专题02 万有引力与航天（开普勒三定律、万有引力定律、宇宙速度、卫星的变轨、追及相遇、双星和多星模型）（期中复习讲义）高一物理下学期人教版

专题02 万有引力与航天（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 开普勒三定律 题型02 万有引力定律的理解应用 题型03 三大宇宙速度 题型04 天体的质量和密度的计算 题型05 卫星的发射、变轨和对接 题型06 同步卫星与相关卫星参量的比较 题型07 双星模型和多星模型 题型08 卫星的追及相遇问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点、考情规律与易错点 核心考点 知识点 常考题型 考情规律 易错点分析 开普勒三定律 轨道定律、面积定律、周期定律（k与中心天体有关） 选择题 常结合椭圆轨道考查，周期定律（r³/T²=k）是高频考点。 误认为k与环绕天体有关；椭圆轨道中误用圆轨道公式计算线速度。 万有引力定律 公式F=GMm/r²；引力常量G的测定（卡文迪许扭秤实验）；割补法求引力 选择题、计算题 万有引力与重力的关系（考虑地球自转）是常考辨析点。 混淆万有引力与重力；忽略引力公式的适用条件（质点或均匀球体）。 天体质量与密度的计算 利用环绕法（由GMm/r²=m·4π²r/T²）；利用表面重力加速度（gR²=GM） 选择题、计算题 常考“黄金代换式”的灵活应用；密度计算是近年的热点。 混淆R（星球半径）与r（轨道半径）；忘记球的体积公式。 人造卫星的圆周运动 线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系（“高轨低速大周期”） 选择题 几乎必考卫星各物理量的比较；近地卫星与同步卫星对比。 盲目套用公式，不清楚哪个是变量；误认为卫星质量越大，速度越大。 同步卫星（静止轨道卫星） 轨道在赤道正上方；周期24h；三定（定高、定速、定周期） 选择题 常考查同步卫星与赤道上物体的比较（注意角速度相同但向心力不同）。 误认为同步卫星可以位于北京上空；混淆同步卫星与赤道上物体的线速度关系。 宇宙速度 第一宇宙速度（最大环绕/最小发射）；第二、第三宇宙速度 选择题 必考第一宇宙速度的计算（由GMm/R²=mv²/R或mg=mv²/R）。 混淆“发射速度”与“环绕速度”；忘记第一宇宙速度是圆轨道的最大速度。 卫星变轨问题 低轨→高轨（两次加速）；高轨→低轨（两次减速）；椭圆轨道上的速度比较 选择题、计算题 高频难点，常考不同轨道在切点处的加速度、速度比较。 误认为变轨瞬间加速度变化（实际加速度由万有引力决定，同一位置相同）；搞不清加速后进入高轨还是低轨。 双星与多星系统 双星：周期相同、角速度相同、轨道半径与质量成反比；拉格朗日点 选择题、压轴题 双星是选考压轴题的常客；近年多星系统（三星）偶有出现。 搞不清双星的轨道半径之和等于距离；误认为万有引力公式中的距离等于各自轨道半径。 复习目标与策略 基于以上考情，复习建议分为三个层次： 目标层次 具体目标 实施策略与方法 基础巩固 (针对后进生) 目标1：熟记开普勒三定律及万有引力公式。目标2：掌握“高轨低速大周期”的口诀并会应用。 1.每日一默：默写GMm/r²=mv²/r=mω²r=m4π²r/T²四个等式。2.画图对比：画出近地卫星、同步卫星、赤道物体三者的轨道与受力图。 能力提升 (针对中等生) 目标3：熟练运用黄金代换式GM=gR²求解天体质量和密度。 目标4：掌握变轨问题中各点速度、加速度的大小比较方法。 1.微专题训练：专门训练“卫星变轨”选择题，归纳“切点加速度相等，速度看离心/向心”。2.一题多变：将同一中心天体的不同卫星参量（v、ω、T、a）列表比较，总结规律。 思维突破 (针对优等生) 目标5：突破双星系统的动力学方程及周期公式推导。 目标6：理解宇宙速度的物理意义及第二宇宙速度的推导思路。 1.模型推导：让学生独立推导双星周期T=2π√[L³/G(M+m)]。 2.前沿拓展：结合“天宫课堂”或“嫦娥探月”背景，分析实际航天器的变轨策略。 知识点01 万有引力定律的理解和应用 1．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论： 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 2. 万有引力定律的应用 （1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得： （2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 拓展： 星球“瓦解”问题及黑洞 （1）星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． （1）黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． 注意：分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即G＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 知识点02 同步卫星的理解和应用 1. 地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s， 同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着. 2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 3. 同步卫星的六个“一定” 知识点03 卫星变轨的理解和应用 1. 卫星变轨：1→2→3 ①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2 ②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。 在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。 ③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作 2. 各点物理量参数的关系 ①线速度大小： ②角速度关系： ③向心加速度关系： ④周期关系： ⑤能量关系： 注意：卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G<m G>m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 知识点04 科技前沿——航天 1. 引力波探测 LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。 2. 深空引力导航 无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。 3. 小行星防御与资源开发 OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。 4. 地球重力场监测 GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。 知识点05 双星和多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)模型特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 2．三星模型 (1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示． 运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。 三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 这里 。 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。 知识点06 卫星的追及相遇问题 1. 模型解读： 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。 2. 模型分类： （1）从相距最近到相距最近 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 注意：周期关系：－＝ n，(n＝1,2,3，…) （2）从相距最近到相距最远 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 注意：周期关系：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。 题型一 开普勒三定律 解｜题｜技｜巧 开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律． （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关 【典例1】水星、金星、地球、火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的轨道半径R水<R金<R地<R火，则公转周期最大的是（　　） A．水星 B．金星 C．地球 D．火星 【答案】D 【详解】根据开普勒第三定律，行星绕太阳公转周期的平方与轨道半径的立方成正比，即 ，因此周期。由题干给定的轨道半径关系，可得公转周期关系为。 故选D。 【典例2】地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，用符号表示，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知金星公转的轨道半径为0.7，火星公转的轨道半径为1.5，则金星与火星公转的周期之比接近（　　） A．0.9 B．0.5 C．0.7 D．0.3 【答案】D 【详解】根据开普勒第三定律，行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，即周期 。 金星轨道半径，火星轨道半径，则金星与火星的周期之比为 故选D。 【变式1】如图所示是行星m绕恒星M运动的示意图，下列说法正确的是（　　） A．速度最大点是B点 B．速度最大点是C点 C．m从A点运动到B点做减速运动 D．m从B点运动到A点做减速运动 【答案】C 【详解】由开普勒第二定律可知，近恒星处行星运动速度大而远恒星处行星运动速度小，故A点速度最大，B点速度最小，由A点运动到B点速度减小，由B点运动到A点速度增大。 故选C。 【变式2】如图所示，、两颗卫星绕地球做匀速圆周运动。和地心的连线与和连线的夹角叫作对的观察角，已知的最大值为，的周期为，下列说法正确的是（　　） A．当、连线与地球表面相切时，达最大值 B．、的轨道半径之比为 C．的周期为 D．的周期为 【答案】BC 【详解】A．当、连线与卫星2的轨道圆相切时，达最大值，A错误； B．由题意可知 可知1、2的轨道半径之比为，B正确； CD．根据开普勒第三定律可知 即的周期为，C正确，D错误。 故选BC。 题型二 万有引力定律的理解应用 答｜题｜模｜板 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【典例1】神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于两倍地球半径时所受地球的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力定律，飞船在地面时，到地心的距离等于地球半径，此时受万有引力为 其中为地球质量，为飞船质量，当飞船上升到离地距离等于两倍地球半径时，到地心的距离，此时所受万有引力为 故选C。 【典例2】科幻作家刘慈欣在作品《地球大炮》中写道：阿根廷是地球上与中国相距最远的一个国家，为了两国更好地交流，只需从中国挖一条通过地心贯穿地球的隧道就行了。“地球隧道”这一奇妙的幻想受到广泛关注。已知在质量分布均匀的球壳内部，该球壳对任意一点处的质点的万有引力合力为零。为了方便，地球可以视作一个质量分布均匀的球体，且不考虑地球自转。若质量为m的物体从地球表面由静止掉入洞中，且假设在洞中运动时受到的摩擦力忽略不计，关于该物体的运动下列说法正确的是（    ） A．小球在隧道中作匀加速直线运动 B．小球在隧道中运动到球心位置后返回 C．小球能够运动到隧道另一端的地表，且运动到隧道另一端时速度最大 D．小球运动到球心位置时加速度最小 【答案】D 【详解】A．设地球的质量为M，半径为R，密度为ρ，当物体m运动到距离地心为r（r≤R）的位置时，根据题意，它只受到半径为r的球体对它的万有引力，外层球壳对它的引力合力为零。 半径为r的球体质量为 地球总质量为 联立可得 此时，物体m受到的万有引力为 该力指向地心，是回复力。根据牛顿第二定律，物体的加速度 因为加速度a与位移r成正比，不是一个恒定值，所以小球做的不是匀加速直线运动，而是简谐运动。故A错误； B．小球从地表下落，向地心运动的过程中，引力做正功，动能增加，速度增大。运动到球心时，所受合力为零，加速度为零，但速度达到最大值。由于惯性，小球会继续向隧道的另一端运动。故B错误； C．小球的运动是简谐运动，根据对称性从一端地表（最大位移处）由静止释放，会运动到另一端地表（另一侧最大位移处），此时速度减为零。速度最大的位置是在球心处。故C错误； D．由加速度表达式 可知，加速度的大小与到球心的距离r成正比。当小球运动到球心位置时，r=0，加速度a=0，为最小值。故D正确。 故选D。 【变式1】假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为，地球的质量 联立解得 小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得。 故选A。 【变式2】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由 联立得 故选D。 题型三 三大宇宙速度 答｜题｜模｜板 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【典例1】若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力提供向心力 可得，第一宇宙速度为 其中为引力常量，为天体质量，为天体半径。设金星与地球的第一宇宙速度分别为和，则第一宇宙速度之比为 已知金星与地球的质量比，半径比，代入得 故选C。 【典例2】在太阳光照射下，卫星搭载的太阳能电池板将光能转化为电能，为卫星的正常运行提供能量。由于太阳与月球间距离遥远，太阳光可视为平行光照射到月球及其周围空间。某一人造月球卫星绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍，运行周期为T。则卫星（　　） A．发射速度大于第二宇宙速度 B．运行速度约为月球第一宇宙速度的倍 C．运行周期T约为绕月表面卫星运行周期的倍 D．运行一周，太阳能板收集光能的时间约为 【答案】D 【详解】A．第二宇宙速度指地球的逃逸速度（脱离地球引力）。对于从地球发射的月球卫星（仍受到地球引力影响），实际发射速度小于第二宇宙速度， A错误； B．万有引力提供向心力 可得 运行速度与月球第一宇宙速度的速度比 ，B错误； C．根据开普勒第三定律 ，周期比 ，C错误； D．如图所示 太阳光视为平行光，卫星在阴影内时无法收集光能。对应位置如图中左侧AB区间 由几何关系可得，所以。阴影弧段对应总角度为 （），运行一周，太阳能板收集光能的时间约为 ，D正确。 故选 D。 【变式1】2025年11月1日3时22分，神舟二十一号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时。对接完成后，该组合体将在距离地面约400km高度的轨道上运行。下列说法正确的是（　　） A．2025年11月1日3时22分是时间间隔，3.5小时是时刻 B．在载人飞船与空间站天和核心舱对接时，可将载人飞船视为质点 C．对接完成后，飞船将与空间站一起以24h为周期绕地球飞行 D．搭载神舟二十一号的运载火箭的发射速度不能大于第二宇宙速度 【答案】D 【详解】A．2025年11月1日3时22分是时刻，3.5小时是时间间隔，故A错误； B．在载人飞船与空间站天和核心舱对接时，载人飞船的形状大小不能忽略不计，不可以将载人飞船视为质点，故B错误； C．对接完成后，飞船与空间站在距离地面约400km高度的轨道上运行，轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据 可得 可知飞船与空间站的运行周期小于同步卫星的运行周期，即小于24h，故C错误； D．第二宇宙速度是脱离地球引力的最小发射速度，所以搭载神舟二十一号的运载火箭的发射速度不能大于第二宇宙速度，故D正确。 故选D。 【变式2】神舟二十一号任务预计将于2025年下半年发射，执行中国空间站乘组轮换任务，中国空间站已进入常态化运营阶段，每年执行1-2次载人飞行任务。如图，1、2、3、4、5为地球上发射的卫星轨道，轨道1为近地轨道，地球的半径为，轨道3是一端近地的椭圆轨道，轨道4卫星的发射速度是，轨道5卫星的发射速度是，下列说法错误的是（　　） A．轨道1卫星运行周期约，向心加速度大小约为 B．轨道3卫星在近地点的速度必大于 C．轨道4卫星的发射速度，可以使卫星克服地球引力，永远离开地球 D．轨道5卫星可以脱离太阳系 【答案】A 【详解】A．轨道1为近地轨道，近地卫星运行周期约85分钟，不过向心加速度大小约为9.8m/s2（近似等于地球表面重力加速度），故A错误，符合题意； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是近地圆轨道的环绕速度，轨道3是一端近地的椭圆轨道，卫星在近地点要做离心运动，所以速度必大于7.9km/s，故B正确，不符合题意； C．11.2km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，轨道4卫星发射速度是11.2km/s，能使卫星脱离地球引力，永远离开地球，故C正确，不符合题意； D．16.7km/s是第三宇宙速度，是卫星脱离太阳系的最小发射速度，轨道5卫星发射速度是16.7km/s，可以脱离太阳系，故D正确，不符合题意。 故选A。 题型四 天体的质量和密度的计算 答｜题｜模｜板 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ 【典例1】某人造卫星绕地球运动，如图1所示。所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点离地的高度之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．地球的质量为 D．忽略自转影响，地球表面的重力加速度大小为 【答案】D 【详解】A．设近地点到地心的距离为，远地点到地心的距离为，则根据万有引力公式可得卫星在近地点时有 同理卫星在远地点时有 解得 已知近地点离地面的高度为，则近地点到地心的距离为 所以远地点到地心的距离为 则远地点距地面的高度为 所以卫星在近地点与远地点离地的高度之比为，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 所以卫星在近地点与远地点的加速度之比为，故B错误； C．该卫星的半长轴为 由图2可知，卫星的公转周期为 结合开普勒第三定律有 解得地球的质量为，故C错误； D．由万有引力等于重力，有 解得地球表面的重力加速度大小为，故D正确。 故选D。 【典例2】2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得，故AB错误； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1】在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（　　） A．地球的质量m= B．太阳的质量M= C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 【答案】AC 【详解】AD．根据万有引力与重力关系有 解得 地球的平均密度为，故A正确，D错误； B．根据万有引力提供向心力有 解得，故B错误； C．近地卫星满足 解得 地球的平均密度，故C正确。 故选AC。 【变式2】如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．令小球的位移为，则有 解得，故A错误，B正确； C．在地球表面有 结合上述解得，故C错误； D．地球的密度 结合上述解得，故D正确。 故选BD。 题型五 卫星的发射、变轨和对接 答｜题｜模｜板 航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 【典例1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则以下判断正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道2经过Q点的速度大于它在轨道1经过Q点的速度 C．卫星在轨道2经过Q点的加速度等于它在轨道1经过Q点的加速度 D．卫星在轨道3上的周期小于它在轨道2上的周期 【答案】BC 【详解】A．卫星在轨道1和3上均做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 即半径越大，速度越小，即卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故A错误； B．卫星在轨道1运动经过Q点时，需要加速才能做离心运动变到轨道2上，所以，卫星在轨道2经过Q点的速度大于它在轨道1经过Q点的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律有 解得 所以，卫星经过同一点时的加速度相等，即卫星在轨道2经过Q点的加速度等于它在轨道1经过Q点的加速度，故C正确； D．根据开普勒第三定律有 因轨道3的半径大于轨道2的半长轴，所以，卫星在轨道3上的周期大于它在轨道2上的周期，故D错误。 故选BC。 【典例2】近日中国空间站首次实现“空中漂移”，空间站从停泊轨道经点三次加速，依次经过轨道I、II，进入目标轨道，已知地球半径为，目标轨道离地面高为，地球表面重力加速度为，则空间站（　　） A．在目标轨道上的速度一定大于第一宇宙速度 B．沿轨道I稳定运行过程中，机械能不守恒 C．在目标轨道Ⅱ经过点的加速度大于在轨道I经过点的加速度 D．沿轨道II由点第一次运动到点的时间小于 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度为最大的环绕速度，故A错误； B．沿同一轨道稳定运行，机械能守恒，故B错误； C．点高于点，根据 可得，故轨道Ⅱ经过点的加速度小于在轨道I经过点的加速度，故C错误； D．根据 又有 可得空间站在圆轨道III运动的周期为 因轨道II的半长轴小于轨道III，故D正确。 故选D。 【变式1】轨道I和轨道II为载人飞船运行的椭圆轨道和圆形轨道。两轨道相切于B点，A为椭圆轨道的近地点，B为远地点，CD为椭圆轨道的短轴，（已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，万有引力常量为），则下列判断正确的是（　　） A．载人飞船从A运动到D的时间等于从B运动到C的时间 B．载人飞船在轨道II上的向心加速度一定小于10m/s2 C．根据已有条件，估算地球的质量约为6×1026kg D．载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大 【答案】BD 【详解】A．载人飞船从A运动到D的时间小于从B运动到C的时间，因为近地点周围速度大，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可知 解得 可知载人飞船在轨道Ⅱ上的向心加速度一定小于，故B正确； C．根据万有引力提供向心力可知 解得，故C错误； D．从轨道I通过B点进入轨道II，从低轨道进入高轨道需要加速，所以载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大，故D正确。 故选BD。 【变式2】2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在点变轨后进入椭圆轨道，为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 B．在轨道2上从向运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上从向运动过程中速率逐渐减小 D．在轨道1的周期大于在轨道2的周期 【答案】C 【详解】A．A点变轨时，需要加速才能从轨道1进入轨道2，故探测器在轨道2的动能大于轨道1动能，因探测器在点加速时势能不变，故探测器在轨道2上机械能更大，故A错误； B．探测器在轨道2上从到的过程中，远离月球，受到的引力逐渐变小，故加速度逐渐变小，故B错误； C．探测器在轨道2上从到的过程中，探测器一直克服引力做功，所以其速率逐渐减小（也可从开普勒第二定律解释），故C正确； D．根据开普勒第三定律，半长轴（半径）越大，周期越大，故探测器在轨道2上周期大于探测器在轨道1上周期，故D错误。 故选C。 题型六 同步卫星与相关卫星参量的比较 答｜题｜模｜板 注意：各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【典例1】如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆。、两点是椭圆长轴两端，距离地心为。点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为，卫星1的速率为，下列说法正确的是（　　） A．点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到点时加速度相同 C．卫星2在点的向心加速度等于 D．卫星2由到的时间等于 【答案】B 【详解】A．因为两卫星的周期均为，根据开普勒第三定律，椭圆轨道半长轴等于圆轨道半径，有 椭圆的焦距 C点在椭圆的短轴上，即点到椭圆轨道中心的距离，故A错误； B．两颗卫星质量相等，运动到点时，到地心距离相等，则在点受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在点时加速度相同，故B正确； C．卫星1做匀速圆周运动，在点的加速度为 方向指向地心，卫星2和卫星1运动到点时加速度相同，则卫星2加速度的大小为 卫星2在点的向心加速度，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，卫星2在离地球较近的时候速度较大，所以卫星2由到的时间小于，故D错误。 故选B。 【典例2】如图所示是在某科幻电影里太空电梯的示意图，其主体结构为用硬质绝缘杆做成的太空电梯：一端固定在地球赤道上，另一端向太空中延伸，且杆的延长线通过地心。电梯箱在图示位置时电梯箱里分别有三个物体P、N、Q相对电梯静止，N在同步卫星轨道上。以地心为参考系，下面说法正确的是（　　） A．电梯箱对物体P的作用力指向地面 B．电梯箱对物体Q的作用力指向地面 C．物体P的向心加速度小于N的向心加速度 D．物体Q的向心加速度小于N的向心加速度 【答案】BC 【详解】A．对于P物体，其随太空电梯做圆周运动，地球对P物体的万有引力和电梯箱对P物体的作用力的合力提供向心力，根据， 可知，P物体的角速度等于同步卫星的角速度，轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此P物体受到的万有引力大于其圆周运动的向心力，故电梯箱对P物体的作用力方向背离地面，故A错误； B．根据上述分析可知，Q物体受到的万有引力小于其圆周运动的向心力，因此电梯箱对Q物体的作用力指向地面，故B正确； CD．根据可知，由于物体P、N、Q的角速度相等，轨道半径 ，则有，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式1】自1970年4月24日我国第一颗人造卫星“东方红一号”顺利升空，到2024年底，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗。如图所示，a为近地空间站，b为运行在晨昏线上空太阳同步轨道上的太阳观测卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（　　） A．太阳观测卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为 C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、动能、加速度及所受地球引力都相等 【答案】B 【详解】A．太阳观测卫星运行在晨昏线上空，可24小时不间断对太阳进行观测，其轨道半径小于同步卫星，周期小于24小时，故A错误； B．a、b、c、d做圆周运动的向心力皆由地球对其的万有引力提供，由 可得 所以，故B正确； C．同步轨道卫星c，其周期为24小时，但其速度方向与地面上各点线速度方向不同，不可能相对地面静止，故C错误； D．c与d的速度、周期、加速度大小均相等，但卫星的质量关系不清楚，故其所受地球引力及动能未必相等，故D错误。 故选B。 【变式2】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 【答案】D 【详解】A．由 解得 故b卫星转动线速度等于7.9km/s，故A错误； B．对a、c由 其中， 可得 对b、c由万有引力提供向心力 解得 因为，所以 故a卫星的向心加速度最小，故B错误； C．由万有引力提供向心力 因c的半径更大，可知 故 故C错误； D．对b、c由万有引力提供向心力 可得 因为，所以 故在b、c中，b的线速度大，故D正确。 故选D。 题型七 双星模型和多星模型 答｜题｜模｜板：双星模型的特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 【典例1】如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】D 【详解】A．在P、Q组成的双星系统中，对P根据牛顿第二定律有 解得Q的质量为，故A正确； B．对于卫星M，由万有引力提供向心力得 解得P的质量为 则恒星P、Q之间的万有引力为，故B正确； C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得 解得 同理可得M的轨道半径为 对P、Q组成的双星系统有 因为，则有，，故C正确； D．如图所示 P、Q、M三星由图示位置到再次共线时，P、Q转过的圆心角与M转过的圆心角互补，则有 解得，故D错误。 此题选择不正确的，故选D。 【典例2】中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 【答案】CD 【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 解得 故不能求出C的质量，故B错误； C．双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A研究 对B研究 解得双星的总质量，故C正确； D．A的质量，故D正确； A．A、B的轨道半径之比为，故A错误。 故选CD。 【变式1】如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为的行星都绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为；乙图中三颗质量均为的行星都绕静止于边长为的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，，则两个系统的周期之比（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲图中的某一行星受到其它两颗行星的万有引力大小分别为、，如下图所示 由万有引力定律可得 行星的轨道半径为 由牛顿第二定律得 解得 设乙图中的某一行星受到其它三颗星的万有引力大小分别为、、，如上图所示 行星的轨道半径为 由万有引力定律可得， 由牛顿第二定律得 解得 已知 可得 故选D。 【变式2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度大小为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为 D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】ABC 【详解】每颗星受到的合力为 轨道半径为 由向心力公式可得 解得，，， 可知颗星做圆周运动的加速度与三星的质量有关。 故选ABC。 题型八 卫星的追及相遇问题 答｜题｜模｜板 天体相遇与追及问题的处理方法 首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……) 【典例1】如图所示，神十九与卫星A在同一平面内，二者沿同一方向（顺时针）做匀速圆周运动，已知神十九的运行周期为1.5h，卫星A的轨道半径是神十九的4倍。某时刻，神十九、卫星A与地心连线的夹角为60°，则此后12h内，卫星A在神十九正上方的次数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】根据万有引力提供向心力可得 可得 卫星A的轨道半径是神十九的4倍，可知卫星A的周期是神十九的8倍，即卫星A的周期为12h，卫星A在神十九正上方的运动时间满足 解得 根据题意 故n取0、1、2、3、4、5、6，卫星A在神十九正上方的次数为7，故选B。 【典例2】我国高通量通信卫星进入高速时代，可实现偏远地区的移动通信基站接入及其他行业应用。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g。假设在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星P，对地球赤道覆盖的最大张角为，开始时，为增强信号变轨至（绕地球作匀速圆周运动的轨道半径由变为，赤道上有一个卫星观测站Q（图中未画出）。在两个轨道上，观测站Q能连续观测到卫星P的最长时间分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设地球质量为M，卫星P的质量为m，根据万有引力提供向心力，有 轨道半径为 在地球表面根据万有引力等于重力，有 联立可得 通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星P和地面测控站Q不能一直保持直接通讯，也就监测不到。设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2时就不能通讯，根据几何关系可得：当时，， 联立解得 当时 故选CD。 【变式1】如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，当卫星Ⅰ、Ⅱ间相距最远时开始计时，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图乙所示，已知卫星Ⅰ的周期为T，轨道半径为R，下列说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为3R B．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为4R C．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为1∶3 D．卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为2∶1 【答案】AD 【详解】ABC．设卫星Ⅰ的角速度为，则 设卫星Ⅱ的周期为，轨道半径为，角速度为，则 取卫星Ⅱ为参考系，由于绕行方向相反，则卫星Ⅰ相对于卫星Ⅱ的角速度为 根据题图乙可知，两卫星从相距最远到相距最近有 解得 根据开普勒第三定律有 解得 卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为 卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为 卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为 故A正确、BC错误； D．