精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟七数学试卷

云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟七数学试题 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：B. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 9 B. 11 C. 18 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推公式求出相关项，再计算即得. 【详解】因为，且， 所以， 则. 故选：B． 3. 某高中共有学生1800名，其中高一年级有625人，高二年级有615人，现按照年级采用分层随机抽样的方法在全校抽取90名学生，则高三年级抽取的人数是（　　） A. 28 B. 30 C. 31 D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】先求出高三年级的学生人数，再计算抽样比例，最终求得高三年级抽取的人数. 【详解】高三年级人数为. 抽样比例为. 高三年级抽取人数为. 故选：A 4. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程配方即可得解. 【详解】将方程配方得 所以圆心坐标为, 又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限， 所以，解得. 故选：A 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 7. 6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，运用排列与组合分别求出总基本事件数与符合条件的事件数，再利用古典概型的概率公式求解． 【详解】6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，总排列数为：； 若后排同学都比前排的高，可以将6人两两分组，每组中矮的站前排、高的站后排： 6人两两分组方法为：， 每组中矮的站前排、高的站后排只有1种排法， 符合条件的排列数为； 对应概率，故C正确． 故选：C． 8. 已知函数的零点为、函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合反函数的性质判断及利用零点存在性定理及不等式性质推理判断，逐项判断即可. 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，，    由反函数性质知，关于对称，则，，，CD错误；B正确， 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，A错误. 故选：B 二、多选题 9. 在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接，为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线，， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）． A. 椭圆E的离心率为 B. 若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C. 若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可求解A,结合点在椭圆上，可求解B，根据对称性以及斜率公式即可求解C，根据面积公式即可判断D. 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故， 所以，，则椭圆E的方程为，B错误； 对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称， 设，，， 则，C正确； 对于D，直径，点M到的距离小于等于， 则的面积的最大值为，D正确， 故选：ACD． 11. 对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. 记，则数列有最大项 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件求出数列的通项公式，利用定义证明数列为等差数列，即可判断A，B；求出数列的前n项和的解析式，进而得到的解析式，并求出的值，即可判断C；若数列有最大项，根据列出不等式组，并求出的值，即可判断D. 【详解】因为数列的“匀称值”为， 即， 所以①. 当时，②， 当时，①减去②可得 ， 两边同时除以，可得. 当时，由①可得，符合上式， 所以数列的通项公式为. 因为， 所以数列是以1为公差的等差数列，故A正确； 因为公差，所以数列为递增数列，故B错误； 因为等差数列的前项和， 所以，所以，故C错误； 因为， 所以若数列有最大项，则有， 即，化简得， 解得，所以为数列有最大项，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为，再利用等腰三角形性质可知，可得离心率为. 【详解】依题意可知，不妨取渐近线为，如下图所示： 可知，又垂直于轴，且在渐近线上，所以； 因此，即，可得； 即离心率为. 故答案为： 13. 在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，过作为垂足，过作，为垂足．在直角三角形中计算边长结合计算得到结果. 【详解】设，则，过作为垂足， 过作，为垂足． 在中有，， 在中有，， 则． 因为二面角为，所以, 又 ， 则，， 所以． 故答案为：. 14. 已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】变形条件转化为，构造函数，判断单调性，转化为恒成立，求解最小值可得答案. 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意化简可得，即，根据正弦定理解三角形即可求解； （2）由题意可得是的重心，即，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 16. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由题意可知，，，所以，，， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，面， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直可证面，再由线面垂直的性质定理可得再通过线面垂直的判定定理证明即可. （2）由条件可得，为等边三角形，再由第一问的结论可建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 又因为，所以，. 如图，取中点，连接， 又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，而，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以，所以，，，，， 设，因为，，三点共线， 所以，所以，， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得或（舍），所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 17. 已知数列满足的前项和为. （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式. （2）记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由，可得， 则，又，所以为等比数列， 故，则，得. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列定义证明等比数列，根据通项公式计算求解； （2）（i）应用错位相减法计算求解；（ii）设新数列，再根据单调性得出最小值分奇偶计算求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）可得， 因为， 则， 得， 化简得， （ii）原不等式化简可得， 记， 则. 记，知是关于的增函数， 其中. 故时，，又，所以. 原不等式成立，则存在，使得. 则当为奇数时，此时， 故，即，此时无解，不等式恒不成立； 当为偶数时，即， 解得或， 故的取值范围为. 18. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】（1）① ； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2） 函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 ①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②略 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ），； （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证. 【解析】 【分析】（1）求出准线方程，从而得到，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，；（ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 依题意，圆心到准线的距离为，可得， 所以抛物线E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）过且斜率为的直线方程为， 代入得， 由韦达定理：，①， 设直线的方程为，代入得， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将②③代入，结合①可得， 再代入（*）式，化简得， 由于，，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟七数学试题 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 9 B. 11 C. 18 D. 29 3. 某高中共有学生1800名，其中高一年级有625人，高二年级有615人，现按照年级采用分层随机抽样的方法在全校抽取90名学生，则高三年级抽取的人数是（　　） A. 28 B. 30 C. 31 D. 33 4. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 7. 6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为、函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）． A. 椭圆E的离心率为 B. 若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C. 若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D. 的面积的最大值为 11. 对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. 记，则数列有最大项 三、填空题 12. 已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为______． 13. 在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 14. 已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为________. 四、解答题 15. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 16. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知数列满足的前项和为. （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式. （2）记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $