精品解析：河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月份周考数学试题

2025-2026学年方城一高高一数学1月份周考试题 一、单选题 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 2. 关于函数有下列四个结论： ①函数的图象关于点中心对称；②函数在定义域内是增函数； ③曲线在处的切线为；④函数无零点； 其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 6. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 三、填空题 12. 已知函数则__________． 13. 若函数，存在最值，则实数的取值范围是__________. 14. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题 15. 已知， （1）用区间表示A和B； （2）已知函数，，求的最大值，并写出此时x的值． 16. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 17. 某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年方城一高高一数学1月份周考试题 一、单选题 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式与指数不等式得到集合，再运用集合的补集与交集运算，即可得解. 【详解】由题意得，则， 故， 故选：D. 2. 关于函数有下列四个结论： ①函数的图象关于点中心对称；②函数在定义域内是增函数； ③曲线在处的切线为；④函数无零点； 其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】要判断函数是否关于成中心对称，只要考查的值是否等于2即可，由此可判断①；利用函数的导数来判断②；求出函数在处的切线方程即可判断③；根据零点存在定理，计算，可判断④. 【详解】对于函数，有， 故的图象关于点中心对称，所以①不正确； ，而 ，当且仅当x=0时取等号， 所以 ，故在定义域内是增函数，故②正确； ，故线在处的切线为， 即，故③正确； 由可知，在（-1,0）之间有零点， 故④错误， 故选：C. 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 4. 已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 5. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 6. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在上单调递增，结合奇函数，判断在上也单调递增，然后化简不等式变成，然后分情况讨论，根据函数的单调性和零点求出解集即可. 【详解】因为对不等的正实数满足， 设，则，所以， 即，所以在上单调递增， 因为是在上的奇函数，所以在上也单调递增， 又，所以. 不等式， 即. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，只需求该函数在上的最小值，结合单调性与奇偶性可得答案. 【详解】因为是上的奇函数，且，则， 所以，即， 故函数是周期为的周期函数， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 要求函数在上的最小值，只需求该函数在区间上的最小值， 由对称性，只需求该函数在区间上的最小值， 因为函数是奇函数且在上单调递增，则该函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故. 故选：B. 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂运算和对数运算，可得，再对，，三种情况进行分类讨论，即可得到结果. 【详解】由题意，原式，可变换为，即； 当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意； 当时，， 所以，所以，即； 当时，， 所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意； 综上：. 故选：BC. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知函数则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数结合对数运算及指数运算求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为:． 13. 若函数，存在最值，则实数的取值范围是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用一次函数的性质分类讨论去绝对值符号，分析即可. 【详解】①当时，，，在上单调递减， 上单调递减，此时无最值； ②当时，，则易知有最小值-3. ③当时，，， 在上单调递减，上单调递增，上单调递增， 即有最小值，则，∴， 综上：. 故答案为：. 14. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数复合函数的单调性和二次函数的性质求解即可. 【详解】令，因为在区间上单调递增， 而为单调递增的，所以在区间上单调递增， ，根据二次函数的性质可得. 解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知， （1）用区间表示A和B； （2）已知函数，，求的最大值，并写出此时x的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域及单调性求解即可； （2）根据对数的运算化简可得，进而结合的取值范围求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得且，即， 由，得，即. 【小问2详解】 由， ， 因为，则， 则，即时，取得最大值. 16. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元，转化为二次函数求值域； （2）根据（1）的过程，参变分离转化为最值问题，即可求解. 【小问1详解】 因为，设，，则， 所以， 在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 即，， 即，恒成立， 在上单调递增，所以函数的最小值为， 所以. 17. 某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完. （1）求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； （2）当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本） 【答案】（1） （2）当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案. 【小问1详解】 由题意知，当时，，所以a=300. 当时，； 当时，. 所以； 【小问2详解】 当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990； 当时，， 当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990， 所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 在上为减函数．证明略； 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明：由，可得，， 当时，， 根据“下凸函数”的充要条件可知函数在上为“下凸函数”． ②证明：因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $