勾股定理与三角形 精选压轴题 2025-2026学年 北师大版 八年级上册数学期末复习专题训练

《勾股定理与三角形》精选压轴题—2025-2026年广东省（北师版）八年级上册数学期末复习专题训练 一、选择题 1．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（　　） A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（　　）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 3．如图，在中，点分别在边上，连接，已知，， 都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（　　） A． B．4 C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．25 5．如图，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，连接EF，GH，DL，再过A作AK⊥BC于K，延长KA交EF于点M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE=S正方形BHLG；②EM=MF；③2AM=BC；④当AB=3，BC=5，∠BAC=90°时，S阴影部分=20，其中正确的结论共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形内有一点P，连接AP，BP，CP，若BP平分∠ABC，，则∠PAC=　 　. 7．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，记的面积为，的面积为，则　 　. 8．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为　 　 ． 9．如图，在长方形中，，点E上线段上的一点，且满足，连接BE，将沿折叠得到，延长交的延长线于点G，则的面积是　 　． 10．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则　 　． 11．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为　 　． 12．如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点G，且，则的长为　 　． 13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 　 　． 三、解答题 14．综合与实践 【动手操作】 数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线，使得．小明同学设计的做法如下： ①在直线l上取两点B、C，连接，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段于点E； ②分别以点D和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF； ③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，作直线． 则直线平行于直线l． （1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹） （2）【验证证明】 请证明直线； （3）【拓展延伸】 已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接，，请直接写出与的面积关系　 　； （4）【应用实践】 某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，，km，km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形的面积为20km2，则　 　km． 15．先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． （1）【尝试应用】 观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是____. A． B． C． D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； （3）【综合运用】 如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 16．如图1，和在线段的同侧，且边与在同一直线上，，连接． （1）在图1中，的形状为　 　． （2）如图2，若，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若，和的角平分线交于点P，请直接写出的度数． 17．如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市． （1）请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程． （2）如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短． ①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整： 证明：如图4，延长交于点， ， 又， ▲ ， ②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）． A．左侧B．线段上C．线段上（不含点）D．右侧 ③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】80° 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】或 13．【答案】2 14．【答案】（1）解：补全图形，如图所示： （2）证明：由作图步骤可知BF为∠ABC的角平分线 ∴， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） （4）3 15．【答案】（1）B （2）解：令， 消去得：， 故解析式为：； （3）解：（3）设， ①当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 设， ， 消去得； ②当点B第三象限时，过点A作直线轴于点A，过点P作于点G，过点B作于点H，设与y轴交于点M， 同理可得，， ， 设， ， 消去得； 综上所述，点B随点P变化而运动所形成的图象的解析式为或． 16．【答案】（1）等腰直角三角形 （2）解：为等边三角形 在和中， ， ， 为等边三角形． （3）解： 和的角平分线交于点P ． 17．【答案】（1）解：如图所示， ∴， ∴的长度即为的最小值， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； （2）①； ②B； ③如图所示，过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴最短路程为300米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $