专题 双星 多星及宇航航行模型 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义以“双星多星及宇航航行”为核心，通过模型分类系统构建知识体系，运用表格对比（如极地卫星与近地卫星特点）、图示分析（卫星变轨过程）梳理人造卫星轨道、运行参量关系等内容，突出运动和相互作用观念，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于例题结合神舟二十一号、天问一号等真实航天案例，通过单选、多选及计算题设计，渗透科学思维中的模型建构（如双星轨道半径推导）和科学推理（变轨速度比较）。课时精练覆盖基础到综合题型，助力分层提升，既支持学生自主梳理知识，也为教师实施精准教学提供实用素材。

专题06 双星多星及宇航航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统。该系统由三种不同轨道的卫星组成，分别是地球静止轨道卫星（离地面约36000km）、倾斜同步轨道卫星（与赤道平面倾角约为55°）和中圆轨道卫星（离地面高度约21500km）。下列说法正确的是（　　） A．地球静止轨道卫星的角速度大于倾斜同步轨道卫星的角速度 B．地球静止轨道卫星的角速度小于倾斜同步轨道卫星的角速度 C．中圆轨道卫星的周期大于地球静止轨道卫星的周期 D．中圆轨道卫星的周期小于地球静止轨道卫星的周期 2．2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 3．目前在太空中为我们提供服务的北斗三号系统是由30颗卫星组成的。如图（a），以地球球心为坐标原点，以某一颗北斗卫星所在轨道平面建立xOy平面直角坐标系，将卫星绕地球运动视为逆时针的匀速圆周运动，其运动轨迹与x轴正半轴交点为K。现从K点开始计时，将卫星所受地球的万有引力F沿x轴、y轴两个方向进行正交分解，得到两个分力Fx，Fy，其中Fy随卫星运动时间t变化图像如图（b）所示，已知卫星质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转，则（　　） A．当时， B．该卫星距地面高度是地球半径的4倍 C．该卫星的轨道半径为 D．地球的质量为 4．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的速度越大，惯性越大 5．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运行到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，已知图乙中两轨道相切于M点，则天问一号（　　） A．发射速度大于16.7km/s B．在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度小于经过Q点的加速度 C．从调相轨道变轨到停泊轨道，运行周期变小 D．从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火加速 （多选）6．“天问一号”是我国首个自主研发的火星探测器，于2020年7月23日发射，成功实现对火星的环绕、着陆和巡视探测。如图，“天问一号”火星探测器被火星捕获后，进入椭圆停泊轨道Ⅰ，为着陆火星做准备，在P点（椭圆轨道的近火点）再次制动后进入椭圆轨道Ⅱ运动（忽略其他天体的影响）。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅰ或轨道Ⅱ上绕火星稳定运行时机械能守恒 B．探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度 C．探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度大于其在轨道Ⅱ上P点的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上运行的周期小于其在轨道Ⅱ上运行的周期 （多选）7．如图（a），甲、乙两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化如图（b）所示，仅考虑地球对两卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙周期之比为5：3 B．甲、乙轨道半径之比为1：4 C．甲、乙线速度之比为2：1 D．甲、乙加速度之比为2：1 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 2．“嫦娥六号”是我国自主研发的月球探测器，根据你对三个宇宙速度的理解，“嫦娥六号”的发射速度将最接近（　　） A．6.2km/s B．10.9km/s C．12.4km/s D．17.6km/s 3．数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。如果航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体），着陆后用测力计测得质量为m的砝码重力为F，已知该星球的半径为R，引力常量为G。忽略星球自转的影响，由此推算的结果正确的是（　　） A．航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为 B．该星球的第一宇宙速度为 C．该星球表面的重力加速度为 D．该星球的质量为 4．假设宇宙中有两颗行星A和B，半径分别为RA和RB，RB＝3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示。若不考虑其它星体对A、B的影响及A、B之间的作用力，则行星A、B第一宇宙速度之比为（　　） A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：1 5．如图所示，一探测器绕类地行星Gliese12b做周期为T的椭圆运动，P、Q是轨道上两点，P点距行星球心最近且距离为a、Q点距行星球心最远且距离为b。已知引力常量为G，不考虑其他星球对探测器的引力作用，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在P、Q两点的速度之比为 B．该行星的质量为 C．由题目的信息可求出该行星的第一宇宙速度 D．若知道行星表面的重力加速度，则可准确求出在较高的h处由静止释放的小球落地的时间 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 （多选）7．2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　） A．角速度大于地球自转的角速度 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．线速度等于地球表面物体随地球自转的线速度 D．向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 模型三 卫星变轨和对接 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．我国于北京时间2025年10月31日23时44分发射了神舟二十一号载人飞船，并与空间站完美对接。如图所示，对接前神舟二十一号在轨道1上做圆周运动，空间站在轨道3上做圆周运动，神舟二十一号通过转移轨道2与空间站实现对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号的发射速度大于11.2km/s B．若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后也能实现对接 C．在轨道1上运行时，相等时间内神舟二十一号与地心连线扫过的面积等于空间站与地心连线扫过的面积 D．神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大 2．我国计划将一颗名为“巡天号”的观测卫星送入火星上空的椭圆轨道，假设“巡天号“椭回轨道的半长轴为a，运行的周期为T，火星半径为R，引力常量为G，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“巡天号”的速度应大于16.7km/s B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“巡天号”在轨道上向前喷射气体，则可以提升轨道高度 3．2020年10月1日，国家航天局发布“天问一号”火星探测器在深空自拍的飞行图像，如图所示。已知地球的质量约为火星质量的10倍，半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/s B．火星与地球的第一宇宙速度之比为1： C．“天问一号”探测器在火星附近制动减速时需要向速度的反方向喷气 D．物体分别在火星和地球表面附近做自由落体运动，下落相同高度用时之比为： 4．2025年5月29日凌晨，长征三号乙运载火箭成功将天问二号探测器送入地球至小行星2016HO3转移轨道，开启了我国首次对小行星探测与采样返回之旅。2016HO3不仅像其他小行星那样环绕太阳运行，也同时在一个非常遥远的轨道上环绕地球运行，它围绕太阳运行一周的时间非常接近地球的公转周期。如图为天问二号发射时的简易图，它经圆轨道1和椭圆轨道2后进入转移轨道，P是三个轨道的交点，下列说法正确的是（　　） A．2016HO3绕太阳的公转周期约为24小时 B．天问二号的发射速度大于16.7km/s C．天问二号经过轨道1和轨道2上的P点时，加速度相同 D．天问二号在轨道2时的周期小于在轨道1时的周期 5．天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船从1号圆轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，最后飞船与空间站组合体完成交会对接。下列说法正确的是（　　） A．飞船在1号轨道上运行时的速率可能为8.0km/s B．飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．飞船在1号轨道上的速度大于3号轨道上的速度 D．飞船在1号和3号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积相等 （多选）6．2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 （多选）7．2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射升空，经过50多天的时间圆满的完成了各项预定任务。嫦娥六号在进入月球轨道后经过几次变轨，从大椭圆环月轨道1（近月点高度为200km、远月点高度为8600km）经椭圆停泊轨道2（近月点高度为200km、远月点高度为2200km、周期为4小时）最终进入圆形环月轨道3（离月球表面高度200km）。已知嫦娥六号在1轨道上运行时1min内与月球连线扫过的面积为S1，在2轨道上运行时1min内与月球连线扫过的面积为S2，月球半径约为1700km。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号在近月点通过加速实现变轨 B．嫦娥六号在2轨道上远月点的加速度约为在1轨道上远月点加速度的7倍 C．S1＝S2 D．嫦娥六号在3轨道上运行的周期约为2h 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．已知地球的自转周期为T0，地球同步卫星的轨道半径为R。某卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，其轨道平面与赤道平面不共面。则该卫星两次经过赤道上某建筑物正上方的时间间隔可能为（　　） A． B． C． D．T0 2．2025年9月，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将试验三十号卫星01星、02星送入预定轨道。两颗卫星在赤道正上方距地面高度为h的轨道上一前一后自西向东做圆周运动。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，地球静止卫星的轨道距地表H（H＞h），图中的P点是地球赤道上的观测站，下列说法正确的是（　　） A．02星与地球静止轨道卫星的周期之比为 B．01星、02星绕地运行的动能相同 C．02星的角速度大于P处物体的角速度 D．02星点火加速可追上01星 3．如图所示，航天器A与空间站B在同一平面内沿不同轨道顺时针方向稳定运行。某时刻二者的连线与航天器A的轨道相切，已知A、B的运行半径分别为r、2r，运行周期分别是TA、TB，则（　　） A．此刻A、B分别与地心的连线间的夹角为30° B．A所受万有引力比B大 C．B的运行周期TB是A的运行周期TA的4倍 D．经过的时间两卫星第二次距离最近 4．如图所示，a、b两颗卫星均沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，若卫星a做圆周运动的周期为T0，则a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为（　　） A．T0 B．T0 C．T0 D．T0 5．某地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）与太阳、地球大致在同一条线上，如果地球位于太阳与该行星之间，称为行星“冲日”现象。2025年1月16日发生了火星冲日，此时火星距离地球最近，使得火星在夜空中显得格外明亮，并且整夜可见。已知火星与地球的公转方向相同，公转轨道在同一平面内；火星和地球绕太阳公转轨道半径分别为2.28×108km和1.5×108km，通过估算预测下一次火星冲日发生在（　　） A．2026年9～11月 B．2027年2～4月 C．2027年9～11月 D．2028年2～4月 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 （多选）7．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．中国空间站核心舱组合体的运行轨道简化为如图所示的绕地球O运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上，其中A为近地点，B为远地点。假设每隔Δt时间记录一次核心舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，C、D、E在同一条直线上且CD⊥AB，AB的距离为2a，CD的距离为2b，椭圆的面积公式为S＝πab，则核心舱从C运动到B所需的最短时间为（　　） A． B． C． D．12Δt 2．北京时间2025年12月26日，长征八号甲运载火箭在海南商业航天发射场成功点火升空。火箭先进入近地点离地高度为h1，远地点离地高度为h2的椭圆轨道，运行稳定后在远地点点火加速进入圆轨道。地球半径为R，下列说法正确的是（　　） A．火箭从近地点到远地点的过程中，机械能不断减少 B．火箭在椭圆轨道近地点的速度大于圆轨道的运行速度 C．火箭在近地点的加速度与远地点的加速度之比为： D．火箭在椭圆轨道的运行周期大于圆轨道的运行周期 3．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，地球同步卫星与中国空间站均绕地球做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的线速度小于空间站的线速度 B．同步卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度 C．同步卫星的周期小于空间站的周期 D．空间站中的航天员不受地球引力的作用 5．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 6．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，在轨正常运行时的运动可视为匀速圆周运动。已知空间站轨道高度约在400km至450km之间，地球半径R约为6400km，地球同步卫星的轨道半径约为6.6R。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨正常运行时，处于完全失重状态，不受地球的引力作用 B．飞船在轨正常运行时，线速度小于第一宇宙速度 C．飞船在轨正常运行时的周期大于地球自转周期 D．在飞船升空远离地心的过程中，地球对飞船的引力做正功 7．具有质量的两物体之间存在万有引力的作用，类比电场可知在具有质量的物体周围存在着由该物体产生的“引力场”。仿照电场强度E和电势φ的定义，也可以定义对应的物理量：“引力场强度”和“引力势”。下列说法正确的是（　　） A．“引力势”和电势的国际单位均为伏特（V） B．若某物体在A点的引力势能大于在B点的引力势能，则A点的“引力势”一定大于B点的“引力势” C．地球周围空间不同位置的“引力场强度”均相同 D．对于“地—月”空间的引力场，存在一个“引力场强度”为0的位置，且该位置“引力势”最低 8．太空电梯的科幻设想是用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资（如图所示）。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球北极表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。已知太空电梯停在距地面3R的站点，下列说法正确的是（　　） A．太空电梯绕地球做匀速圆周运动的线速度大于同步空间站的线速度 B．太空电梯绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大于同步空间站的向心加速度 C．质量为m的货物对太空电梯的压力大小为 D．地球的平均密度为 二．多选题（共3小题） （多选）9．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的质量越大，惯性越大 （多选）10．如图所示，在某行星赤道上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离L处有一小物体与圆盘保持相对静止。已知能使小物体与圆盘保持相对静止的最大角速度为ω，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．这个行星的密度ρ B．这个行星的第一宇宙速度v1＝2ω C．这个行星的静止卫星的周期是 D．距行星表面高度为2R处的重力加速度为 (多选）11．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射成功，入轨后与天和核心舱完成自主快速交会对接，张陆、武飞、张洪章3名航天员进入天和核心舱。对接过程如图所示，天和核心舱运行在圆轨道Ⅲ上，轨道半径为r3；神舟二十一号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道运动到B点与天和核心舱对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 B．神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上运动时经A、B两点的速率之比vA：vB＝r3：r1 C．神舟二十一号飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 D．正常运行时，神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度 三．解答题（共4小题） 12．2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g，已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 13．2020年7月天问一号成功发射，开启了我国的火星探测之旅。 （1）火星沿椭圆轨道绕太阳公转的周期为1.88年。 ①以太阳为参考系，若将火星运动速度大小记为v、加速度大小记为a，则在火星靠近太阳的过程中　 　 。 A.v和a均逐渐减小 B.v逐渐增大，a均逐渐减小 C.v和a均逐渐增大 D.v逐渐减小，a均逐渐增大 ②已知日地之间的平均距离为1.0AU（1AU≈1.5×108km），则火星轨道的半长轴约为　 　 AU。（答案保留2位有效数字） （2）质量为m的天问一号在距火星表面高度为h处绕火星做匀速圆周运动。已知火星质量为M、半径为R，引力常量为G，则火星对天问一号的万有引力大小为　 　 。 A.G B.G C.G D.G （3）天问一号绕火星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，则天问一号绕火星运行的线速度大小为　 　 ，向心加速度大小为　 　 。 14．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。 （1）火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度。 （2）若测得天舟九号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度（用R、h、G、t表示结果）。 15．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双星多星及宇航航行模型 模型一 人造卫星 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 【例题精讲】 1．北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统。该系统由三种不同轨道的卫星组成，分别是地球静止轨道卫星（离地面约36000km）、倾斜同步轨道卫星（与赤道平面倾角约为55°）和中圆轨道卫星（离地面高度约21500km）。下列说法正确的是（　　） A．地球静止轨道卫星的角速度大于倾斜同步轨道卫星的角速度 B．地球静止轨道卫星的角速度小于倾斜同步轨道卫星的角速度 C．中圆轨道卫星的周期大于地球静止轨道卫星的周期 D．中圆轨道卫星的周期小于地球静止轨道卫星的周期 【答案】D 【解答】解：AB.根据mrω2，地球静止轨道卫星的轨道半径等于倾斜同步轨道卫星的轨道半径，则地球静止轨道卫星的角速度等于倾斜同步轨道卫星的角速度，故AB错误； CD.根据开普勒第三定律，中圆轨道卫星的轨道半径小于地球静止轨道卫星的轨道半径，可知中圆轨道卫星的周期小于地球静止轨道卫星的周期，故C错误，D正确。 故选：D。 2．2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 【答案】A 【解答】解：A.第一宇宙毒素是最大的环绕速度，即“贴地飞行”环绕速度，根据“高轨低速”的推论，天链二号05星速度小于第一宇宙速度，故A正确； B.若天链二号05星位于地球表面，万有引力提供的加速度约为9.8m/s2；在环绕轨道上，天链二号05星所受万有引力更小，因此向心加速度一定小于9.8m/s2，故B错误； C.根据“高轨大周期”的推论，天链二号05星的周期大于近地卫星的周期，故C错误； D.天链二号05星属于地球静止轨道卫星，其角速度与地球自传角速度相等，故D错误。 故选：A。 3．目前在太空中为我们提供服务的北斗三号系统是由30颗卫星组成的。如图（a），以地球球心为坐标原点，以某一颗北斗卫星所在轨道平面建立xOy平面直角坐标系，将卫星绕地球运动视为逆时针的匀速圆周运动，其运动轨迹与x轴正半轴交点为K。现从K点开始计时，将卫星所受地球的万有引力F沿x轴、y轴两个方向进行正交分解，得到两个分力Fx，Fy，其中Fy随卫星运动时间t变化图像如图（b）所示，已知卫星质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转，则（　　） A．当时， B．该卫星距地面高度是地球半径的4倍 C．该卫星的轨道半径为 D．地球的质量为 【答案】C 【解答】解：A、由图（b）知，Fy的最大值为，结合数学知识可得，当时，Fysin，故A错误； B、设该卫星的轨道半径为r，地球半径为R，则有F＝G 在地球表面，根据万有引力等于重力有 m′g＝G 联立可得r＝4R 则该卫星距地面高度h＝r﹣R＝4R﹣R＝3R，故B错误； C、由图（b）可知，该卫星的运行周期T＝2t0。卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 Fmr 解得，故C正确； D、根据m′g＝G得 M 结合，r＝4R，解得M，故D错误。 故选：C。 4．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的速度越大，惯性越大 【答案】B 【解答】解：A．4时58分是时间轴上的一个点，代表一个瞬时，指时刻，故A错误； B．航天员在天宫空间站重力提供向心力，处于失重状态，故B正确； C．当研究飞船绕地球运动的轨道时，它的大小和形状能忽略，能将神舟二十一号看作质点，故C错误； D．神舟二十一号的速度越大，惯性不变，因为惯性仅由质量决定，故D错误。 故选：B。 5．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运行到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，已知图乙中两轨道相切于M点，则天问一号（　　） A．发射速度大于16.7km/s B．在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度小于经过Q点的加速度 C．从调相轨道变轨到停泊轨道，运行周期变小 D．从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火加速 【答案】C 【解答】解：A、因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B、根据牛顿第二定律可得 可得 由于Q到太阳的距离大于P点到太阳的距离，可知在地火转移轨道运行时，经过P点的加速度大于经过Q点的加速度，故B错误； C、根据开普勒第三定律，环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D、卫星从M点变轨时，要减小速度，才能做向心运动进入停泊轨道，即从调相轨道变轨到停泊轨道，需要在M点点火减速，故D错误。 故选：C。 （多选）6．“天问一号”是我国首个自主研发的火星探测器，于2020年7月23日发射，成功实现对火星的环绕、着陆和巡视探测。如图，“天问一号”火星探测器被火星捕获后，进入椭圆停泊轨道Ⅰ，为着陆火星做准备，在P点（椭圆轨道的近火点）再次制动后进入椭圆轨道Ⅱ运动（忽略其他天体的影响）。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅰ或轨道Ⅱ上绕火星稳定运行时机械能守恒 B．探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度 C．探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度大于其在轨道Ⅱ上P点的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上运行的周期小于其在轨道Ⅱ上运行的周期 【答案】AB 【解答】解：A．探测器在轨道Ⅰ或轨道Ⅱ上绕火星稳定运行时，只有万有引力作用做功，机械能守恒，故A正确； B．探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，根据变轨原理可知需在P点点火减速，所以探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度，故B正确； C．由万有引力提供向心力以及牛顿第二定律可得，可知探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度等于其在轨道Ⅱ上P点的加速度，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅰ上运行的周期大于其在轨道Ⅱ上运行的周期，故D错误。 故选：AB。 （多选）7．如图（a），甲、乙两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化如图（b）所示，仅考虑地球对两卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙周期之比为5：3 B．甲、乙轨道半径之比为1：4 C．甲、乙线速度之比为2：1 D．甲、乙加速度之比为2：1 【答案】BC 【解答】解：AB.设卫星甲的轨道半径为r1，卫星乙的轨道半径为r2，由图可得r1+r2＝10r，r2﹣r1＝6r，可得r1＝2r，r2＝8r，可知甲、乙轨道半径之比为1：4，根据开普勒第三定律亮，得甲、乙周期之比 T1：T2＝1：8，故A错误，B正确； CD.根据ma，可得v，a，代入数据解得，甲、乙线速度大小之比为2：1，甲、乙加速度大小之比为16：1，故C正确，D错误。 故选：BC。 模型二 发射速度 一、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 【例题精讲】 1．科学家发现了一颗宜居行星，它表面的重力加速度与地球的几乎相等，它的第一宇宙速度是地球的k倍，则这颗宜居行星的质量约为地球质量的（　　） A．k4倍 B．k3倍 C．k2倍 D．k倍 【答案】A 【解答】解：由万有引力提供向心力以及万有引力近似等于重力可得 联立解得 可得 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．“嫦娥六号”是我国自主研发的月球探测器，根据你对三个宇宙速度的理解，“嫦娥六号”的发射速度将最接近（　　） A．6.2km/s B．10.9km/s C．12.4km/s D．17.6km/s 【答案】B 【解答】解：三个宇宙速度的定义如下：第一宇宙速度（环绕速度）约为7.9 km/s，是物体绕地球做圆周运动的最小速度；第二宇宙速度（逃逸速度）约为11.2 km/s，是物体脱离地球引力束缚的最小速度；第三宇宙速度约为16.7 km/s，是物体脱离太阳系的最小速度。“嫦娥六号”为月球探测器，需进入地月转移轨道，其发射速度需大于第一宇宙速度，但小于第二宇宙速度，B项数值符合，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。如果航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体），着陆后用测力计测得质量为m的砝码重力为F，已知该星球的半径为R，引力常量为G。忽略星球自转的影响，由此推算的结果正确的是（　　） A．航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为 B．该星球的第一宇宙速度为 C．该星球表面的重力加速度为 D．该星球的质量为 【答案】B 【解答】解：ABD、忽略星球自转的影响时，有 航天器做匀速圆周运动，有 联立解得，， 故AD错误，B正确； C、由重力与质量的关系可知 故C错误。 故选：B。 4．假设宇宙中有两颗行星A和B，半径分别为RA和RB，RB＝3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示。若不考虑其它星体对A、B的影响及A、B之间的作用力，则行星A、B第一宇宙速度之比为（　　） A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：1 【答案】C 【解答】解：根据万有引力提供向心力有 解得行星质量 由图可知A、B的质量分别为， 根据万有引力提供向心力，第一宇宙速度满足 即 解得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．如图所示，一探测器绕类地行星Gliese12b做周期为T的椭圆运动，P、Q是轨道上两点，P点距行星球心最近且距离为a、Q点距行星球心最远且距离为b。已知引力常量为G，不考虑其他星球对探测器的引力作用，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在P、Q两点的速度之比为 B．该行星的质量为 C．由题目的信息可求出该行星的第一宇宙速度 D．若知道行星表面的重力加速度，则可准确求出在较高的h处由静止释放的小球落地的时间 【答案】B 【解答】解：A、探测器绕行星沿椭圆轨道运动，其半长轴表达式为。依据开普勒第二定律（或角动量守恒定律），探测器在近日点P与远日点Q的速率满足vPa＝vQb，解得速度之比为，故A错误； B、根据开普勒第三定律，将半长轴表达式代入，解得该行星的质量为，故B正确； C、行星的第一宇宙速度表达式为，其中r为行星半径。题目给出的a是探测器距行星球心的最近距离，并非行星半径，因此无法求出第一宇宙速度，故C错误； D、小球在距行星表面较高处自由下落，下落过程中万有引力（即重力）随距离变化，加速度不为常量，故无法直接运用匀变速直线运动公式准确计算落地时间t，故D错误。 故选：B。 （多选）6．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空。如图所示，Ⅰ、Ⅱ为天舟九号在变轨过程中两个不同的椭圆轨道，两轨道相切于P点，Q为轨道Ⅱ的远地点，M为轨道Ⅱ上的点，PM和MQ的弧长相等，下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在轨道Ⅱ上从P到M和从M到Q的时间相同 B．天舟九号在轨道Ⅰ上经过P时速度小于地球第一宇宙速度 C．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的速度相同 D．天舟九号在轨道Ⅰ和Ⅱ上经过P点时的加速度相同 【答案】BD 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，天舟九号在轨道Ⅱ上从P到Q的速度逐渐减小，则从P到M的时间小于M到Q的时间，故A错误； B.由图可知，P到地面有一定高度，且在轨道Ⅰ上经过P点做近心运动，根据圆轨道，可知天舟九号在过P时速度小于近地卫星的绕行速度（第一宇宙速度），故B正确； C.天舟九号在轨道Ⅰ上经过P点变轨进入轨道Ⅱ时，要点火加速，则天舟九号在轨道Ⅰ比Ⅱ上经过P点时的速度小，故C错误； D.根据万有引力定律和牛顿第二定律，即ma，可知天舟九号在轨道Ⅰ和上经过P点时的加速度相同，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　） A．角速度大于地球自转的角速度 B．线速度大于地球的第一宇宙速度 C．线速度等于地球表面物体随地球自转的线速度 D．向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 【答案】AD 【解答】解：ACD.卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得，可得，，a，可知“乾坤一号”的角速度、线速度和向心加速度均大于同步卫星的角速度、线速度和向心加速度；同步卫星的角速度等于地球自转角速度，根据v＝ωr，a＝ω2r，则同步卫星的线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，同步卫星的向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度，则“乾坤一号”的角速度大于地球自转的角速度，线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度，故AD正确，C错误； B.“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星，则线速度等于地球的第一宇宙速度，故B错误。 故选：AD。 模型三 卫星变轨和对接 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【例题精讲】 1．我国于北京时间2025年10月31日23时44分发射了神舟二十一号载人飞船，并与空间站完美对接。如图所示，对接前神舟二十一号在轨道1上做圆周运动，空间站在轨道3上做圆周运动，神舟二十一号通过转移轨道2与空间站实现对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号的发射速度大于11.2km/s B．若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后也能实现对接 C．在轨道1上运行时，相等时间内神舟二十一号与地心连线扫过的面积等于空间站与地心连线扫过的面积 D．神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大 【答案】D 【解答】解：A、11.2km/s是卫星挣脱地球引力的发射速度，由题意可知，神舟二十一号是绕地球运动的卫星，没有脱离地球束缚，所以其发射速度应大于第一宇宙速度7.9km/s，小于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误； B、若对接前神舟二十一号与空间站在同一轨道上运行，神舟二十一号加速后，万有引力将不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，它将做离心运动，进入更高的轨道。在更高轨道上，其周期变长，角速度变小，反而会离前方的空间站越来越远，不能实现对接，故B错误； C、根据开普勒第二定律可知，在同一个轨道上运行的卫星与地心连线在相同时间扫过的面积相等，所以神舟二十一号与地心连线、空间站与地心连线在相等时间扫过面积不相等，故C错误。 D、对接前，神舟二十一号在较低的轨道1上运行。对接后，与空间站一起在较高的轨道3上运行，根据开普勒第三定律有，因r1＜r3，故T1＜T3，即神舟二十一号与空间站对接后，神舟二十一号的环绕周期增大，故D正确。 故选：D。 2．我国计划将一颗名为“巡天号”的观测卫星送入火星上空的椭圆轨道，假设“巡天号“椭回轨道的半长轴为a，运行的周期为T，火星半径为R，引力常量为G，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“巡天号”的速度应大于16.7km/s B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“巡天号”在轨道上向前喷射气体，则可以提升轨道高度 【答案】C 【解答】解：A.“巡天号”绕火星运动，还在太阳系内，因此发射速度在11.2km/s～16.7km/s之间，故A错误； C.设贴近火星表面的卫星的运行周期为T0，火星的质量为M，由开普勒第三定律可得，根据万有引力定律可得，平均密度，联立可得，故C正确； B.在火星上发射卫星的最小发射速度就是最大的环绕速度，即第一宇宙速度，可知，结合C项可得，故B错误； D.向前喷射气体会使卫星减速，导致其进入更低轨道（轨道半径减小），并不能提升轨道高度，故D错误。 故选：C。 3．2020年10月1日，国家航天局发布“天问一号”火星探测器在深空自拍的飞行图像，如图所示。已知地球的质量约为火星质量的10倍，半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/s B．火星与地球的第一宇宙速度之比为1： C．“天问一号”探测器在火星附近制动减速时需要向速度的反方向喷气 D．物体分别在火星和地球表面附近做自由落体运动，下落相同高度用时之比为： 【答案】B 【解答】解：A、要使探测器从地球表面完全飞离地球，所需发射速度应不小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误； B、由万有引力提供向心力有 可得第一宇宙速度表达式为 则火星与地球的第一宇宙速度之比为v火：v地：1：，故B正确； C、探测器在靠近火星时若要减速进入火星轨道，需要向原有速度方向喷气制动，故C错误； D、在行星表面附近，根据万有引力等于重力有 根据自由落体运动的规律有 解得： 可得物体在火星和地球表面下落相同高度用时之比为，故D错误。 故选：B。 4．2025年5月29日凌晨，长征三号乙运载火箭成功将天问二号探测器送入地球至小行星2016HO3转移轨道，开启了我国首次对小行星探测与采样返回之旅。2016HO3不仅像其他小行星那样环绕太阳运行，也同时在一个非常遥远的轨道上环绕地球运行，它围绕太阳运行一周的时间非常接近地球的公转周期。如图为天问二号发射时的简易图，它经圆轨道1和椭圆轨道2后进入转移轨道，P是三个轨道的交点，下列说法正确的是（　　） A．2016HO3绕太阳的公转周期约为24小时 B．天问二号的发射速度大于16.7km/s C．天问二号经过轨道1和轨道2上的P点时，加速度相同 D．天问二号在轨道2时的周期小于在轨道1时的周期 【答案】C 【解答】解：A、2016HO3围绕太阳运行一周的时间非常接近地球的公转周期，约为1年，不是24小时，故A错误； B、天问二号没有脱离太阳的吸引，其发射速度必须大于11.2km/s，小于16.7kms，故B错误； C、根据牛顿第二定律可得，解得，可知天问二号在两轨道上经过P点时的加速度相同，故C正确； D、根据开普勒第三定律，轨道2的半长轴大于轨道1的半长轴，则天问二号在轨道2时的周期大于在轨道1时的周期，故D错误。 故选：C。 5．天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船从1号圆轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，最后飞船与空间站组合体完成交会对接。下列说法正确的是（　　） A．飞船在1号轨道上运行时的速率可能为8.0km/s B．飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．飞船在1号轨道上的速度大于3号轨道上的速度 D．飞船在1号和3号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积相等 【答案】C 【解答】解：飞船绕地球做圆周运动时，由万有引力充当向心力，满足，由此解得飞船的环绕速率。 A、第一宇宙速度v≈7.9km/s是卫星环绕地球的最大速度，因此飞船在1号轨道上的速率不可能达到8.0km/s，故A错误； B、飞船从半径较小的1号轨道变轨至半长轴更大的2号转移轨道，需要点火加速以实现离心运动，故B错误； C、由于1号轨道的半径r1小于3号轨道的半径r3，根据可知，轨道半径越小运行速率越大，因此飞船在1号轨道上的速度大于在3号轨道上的速度，故C正确； D、根据开普勒第二定律，飞船与地心连线在单位时间内扫过的面积为，该面积速度与轨道半径r有关。由于1号与3号轨道的半径不同，因此它们扫过的面积速度不相等，故D错误。 故选：C。 （多选）6．2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 【答案】CD 【解答】解：A、人造地球卫星的发射速度需大于或等于第一宇宙速度，但应小于第二宇宙速度，即满足v≥7.9km/s且v＜11.2km/s，故A错误； B、由于轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的周期，故B错误； C、轨道Ⅲ相对于轨道Ⅱ是高轨道，从低轨道变轨至高轨道需要在切点位置加速，因此卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，故C正确； D、根据牛顿第二定律有，解得：，可知卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度，故D正确。 故选：CD。 （多选）7．2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射升空，经过50多天的时间圆满的完成了各项预定任务。嫦娥六号在进入月球轨道后经过几次变轨，从大椭圆环月轨道1（近月点高度为200km、远月点高度为8600km）经椭圆停泊轨道2（近月点高度为200km、远月点高度为2200km、周期为4小时）最终进入圆形环月轨道3（离月球表面高度200km）。已知嫦娥六号在1轨道上运行时1min内与月球连线扫过的面积为S1，在2轨道上运行时1min内与月球连线扫过的面积为S2，月球半径约为1700km。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号在近月点通过加速实现变轨 B．嫦娥六号在2轨道上远月点的加速度约为在1轨道上远月点加速度的7倍 C．S1＝S2 D．嫦娥六号在3轨道上运行的周期约为2h 【答案】BD 【解答】解：A、嫦娥六号轨道逐渐降低，做近心运动，需通过减速实现轨道变化，故A错误； B、计算得2轨道远月点距月球球心r2＝3900km，1轨道远月点距月球球心r1＝10300km。由，得加速度比值，解得：，故B正确； C、根据开普勒第二定律，同一轨道相同时间扫过面积相等，不同轨道扫过面积不等，即S1≠S2，故C错误； D、2轨道半长轴a2＝2900km，3轨道半径r3＝1900km。由开普勒第三定律，解得：T3＝2.12h，故D正确。 故选：BD。 模型四 天体中的追击问题 一、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 二、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【例题精讲】 1．已知地球的自转周期为T0，地球同步卫星的轨道半径为R。某卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，其轨道平面与赤道平面不共面。则该卫星两次经过赤道上某建筑物正上方的时间间隔可能为（　　） A． B． C． D．T0 【答案】D 【解答】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，运行周期为T，卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有可得，地球同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，为T0，该低轨道人造卫星的运行轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一，可得， 设该卫星两次在同一城市正上方出现的时间间隔为t，可得，解得（n＝1，2，3，…）， 当 n＝7，t＝T0，故ABC错误，D正确。 故选：D。 2．2025年9月，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将试验三十号卫星01星、02星送入预定轨道。两颗卫星在赤道正上方距地面高度为h的轨道上一前一后自西向东做圆周运动。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，地球静止卫星的轨道距地表H（H＞h），图中的P点是地球赤道上的观测站，下列说法正确的是（　　） A．02星与地球静止轨道卫星的周期之比为 B．01星、02星绕地运行的动能相同 C．02星的角速度大于P处物体的角速度 D．02星点火加速可追上01星 【答案】C 【解答】解：A．根据开普勒第三定律，有，则02星与地球静止轨道卫星的周期之比为，故A错误； B．01星、02星绕地运行的轨道半径相同，则线速度大小相等，只要两星的质量相同，则01星、02星绕地运行的动能相同，但题中不知道两卫星质量关系，故不能判断动能大小，故B错误； C．根据mrω2，可知02星的角速度大于同步卫星角速度，而P处物体的角速度等于同步卫星角速度，故02星的角速度大于P处物体的角速度，故C正确； D．02星点火加速会做离心运动，进入更高轨道，周期变大，无法追上同轨道的01星，故D错误。 故选：C。 3．如图所示，航天器A与空间站B在同一平面内沿不同轨道顺时针方向稳定运行。某时刻二者的连线与航天器A的轨道相切，已知A、B的运行半径分别为r、2r，运行周期分别是TA、TB，则（　　） A．此刻A、B分别与地心的连线间的夹角为30° B．A所受万有引力比B大 C．B的运行周期TB是A的运行周期TA的4倍 D．经过的时间两卫星第二次距离最近 【答案】D 【解答】解：A.设图示时刻两卫星与地球球心的连线夹角为θ，则，得，故A错误； B.根据万有引力定律有，因二者的质量关系未知，所以无法比较万有引力的大小，故B错误； C.由开普勒第三定律有，得，即空间站B的周期是航天器A的倍，故C错误； D.设由图示时刻经时间t两卫星第二次相距最近，则，得，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，a、b两颗卫星均沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，若卫星a做圆周运动的周期为T0，则a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为（　　） A．T0 B．T0 C．T0 D．T0 【答案】D 【解答】解：设卫星做圆周运动的半径为r，由万有引力提供向心力可得，解得：。 则单位时间内卫星与地心连线扫过的面积为。 a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，则a、b两卫星做圆周运动的半径之比为ra：rb＝4：9，由此可得。 设a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为t，则有，解得：。故ABC错误，D正确。 故选：D。 5．某地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）与太阳、地球大致在同一条线上，如果地球位于太阳与该行星之间，称为行星“冲日”现象。2025年1月16日发生了火星冲日，此时火星距离地球最近，使得火星在夜空中显得格外明亮，并且整夜可见。已知火星与地球的公转方向相同，公转轨道在同一平面内；火星和地球绕太阳公转轨道半径分别为2.28×108km和1.5×108km，通过估算预测下一次火星冲日发生在（　　） A．2026年9～11月 B．2027年2～4月 C．2027年9～11月 D．2028年2～4月 【答案】B 【解答】解：根据开普勒第三定律，火星与地球的公转周期之比为；代入数据；取地球公转周期TE＝1年，解得火星公转周期TM≈1.88年；设相邻两次火星冲日的时间间隔为S，由相对运动关系可知，代入数据解得S≈2.14年；由于2.14年约为2年零2个月，从2025年1月16日算起，下一次火星冲日约发生在2027年3月，处于2027年2～4月区间，故ACD错误，B正确。 故选：B。 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 【答案】BCD 【解答】解：A．由于空间站和地球同步卫星的质量关系未知，则无法判断机同步卫星与中国空间站的机械能大小，故A错误； B．