根据匀速圆周运动的规律，卫星Ⅰ的线速度 卫星Ⅱ的线速度 可知卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为 故D正确。 故选AD。 【变式2】某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上点的正上方。已知地球质量为，地球半径为，引力常量为，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是点加速度的倍 B．卫星下一次经过点正上方时，卫星转过的角度为 C．卫星转过的角度为时，卫星与点距离最远 D．卫星与点的最远距离为 【答案】CD 【详解】A．设卫星的高度为，则卫星的向心加速度大小 位于P点处物体的向心加速度大小 则 对卫星，根据万有引力提供向心力可得 解得 联立解得，故A错误； B．卫星下一次经过点正上方时，设卫星转了m圈，P点转了n圈（m、n为正整数），则有 解得， 则卫星转过的角度为，故B错误； C．根据 可得卫星的角速度和点的角速度之比为 则卫星转过的角度为时，即2圈半，点刚好转过一圈，此时卫星与点距离最远，故C正确； D．卫星与点的最远距离为，故D正确。 故选CD。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同该卫星持续发射信号，位于赤道的观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为，万有引力常量为。则该卫星（　　） A．是静止卫星 B．轨道半径为 C．线速度大于 D．与地心的连线在相同时间内扫过的面积和同步卫星相等 【答案】B 【详解】A．由题图可知，每隔地球自转周期，观测站接收一次强信号，说明时间内，卫星比地球自转多转1圈。设卫星周期为，则有 解得 静止卫星的周期等于地球自转周期，相对地面静止，观测站会一直收到强信号，与题图规律矛盾，故A错误； B．卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 代入，解得，故B正确； C．是第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，也是所有绕地球做圆周运动卫星的最大环绕速度，轨道半径越大线速度越小，因此该卫星线速度一定小于，故C错误； D．根据开普勒第二定律，同一卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积相等，不同卫星的轨道半径不同，单位时间扫过的面积不同，故D错误。 故选B。 2．火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大 C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小 【答案】D 【详解】AC．由题意可知，火星冬季时长是地球的1.88倍，因此火星公转周期 即 根据万有引力提供向心力， 解得， 所以 则，故AC错误； B．根据角速度公式， 因此，故B错误； D．根据万有引力提供向心力 可得加速度 由于 所以，故D正确。 故选D。 3．2025年是人工智能规模化应用元年，越来越多的人在工作和学习中使用人工智能体。某同学通过人工智能体查询到在地球两极的重力加速度为，地球赤道上的重力加速度为，将地球视为质量分布均匀的球体，已知引力常量G和地球半径R，则地球密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】BD．在两极无自转影响，重力加速度等于引力加速度，即 解得 地球密度 其中地球体积 解得 B正确，D错误； AC．地球赤道上受地球自转影响有 由于未知，不能直接表示，故不能求得地球密度，AC错误。 故选B。 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 4．地球同步卫星常用于通信、气象观测、导弹预警、数据中继等方面。地球同步卫星相对地面静止不动，犹如悬在空中一样，以实现对同一地区的连续监测。下列说法正确的有（　　） A．同步卫星处于平衡状态 B．同步卫星绕地心的角速度与地球自转的角速度相同 C．同步卫星只能位于赤道上方，且高度和速率是唯一确定的 D．同步卫星的速率一定大于7.9km/s 【答案】BC 【详解】A．平衡状态要求物体合外力为零。同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，合外力不为零（存在向心加速度），不是平衡状态，故A错误； B．地球同步卫星相对地面静止，其绕地心转动的角速度与地球自转的角速度一定相等，故B正确； C．若同步卫星不在赤道正上方，万有引力的分力会使卫星偏移轨道，无法保持相对地面静止，因此只能位于赤道上方；由万有引力提供向心力有 同步卫星角速度和地球自转角速度相同，为定值，因此轨道半径和高度唯一确定，线速度也唯一确定，故C正确； D．7.9km/s是第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，也是所有绕地球做圆周运动卫星的最大环绕速度，则同步卫星速率一定小于7.9km/s，故D错误。 故选BC。 5．如图所示，两颗人造卫星M、N绕地球做椭圆运动，若两轨道在近地点相切，且长轴分别为、，周期分别为、，忽略卫星之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．地球对M的引力大于对N的引力 B．两卫星在近地点的加速度相等 C．两卫星的周期和长轴关系满足 D．两卫星与地心的连线在同一段时间内扫过的面积相等 【答案】BC 【详解】A．地球对卫星的引力大小与卫星的质量、卫星与地球球心间的距离有关，故地球对M的引力不一定大于对N的引力，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 得 即不同卫星经过同一点时的加速度大小相等，故两卫星在近地点的加速度相等，故B正确； C．根据开普勒第三定律有 化简得，故C正确； D．根据开普勒第二定律可知，同一卫星与地心的连线在相等的时间内扫过的面积相等，卫星在一段极短的时间内与地球的连线扫过的面积 假设两卫星都位于近地点，两卫星的速度大小不同，卫星与地心的连线在内扫过的面积不相等，故D错误。 故选BC。 6．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（    ） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 【答案】AC 【详解】A．对卫星，根据万有引力提供向心力有 解得 由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的运行周期大于空间站的运行周期，故A正确； B．第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，是绕地球表面做匀速圆周运动的最大的运行速度，该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度，故B错误； C．对卫星，由牛顿第二定律有 解得 由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的加速度小于空间站的加速度，故C正确； D．地球静止轨道卫星的轨道平面与赤道平面重合，即静止轨道卫星的轨道在赤道的正上方，而文山州不在赤道上，所以卫星不可能经过文山州正上方，故D错误。 故选AC。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 7．如图所示银河系外的星系中有两个黑洞，质量分别为和，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据你所学的知识，下列说法正确的是（　　） A．两个黑洞质量之间的关系一定是 B．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 C．黑洞A的运行线速度小于黑洞B的运行线速度 D．人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 【答案】AB 【详解】A．根据 可得 因可知，A正确； B．由上述表达式可得 可得双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，B正确； C．根据，因角速度相等，，可知黑洞A的运行线速度大于黑洞B的运行线速度，C错误； D．人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须脱离太阳系，则发射速度要大于第三宇宙速度，D错误。 故选AB。 8．如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在赤道表面上的物体，根据重力与万有引力之间的关系有 对探测卫星有 联立解得该星球赤道表面上的重力加速度大小 （2）根据开普勒第三定律可得 可得近地卫星的周期为 该星球的第一宇宙速度为 （用其他表达式求出也可） （3）由几何知识知，卫星与观测站能保持通信，则卫星、观测站和星球球心连线的夹角最大为，由 解得 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 万有引力与航天（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 开普勒三定律 题型02 万有引力定律的理解应用 题型03 三大宇宙速度 题型04 天体的质量和密度的计算 题型05 卫星的发射、变轨和对接 题型06 同步卫星与相关卫星参量的比较 题型07 双星模型和多星模型 题型08 卫星的追及相遇问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点、考情规律与易错点 核心考点 知识点 常考题型 考情规律 易错点分析 开普勒三定律 轨道定律、面积定律、周期定律（k与中心天体有关） 选择题 常结合椭圆轨道考查，周期定律（r³/T²=k）是高频考点。 误认为k与环绕天体有关；椭圆轨道中误用圆轨道公式计算线速度。 万有引力定律 公式F=GMm/r²；引力常量G的测定（卡文迪许扭秤实验）；割补法求引力 选择题、计算题 万有引力与重力的关系（考虑地球自转）是常考辨析点。 混淆万有引力与重力；忽略引力公式的适用条件（质点或均匀球体）。 天体质量与密度的计算 利用环绕法（由GMm/r²=m·4π²r/T²）；利用表面重力加速度（gR²=GM） 选择题、计算题 常考“黄金代换式”的灵活应用；密度计算是近年的热点。 混淆R（星球半径）与r（轨道半径）；忘记球的体积公式。 人造卫星的圆周运动 线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系（“高轨低速大周期”） 选择题 几乎必考卫星各物理量的比较；近地卫星与同步卫星对比。 盲目套用公式，不清楚哪个是变量；误认为卫星质量越大，速度越大。 同步卫星（静止轨道卫星） 轨道在赤道正上方；周期24h；三定（定高、定速、定周期） 选择题 常考查同步卫星与赤道上物体的比较（注意角速度相同但向心力不同）。 误认为同步卫星可以位于北京上空；混淆同步卫星与赤道上物体的线速度关系。 宇宙速度 第一宇宙速度（最大环绕/最小发射）；第二、第三宇宙速度 选择题 必考第一宇宙速度的计算（由GMm/R²=mv²/R或mg=mv²/R）。 混淆“发射速度”与“环绕速度”；忘记第一宇宙速度是圆轨道的最大速度。 卫星变轨问题 低轨→高轨（两次加速）；高轨→低轨（两次减速）；椭圆轨道上的速度比较 选择题、计算题 高频难点，常考不同轨道在切点处的加速度、速度比较。 误认为变轨瞬间加速度变化（实际加速度由万有引力决定，同一位置相同）；搞不清加速后进入高轨还是低轨。 双星与多星系统 双星：周期相同、角速度相同、轨道半径与质量成反比；拉格朗日点 选择题、压轴题 双星是选考压轴题的常客；近年多星系统（三星）偶有出现。 搞不清双星的轨道半径之和等于距离；误认为万有引力公式中的距离等于各自轨道半径。 复习目标与策略 基于以上考情，复习建议分为三个层次： 目标层次 具体目标 实施策略与方法 基础巩固 (针对后进生) 目标1：熟记开普勒三定律及万有引力公式。目标2：掌握“高轨低速大周期”的口诀并会应用。 1.每日一默：默写GMm/r²=mv²/r=mω²r=m4π²r/T²四个等式。2.画图对比：画出近地卫星、同步卫星、赤道物体三者的轨道与受力图。 能力提升 (针对中等生) 目标3：熟练运用黄金代换式GM=gR²求解天体质量和密度。 目标4：掌握变轨问题中各点速度、加速度的大小比较方法。 1.微专题训练：专门训练“卫星变轨”选择题，归纳“切点加速度相等，速度看离心/向心”。2.一题多变：将同一中心天体的不同卫星参量（v、ω、T、a）列表比较，总结规律。 思维突破 (针对优等生) 目标5：突破双星系统的动力学方程及周期公式推导。 目标6：理解宇宙速度的物理意义及第二宇宙速度的推导思路。 1.模型推导：让学生独立推导双星周期T=2π√[L³/G(M+m)]。 2.前沿拓展：结合“天宫课堂”或“嫦娥探月”背景，分析实际航天器的变轨策略。 知识点01 万有引力定律的理解和应用 1．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论： 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 2. 万有引力定律的应用 （1）基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得： （2）应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 拓展： 星球“瓦解”问题及黑洞 （1）星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． （1）黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． 注意：分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即G＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 知识点02 同步卫星的理解和应用 1. 地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s， 同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着. 2. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 3. 同步卫星的六个“一定” 知识点03 卫星变轨的理解和应用 1. 卫星变轨：1→2→3 ①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2 ②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。 在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。 ③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作 2. 各点物理量参数的关系 ①线速度大小： ②角速度关系： ③向心加速度关系： ④周期关系： ⑤能量关系： 注意：卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G<m G>m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 知识点04 科技前沿——航天 1. 引力波探测 LISA空间引力波天文台（2030s发射）将构成边长250万公里的三角卫星阵，通过激光精密测量卫星间距的皮米级变化，捕捉黑洞并合等事件激发的时空涟漪。其核心技术依赖广义相对论对引力的几何化描述，需精确计算天体运动引起的引力扰动。 2. 深空引力导航 无人探测器（如旅行者号）在飞越行星时，利用引力弹弓效应加速，节省燃料并扩展探测范围。近年更通过分析探测器轨道受天体引力影响的微小偏移，反推行星内部结构（如朱诺号测绘木星重力场，揭示其流体核）。 3. 小行星防御与资源开发 OSIRIS-REx（贝努小行星采样）任务中，航天器需克服微重力（仅地球重力十亿分之一）精准着陆，依赖对小行星不规则引力场的高精度建模。未来小行星采矿亦需此类模型稳定作业平台。 4. 地球重力场监测 GRACE-FO卫星双星通过微波测距实时感知两地间距离的亚微米级变化，反演全球水储量迁移（如冰川融化、地下水流失），其基础是地球非均匀质量分布引起的引力异常。 知识点05 双星和多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)模型特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 2．三星模型 (1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行如图甲所示． 运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上。 三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 这里 。 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。 知识点06 卫星的追及相遇问题 1. 模型解读： 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。 2. 模型分类： （1）从相距最近到相距最近 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 注意：周期关系：－＝ n，(n＝1,2,3，…) （2）从相距最近到相距最远 ①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。 注意：周期关系：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。 题型一 开普勒三定律 解｜题｜技｜巧 开普勒行星运动定律的深入理解 （1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． （2）由开普勒第二定律可得，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律． （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关 【典例1】水星、金星、地球、火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的轨道半径R水<R金<R地<R火，则公转周期最大的是（　　） A．水星 B．金星 C．地球 D．火星 【典例2】地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，用符号表示，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知金星公转的轨道半径为0.7，火星公转的轨道半径为1.5，则金星与火星公转的周期之比接近（　　） A．0.9 B．0.5 C．0.7 D．0.3 【变式1】如图所示是行星m绕恒星M运动的示意图，下列说法正确的是（　　） A．速度最大点是B点 B．速度最大点是C点 C．m从A点运动到B点做减速运动 D．m从B点运动到A点做减速运动 【变式2】如图所示，、两颗卫星绕地球做匀速圆周运动。和地心的连线与和连线的夹角叫作对的观察角，已知的最大值为，的周期为，下列说法正确的是（　　） A．当、连线与地球表面相切时，达最大值 B．、的轨道半径之比为 C．的周期为 D．的周期为 题型二 万有引力定律的理解应用 答｜题｜模｜板 宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一。 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零； 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G。 【典例1】神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于两倍地球半径时所受地球的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【典例2】科幻作家刘慈欣在作品《地球大炮》中写道：阿根廷是地球上与中国相距最远的一个国家，为了两国更好地交流，只需从中国挖一条通过地心贯穿地球的隧道就行了。“地球隧道”这一奇妙的幻想受到广泛关注。已知在质量分布均匀的球壳内部，该球壳对任意一点处的质点的万有引力合力为零。为了方便，地球可以视作一个质量分布均匀的球体，且不考虑地球自转。若质量为m的物体从地球表面由静止掉入洞中，且假设在洞中运动时受到的摩擦力忽略不计，关于该物体的运动下列说法正确的是（    ） A．小球在隧道中作匀加速直线运动 B．小球在隧道中运动到球心位置后返回 C．小球能够运动到隧道另一端的地表，且运动到隧道另一端时速度最大 D．小球运动到球心位置时加速度最小 【变式1】假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 题型三 三大宇宙速度 答｜题｜模｜板 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度(环绕速度) 7.9 是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。 第二宇宙速度(脱离速度) 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 【典例1】若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 【典例2】在太阳光照射下，卫星搭载的太阳能电池板将光能转化为电能，为卫星的正常运行提供能量。由于太阳与月球间距离遥远，太阳光可视为平行光照射到月球及其周围空间。某一人造月球卫星绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍，运行周期为T。则卫星（　　） A．发射速度大于第二宇宙速度 B．运行速度约为月球第一宇宙速度的倍 C．运行周期T约为绕月表面卫星运行周期的倍 D．运行一周，太阳能板收集光能的时间约为 【变式1】2025年11月1日3时22分，神舟二十一号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时。对接完成后，该组合体将在距离地面约400km高度的轨道上运行。下列说法正确的是（　　） A．2025年11月1日3时22分是时间间隔，3.5小时是时刻 B．在载人飞船与空间站天和核心舱对接时，可将载人飞船视为质点 C．对接完成后，飞船将与空间站一起以24h为周期绕地球飞行 D．搭载神舟二十一号的运载火箭的发射速度不能大于第二宇宙速度 【变式2】神舟二十一号任务预计将于2025年下半年发射，执行中国空间站乘组轮换任务，中国空间站已进入常态化运营阶段，每年执行1-2次载人飞行任务。如图，1、2、3、4、5为地球上发射的卫星轨道，轨道1为近地轨道，地球的半径为，轨道3是一端近地的椭圆轨道，轨道4卫星的发射速度是，轨道5卫星的发射速度是，下列说法错误的是（　　） A．轨道1卫星运行周期约，向心加速度大小约为 B．轨道3卫星在近地点的速度必大于 C．轨道4卫星的发射速度，可以使卫星克服地球引力，永远离开地球 D．轨道5卫星可以脱离太阳系 题型四 天体的质量和密度的计算 答｜题｜模｜板 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ 【典例1】某人造卫星绕地球运动，如图1所示。所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点离地的高度之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．地球的质量为 D．忽略自转影响，地球表面的重力加速度大小为 【典例2】2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（　　） A．地球的质量m= B．太阳的质量M= C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 【变式2】如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 题型五 卫星的发射、变轨和对接 答｜题｜模｜板 航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 【典例1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则以下判断正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道2经过Q点的速度大于它在轨道1经过Q点的速度 C．卫星在轨道2经过Q点的加速度等于它在轨道1经过Q点的加速度 D．卫星在轨道3上的周期小于它在轨道2上的周期 【典例2】近日中国空间站首次实现“空中漂移”，空间站从停泊轨道经点三次加速，依次经过轨道I、II，进入目标轨道，已知地球半径为，目标轨道离地面高为，地球表面重力加速度为，则空间站（　　） A．在目标轨道上的速度一定大于第一宇宙速度 B．沿轨道I稳定运行过程中，机械能不守恒 C．在目标轨道Ⅱ经过点的加速度大于在轨道I经过点的加速度 D．沿轨道II由点第一次运动到点的时间小于 【变式1】轨道I和轨道II为载人飞船运行的椭圆轨道和圆形轨道。两轨道相切于B点，A为椭圆轨道的近地点，B为远地点，CD为椭圆轨道的短轴，（已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，万有引力常量为），则下列判断正确的是（　　） A．载人飞船从A运动到D的时间等于从B运动到C的时间 B．载人飞船在轨道II上的向心加速度一定小于10m/s2 C．根据已有条件，估算地球的质量约为6×1026kg D．载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大 【变式2】2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在点变轨后进入椭圆轨道，为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 B．在轨道2上从向运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上从向运动过程中速率逐渐减小 D．在轨道1的周期大于在轨道2的周期 题型六 同步卫星与相关卫星参量的比较 答｜题｜模｜板 注意：各运行参量比较的两条思路 (1)绕地球运行的不同高度的卫星各运行参量大小的比较，可应用：＝m＝mω2r＝m·r＝ma，选取适当的关系式进行比较。 (2)赤道上的物体的运行参量与其他卫星运行参量大小的比较，可先将赤道上的物体与同步卫星的运行参量进行比较，再结合(1)中结果得出最终结论。 【典例1】如图所示，质量相等、周期均为T的两颗人造地球卫星，1轨道为圆、2轨道为椭圆。、两点是椭圆长轴两端，距离地心为。点为椭圆短轴端点且是两轨道的交点，到地心距离为，卫星1的速率为，下列说法正确的是（　　） A．点到椭圆中心的距离为r B．卫星1和卫星2运动到点时加速度相同 C．卫星2在点的向心加速度等于 D．卫星2由到的时间等于 【典例2】如图所示是在某科幻电影里太空电梯的示意图，其主体结构为用硬质绝缘杆做成的太空电梯：一端固定在地球赤道上，另一端向太空中延伸，且杆的延长线通过地心。电梯箱在图示位置时电梯箱里分别有三个物体P、N、Q相对电梯静止，N在同步卫星轨道上。以地心为参考系，下面说法正确的是（　　） A．电梯箱对物体P的作用力指向地面 B．电梯箱对物体Q的作用力指向地面 C．物体P的向心加速度小于N的向心加速度 D．物体Q的向心加速度小于N的向心加速度 【变式1】自1970年4月24日我国第一颗人造卫星“东方红一号”顺利升空，到2024年底，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗。如图所示，a为近地空间站，b为运行在晨昏线上空太阳同步轨道上的太阳观测卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（　　） A．太阳观测卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为 C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、动能、加速度及所受地球引力都相等 【变式2】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 题型七 双星模型和多星模型 答｜题｜模｜板：双星模型的特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 . ②两颗星的周期及角速度都相同，即. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 【典例1】如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【典例2】中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 【变式1】如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为的行星都绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为；乙图中三颗质量均为的行星都绕静止于边长为的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，，则两个系统的周期之比（　　） A． B． C． D． 【变式2】宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度大小为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为 D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 题型八 卫星的追及相遇问题 答｜题｜模｜板 天体相遇与追及问题的处理方法 首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……) 【典例1】如图所示，神十九与卫星A在同一平面内，二者沿同一方向（顺时针）做匀速圆周运动，已知神十九的运行周期为1.5h，卫星A的轨道半径是神十九的4倍。某时刻，神十九、卫星A与地心连线的夹角为60°，则此后12h内，卫星A在神十九正上方的次数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】我国高通量通信卫星进入高速时代，可实现偏远地区的移动通信基站接入及其他行业应用。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g。假设在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星P，对地球赤道覆盖的最大张角为，开始时，为增强信号变轨至（绕地球作匀速圆周运动的轨道半径由变为，赤道上有一个卫星观测站Q（图中未画出）。在两个轨道上，观测站Q能连续观测到卫星P的最长时间分别为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，当卫星Ⅰ、Ⅱ间相距最远时开始计时，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图乙所示，已知卫星Ⅰ的周期为T，轨道半径为R，下列说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为3R B．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为4R C．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为1∶3 D．卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为2∶1 【变式2】某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上点的正上方。已知地球质量为，地球半径为，引力常量为，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是点加速度的倍 B．卫星下一次经过点正上方时，卫星转过的角度为 C．卫星转过的角度为时，卫星与点距离最远 D．卫星与点的最远距离为 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同该卫星持续发射信号，位于赤道的观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为，万有引力常量为。则该卫星（　　） A．是静止卫星 B．轨道半径为 C．线速度大于 D．与地心的连线在相同时间内扫过的面积和同步卫星相等 2．火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大 C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小 3．2025年是人工智能规模化应用元年，越来越多的人在工作和学习中使用人工智能体。某同学通过人工智能体查询到在地球两极的重力加速度为，地球赤道上的重力加速度为，将地球视为质量分布均匀的球体，已知引力常量G和地球半径R，则地球密度为（　　） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 4．地球同步卫星常用于通信、气象观测、导弹预警、数据中继等方面。地球同步卫星相对地面静止不动，犹如悬在空中一样，以实现对同一地区的连续监测。下列说法正确的有（　　） A．同步卫星处于平衡状态 B．同步卫星绕地心的角速度与地球自转的角速度相同 C．同步卫星只能位于赤道上方，且高度和速率是唯一确定的 D．同步卫星的速率一定大于7.9km/s 5．如图所示，两颗人造卫星M、N绕地球做椭圆运动，若两轨道在近地点相切，且长轴分别为、，周期分别为、，忽略卫星之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．地球对M的引力大于对N的引力 B．两卫星在近地点的加速度相等 C．两卫星的周期和长轴关系满足 D．两卫星与地心的连线在同一段时间内扫过的面积相等 6．我国空间站在距离地面约400公里的轨道绕地球做匀速圆周运动，地球的静止轨道卫星距离地面约36000公里。关于静止轨道卫星的描述，下列说法正确的是（    ） A．运行周期大于空间站的运行周期 B．运行速度大于地球的第一宇宙速度 C．加速度小于空间站的加速度 D．静止轨道卫星可能经过文山州正上空 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 7．如图所示银河系外的星系中有两个黑洞，质量分别为和，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据你所学的知识，下列说法正确的是（　　） A．两个黑洞质量之间的关系一定是 B．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 C．黑洞A的运行线速度小于黑洞B的运行线速度 D．人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 8．如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $