，在边长为8的正方形 中，点，分别为 M AD AB A CE CE 边上的点，过点作的垂线，交的延长线 于点G,交CF的延长线于点M,连接GF.若DE=2, AM=CE,则GF的长为() 8√7 A.V73 B.210 C.5 D.9 试卷第4页，共3页 ABCD CD AE 7.如图，在正方形 CD中，点E是边的中点，连接正，将 沿4折叠至正方形内都，符到线段”，延长“交BC于点 AD、AE AF G,延长EF交BC于点H,若AB=4,连接CF,则EH-CF的长为 () 82W5 84V5 A.35 B.35 102W5 104vV5 C.35 D.35 ABCD E AD BE 8.如图，正方形 的边长为6，点在边上，连接，作 EF⊥BE、∠CBE F CD H CE BF 交 的角平分线于点，交于点“，连接交于点 M.若BE=4EH,则EM的长度为() 317 4V17 5vW17 6W17 A.4 B.5 C.6 D.7 ABCD E BC 9.如图，已知正方形 的边长为6，点是边的中点， 厂是边4南点，连接DF,过”作G1DF交DF延 EG 长线于点G,连接4G、EG,则AG的值为(） 试卷第5页，共3页 V65 A.5 B.5 √26 C.3 D.4 BCD中，点为线段18上一点，满足 ABCD E E=2BE 10.如图，正方形 ，连 接C,点F为线段1D上一点，过点F作G F 、F.FG⊥CE、CE H AB 交于点“，交 CH 延长线于点G,若DF=BG,则EH的值为(）· A B.2 c.2 D.3 中，点M为C0边上一点，CM=3D ABCD CD D N 11.如图，在正方形 ，连接 BM AD BM H 并延长，与的延长线交于点N,点F为边上一点，过点C作 CE⊥CF、BN CGBN AN BF=4 交于点E,作 于点H,交于点G.若 CE=CF,则CG的长为() A.20 B.25 C.30 D.35 12.如图，正方形 D中，E为对角线1C上一点，连接DE,过 ABCD E AC D C 9 LE,EF⊥DE、DC F BC 点作 M M M 交的延长线于点，交于点”，若为 B 试卷第6页，共3页 DE EF的中点，则CF的值为() A.1 B.V2 5 3w2 C.2 D.4 ABCD CD CE 13.如图，在正方形 中，E为边的中点，以为斜边 RtAECF AD 向外作等腰 ,连接F,线段”上有一点G,且 AG ∠GBF=45°，则DG的值为(） 3 A.2 B.2 A C. D.4 14.如图，在正方形BCD中，点E为B上的一点，且BE=4B=1,连 接DE,过点B作BF⊥DE交DE延长线于点F,连接AF,则线段AF的长 度为() 10 122 5W2 7 A.3 B.5 C.2 D.2 ABCD CD BC D 15.如图，在正方形中，点F为中点，点E为上一点，满 G BG 足BE+DF=EF'点G为线段AF上一点，若AG=EG,则EF的值为 () E C 试卷第7页，共3页 2V7 6 A.5 B. 4v2 √10 C.5 D.3 I6.如图，正方形ABCD中，点E在BD上，DE=2BE,连接CE,过点E作EF⊥CE交 D AB FG∥CEFG=CE CG、DG 的延长线于点F,再过点F作 ，连接 G DG E 则8D的值为() B 6 J A. B.4 4v2 13 C.5 D.3 ABCD AD AB 17.如图，在正方形 中，E、F分别为、 上的点，且 G ∠ECF=45 EC FC BD ,连接、分别交对角线于点G、H,连接 BF,M为”中点，N为F中点，连接 、ANEM 交于点0.若 FC=4而，FH=而，则四边形OMN的面积为(） A.6 B.8 C.12 D.16 试卷第8页，共3页 I8.如图，四边形ABCD是正方形，以AB为斜边在右侧作RtAAEB,使得∠AEB=9O°且 能-子在4D的延长线上取点p,使符0F-号B,连接八CE:交CD于点 AE3 5 HE 则CE的值为() 35 35 √85 V85 A.34 B.17 C.17 D.34 正2 A D I9.如图，在正方形4BCD中，点E为线段BC上一点，满足正3， 1M H AE,CD G,H 连接E,过点B作BF1AE,分别交4C,CD于点 ，交D 的延 G B E F 长线于点F,作∠CDF的角平分线交Br于点M'连接CM'则OM的 值为() 4V10 2W10 3W5 5 A.15 B.5 C.8 D.3 ABCD E BD CE 20.如图，在正方形 中，点是对角线上一点，连接， E CE CB F AB H 过点作的垂线交“的延长线于点”，交B于点，若 H HE:HF=3:l,连接AF,则tan∠FAB的值为() A. 4 1 B.5 3 B.C.16 1 D. 6 试卷第9页，共3页 参考答案 题号 1 5 6 7 9 10 答案 B B 2 D D A D D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B B C D 0 1.B 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定 和性质等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键。 先过点P作PH⊥BC,交BC延长线于点H,通过正方形的性质和DF⊥AE条件判定 △ADF≌△BAE,得FD-AE,再与平行四边形的性质结合推出△HEP≌△BAE,设BE=2x, BC=5x,那么CH=2x,证明Rt△PCH为等腰直角三角形，再运用勾股定理求解出CP、 AP的值，最后进行求解即可. 【详解】解：过点P作PH⊥BC,交BC延长线于点H, E ,正方形ABCD ∴.BC=AB=AD,∠DAB=∠B=∠DCB=90°. 平行四边形DFEP, FDIPE FD-PE DF⊥AE FDIPE .PE⊥AE,即∠AEP=90° .∠DAB=∠DAE+∠EAB=90°，∠DAE+∠ADF=90°， .∠EAB=∠ADF. 在△ADF和△BAE中， 「∠ADF=∠EAB AD=AB ∠DAB=∠B 答案第1页，共2页