根据，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为，故B正确； C．若已知两者相距最近时的距离，即rB﹣rA为已知条件，根据mArA，mBrB，即可求出地球质量，故C正确； D．根据（）•t＝2π，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过t＝96分钟，故D正确。 故选：BCD。 （多选）7．如图所示，A、B两卫星绕地球沿顺时针方向做匀速圆周运动，A卫星对地球的张角为2α，B卫星对地球的张角为2θ，α＞θ，A卫星做圆周运动的周期为T，关于两卫星绕地球做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．A、B两卫星做圆周运动的半径之比为 B．A、B两卫星的线速度之比为 C．A、B两卫星的加速度之比为 D．A、B两卫星从第一次相距最近到第二次相距最近的时间间隔为T 【答案】BC 【解答】解：分析卫星在轨道的几何关系及运动规律如下： A、设地球半径为R，卫星轨道半径为r。根据几何关系可知，卫星对地球的张角的一半α满足：，解得：。同理，。故A、B两卫星做圆周运动的半径之比，故A错误； B、由万有引力提供向心力可得，。则线速度之比，故B正确； C、由万有引力提供向心力可得，。则加速度之比，故C正确； D、由于α＞θ，则rA＜rB，根据开普勒第三定律可知TA＜TB，即A的角速度更大。两卫星均沿顺时针方向运动，从第一次相距最近到第二次相距最近需满足（ωA﹣ωB）Δt＝2π。根据可知，，即。代入，解得：，故D错误。 故选：BC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．中国空间站核心舱组合体的运行轨道简化为如图所示的绕地球O运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上，其中A为近地点，B为远地点。假设每隔Δt时间记录一次核心舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，C、D、E在同一条直线上且CD⊥AB，AB的距离为2a，CD的距离为2b，椭圆的面积公式为S＝πab，则核心舱从C运动到B所需的最短时间为（　　） A． B． C． D．12Δt 【答案】B 【解答】解：设C点左侧第一个记录点位置为F，C点右侧一个记录点为G，如图所示： 根据开普勒第二定律可知，封闭图形AOF和FOG的面积相等，都等于 根据几何关系可知，封闭图形AOC的面积为 则封闭图形COG的面积为 所以核心舱从C运动到G的时间为 则核心舱从C运动到B所需的最短时间为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．北京时间2025年12月26日，长征八号甲运载火箭在海南商业航天发射场成功点火升空。火箭先进入近地点离地高度为h1，远地点离地高度为h2的椭圆轨道，运行稳定后在远地点点火加速进入圆轨道。地球半径为R，下列说法正确的是（　　） A．火箭从近地点到远地点的过程中，机械能不断减少 B．火箭在椭圆轨道近地点的速度大于圆轨道的运行速度 C．火箭在近地点的加速度与远地点的加速度之比为： D．火箭在椭圆轨道的运行周期大于圆轨道的运行周期 【答案】B 【解答】解：A．火箭从近地点到远地点的过程中，只有万有引力做功，机械能不变，故A错误； B．火箭在近地点对应的圆轨道要点火加速才能进入到椭圆轨道，所以火箭在椭圆轨道近地点的速度大于圆轨道的运行速度，故B正确； C．根据ma可知，火箭在近地点的加速度与远地点的加速度之比为（h2+R）2：（h1+R）2，故C错误； D．根据开普勒第三定律，火箭在椭圆轨道的半长轴小于圆轨道半径，可知火箭在椭圆轨道的运行周期小于圆轨道的运行周期，故D错误。 故选：B。 3．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力有，解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4．如图所示，地球同步卫星与中国空间站均绕地球做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．同步卫星的线速度小于空间站的线速度 B．同步卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度 C．同步卫星的周期小于空间站的周期 D．空间站中的航天员不受地球引力的作用 【答案】A 【解答】解：ABC、对同步卫星、空间站，分别受力分析，可得：，解得：，，， 由图可知同步卫星比空间站的轨道半径大，即r同＞r空，解得：v空＞v同，a空＞a同，T同＞T空，故A正确，BC错误； D、任意两个物体之间都存在引力，航天员在空间站中，也会受到地球万有引力的作用，故D错误。 故选：A。 5．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设星球质量为M，半径为R，物体质量为m。在赤道处，物体受万有引力和离心力影响，称重 其中 在两极处，无离心力，称重 则 解得 密度 由 得 解得 故ABC错误，D正确。 故选：D。 6．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，在轨正常运行时的运动可视为匀速圆周运动。已知空间站轨道高度约在400km至450km之间，地球半径R约为6400km，地球同步卫星的轨道半径约为6.6R。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨正常运行时，处于完全失重状态，不受地球的引力作用 B．飞船在轨正常运行时，线速度小于第一宇宙速度 C．飞船在轨正常运行时的周期大于地球自转周期 D．在飞船升空远离地心的过程中，地球对飞船的引力做正功 【答案】B 【解答】解：A．飞船在轨正常运行时，处于完全失重状态，受地球的引力提供向心力，故A错误； B．飞船在轨正常运行时，由于轨道半径大于地球半径可知，线速度小于第一宇宙速度（近地卫星的线速度），故B正确； C．根据开普勒第三定律，飞船在轨正常运行时的周期小于同步卫星的公转周期（地球自转周期），故C错误； D．在飞船升空远离地心的过程中，地球对飞船的引力做负功，故D错误。 故选：B。 7．具有质量的两物体之间存在万有引力的作用，类比电场可知在具有质量的物体周围存在着由该物体产生的“引力场”。仿照电场强度E和电势φ的定义，也可以定义对应的物理量：“引力场强度”和“引力势”。下列说法正确的是（　　） A．“引力势”和电势的国际单位均为伏特（V） B．若某物体在A点的引力势能大于在B点的引力势能，则A点的“引力势”一定大于B点的“引力势” C．地球周围空间不同位置的“引力场强度”均相同 D．对于“地—月”空间的引力场，存在一个“引力场强度”为0的位置，且该位置“引力势”最低 【答案】B 【解答】解：A.电势的定义为 单位是伏特，类比引力场，引力势定义应为 其单位为，而非伏特，故A错误； B.电势能Ep＝qφ，正电荷在电势高的地方电势能大；引力势能Ep＝﹣G，负号表示引力为吸引力，势能为负，且引力势φGG，若某物体在A点引力势能大于B点，则φGAφGB，即A点引力势更高，故B正确； C.地球周围引力场强度类比电场强度 定义为（r为径向单位向量）。 不同位置r不同，g的大小和方向均不同（如近地g大，远地g小；方向始终指向地心），故引力场不同，故C错误； D.地﹣月系统中，设地月质量分别为M、m，距离L，某点到地心距离x，则该点引力场强度为（方向沿地月连线） 令 g＝0，得 代入数据得（地月之间）。 引力势，可知，该平衡点是引力势的极大值点（势能最高），而非最低，故D错误。 故选：B。 8．太空电梯的科幻设想是用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资（如图所示）。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球北极表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。已知太空电梯停在距地面3R的站点，下列说法正确的是（　　） A．太空电梯绕地球做匀速圆周运动的线速度大于同步空间站的线速度 B．太空电梯绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大于同步空间站的向心加速度 C．质量为m的货物对太空电梯的压力大小为 D．地球的平均密度为 【答案】C 【解答】解：AB、根据电梯与地球同步转动，可知电梯与同步卫星的角速度相同，结合圆周运动特点，可得到二者的线速度满足：v＝ωr，加速度满足：a＝ω2r， 由图可知轨道半径满足：r梯＜r同，即电梯运动过程中的线速度和加速度大小都比卫星小，故AB错误； D、根据北极表面的重力加速度，可得：，解得地球的质量为：，结合球体体积公式：，可得到地球的平均密度为：，解得：，故D错误； C、根据货物圆周运动的角速度、轨道半径，可得到其需要的向心力为：， 对货物受力分析，可得：，即其受到的支持力大小为：，结合相互作用力特点，可得到货物对电梯的压力大小与支持力等大，故C正确。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．2025年11月1日4时58分，神舟二十一号航天员乘组顺利进驻天宫空间站。下列说法正确的是（　　） A．4时58分是时间间隔 B．航天员在天宫空间站中处于失重状态 C．神舟二十一号一定不可看作质点 D．神舟二十一号的质量越大，惯性越大 【答案】BD 【解答】解：A、“4时58分”在时间轴上用一个点表示，是时刻，故A错误； B、航天员在天宫空间站中受到重力完全提供向心力，处于失重状态，故B正确； C、神舟二十一号穿越大气层过程中，神舟二十一号的大小和形状可以忽略，所以神舟二十一号穿越大气层过程可看作质点，故C错误； D、惯性的大小和质量有关，神舟二十一号的质量越大，惯性越大，故D正确。 故选：BD。 （多选）10．如图所示，在某行星赤道上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离L处有一小物体与圆盘保持相对静止。已知能使小物体与圆盘保持相对静止的最大角速度为ω，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．这个行星的密度ρ B．这个行星的第一宇宙速度v1＝2ω C．这个行星的静止卫星的周期是 D．距行星表面高度为2R处的重力加速度为 【答案】AB 【解答】解：A.物体在圆盘上受到重力、圆盘的支持力和摩擦力，合力提供向心加速度；可知当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律μmgcos30°﹣mgsin30°＝mω2L，可得，绕该行星表面做匀速圆周运动的卫星受到的万有引力提供向心力，可得这个行星的质量，得M，则密度为，解得ρ，故A正确； B.根据万有引力提供向心力，结合，以及g＝4ω2L，联立可得这个行星的第一宇宙速度，解得v1，故B正确； C.不知道静止卫星的高度，也不知道该行星的自转周期，所以不能求出该行星静止卫星的周期，故C错误； D.设离行星表面距离为h＝2R的地方的重力加速度为g'，对于高为h的位置，根据万有引力近似等于重力有，对于行星表面，根据万有引力近似等于重力有，联立可得g'，故D错误。 故选：AB。 (多选）11．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射成功，入轨后与天和核心舱完成自主快速交会对接，张陆、武飞、张洪章3名航天员进入天和核心舱。对接过程如图所示，天和核心舱运行在圆轨道Ⅲ上，轨道半径为r3；神舟二十一号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道运动到B点与天和核心舱对接。下列说法正确的是（　　） A．神舟二十一号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 B．神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上运动时经A、B两点的速率之比vA：vB＝r3：r1 C．神舟二十一号飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 D．正常运行时，神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度 【答案】BC 【解答】解：A.根据开普勒第三定律，神舟二十一号飞船在轨道Ⅰ上运动轨道半径小于天和核心舱沿轨道Ⅲ的轨道半径，故神舟二十一号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故A错误； B.根据开普勒第二定律，可得神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上运动时经A、B两点的速率之比vA：vB＝r3：r1，故B正确； C.根据开普勒第三定律得，又，联立解得，故C正确； D.根据，得，可知正常运行时，神舟二十一号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度，故D错误。 故选：BC。 三．解答题（共4小题） 12．2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g，已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 【答案】（1）月球表面的重力为mg； （2）月球的质量M为。 【解答】解：（1）月壤质量为m，测得其在月球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律，则有F＝mg （2）在月球表面有，F＝mg 代入数据得 答：（1）月球表面的重力为mg； （2）月球的质量M为。 13．2020年7月天问一号成功发射，开启了我国的火星探测之旅。 （1）火星沿椭圆轨道绕太阳公转的周期为1.88年。 ①以太阳为参考系，若将火星运动速度大小记为v、加速度大小记为a，则在火星靠近太阳的过程中　C　 。 A.v和a均逐渐减小 B.v逐渐增大，a均逐渐减小 C.v和a均逐渐增大 D.v逐渐减小，a均逐渐增大 ②已知日地之间的平均距离为1.0AU（1AU≈1.5×108km），则火星轨道的半长轴约为　1.5　 AU。（答案保留2位有效数字） （2）质量为m的天问一号在距火星表面高度为h处绕火星做匀速圆周运动。已知火星质量为M、半径为R，引力常量为G，则火星对天问一号的万有引力大小为　B　 。 A.G B.G C.G D.G （3）天问一号绕火星做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，则天问一号绕火星运行的线速度大小为　　 ，向心加速度大小为　　 。 【答案】（1）①C，②1.5；（2）B；（3），。 【解答】解：（1）①由 代入数据得火星靠近太阳的过程中轨道半径变小，a逐渐增大，根据开普勒第二定律可知火星靠近太阳的过程中v逐渐增大，故ABD错误，C正确。 故选：C。 ②由开普勒第三定律得 代入数据得则火星轨道的半长轴约为1.5AU （2）由万有引力定律得火星对天问一号的万有引力大小为，故ACD错误，B正确。 故选：B。 （3）天问一号绕火星运行的线速度大小为v 向心加速度大小为an＝ω2r。 故答案为：（1）①C，②1.5；（2）B；（3），。 14．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。 （1）火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度。 （2）若测得天舟九号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度（用R、h、G、t表示结果）。 【答案】（1）此时火箭上升的高度为； （2）飞船运行的向心加速度大小为，地球的平均密度为。 【解答】解：（1）设压力传感器读数为F时火箭上升的高度为H，则此时砝码所受的万有引力大小为 由牛顿第三定律可知，压力传感器对砝码的支持力大小为F2＝F 对砝码，由牛顿第二定律得F′﹣F引＝ma 又对在地球表面上的物体有 联立解得 （2）飞船运行的周期为T＝4t，角速度为 飞船运行的向心加速度大小为 设飞船整体的质量为m0，根据天舟四号货运飞船所受万有引力提供向心力有 球的平均密度，其中 联立解得 答：（1）此时火箭上升的高度为； （2）飞船运行的向心加速度大小为，地球的平均密度为。 15．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 【解答】解：（1）物体在星球表面做斜上抛运动，水平方向上位移满足L＝v0cos37°t，可得，竖直方向上速度满足vBsin53°＝﹣v0sin37°+gt，其中，联立得； （2）根据牛顿第二定律，可得星球的第一宇宙速度。 答：（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $