精品解析：新疆维吾尔自治区博州地区2025-2026学年上学期期末测试九年级数学

博州地区2025至2026学年第一学期质量监测 九年级数学 （卷面分值：100分 考试时间：100分钟） 考生须知： 1．本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试卷共4页，答题卡共2页．要求在答题卡上答题，在试卷上答题无效． 2．答题前，请先在答题卡上认真填写学校、姓名、班级、考号． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每道小题只有一个正确答案．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握其概念是解题的关键． 一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：A ． 3. 关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，， B. ，4，1 C. 2，，1 D. ，4， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1． 故选：B． 4. 小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，涉及知识点：事件的分类（随机事件是可能发生也可能不发生的事件）．解题方法是根据课本页码的特征（既有奇数也有偶数），判断事件发生的可能性；解题关键是区分不同类型事件的定义，易错点是混淆“必然”与“随机”的条件． 【详解】课本的页码有奇数也有偶数，翻开某页时，页码可能是偶数，也可能是奇数， 因此“页码是偶数”这一事件是随机事件． 故选A． 5. 关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】解：∵一元二次方程的系数，， ∴两根之和． 故选：A． 6. 如图，点在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；等腰三角形中，等边对等角；三角形内角和等于，熟练掌握以上性质和定理是解题的关键． 由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 8. 如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图易知抛物线与x轴有两个交点，即有两个实数根，因此，故①错误； 由图可知抛物线的对称轴为，因此，所以，故②正确； 由抛物线与x轴的交点A在点和之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，因此当时，，故③正确； 由抛物线的顶点为，可知y的最大值是3，故④正确； 综上可知，正确的有②③④，共3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查根据二次函数判断式子的符号，属于中等题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于原点的对称点为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征． 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标． 【详解】抛物线， 此为顶点形式，对照标准顶点式 ， 可得 ，， 因此顶点坐标为， 故答案为：． 11. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，根据关于x的方程有两个不相等的实数根，得，且，再解得实数a的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且， 故答案为：且． 12. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 该商品第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，据此列出方程即可． 【详解】解：某商品原价为200元，第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， 则列方程为， 故答案为：． 13. 一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型求概率，掌握古典概型求概率的公式是解题关键． 从中任意摸出1个球共有10种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，根据概率公式计算即可． 【详解】， 故共有10个球，从中任意摸出1个球，有10种等可能的结果， 其中红球有3个， 故，因此摸到红球的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共50分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）根据配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_________________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3）或 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）先作出，，关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出绕点顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标； （3）根据题意作出图形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点的坐标为或， 故答案为：或． 17. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． （1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； （2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，可知共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4， 转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种， 指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率 18. 为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边的长． 【答案】花圃一边的长为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．设的长为米，则的长为米，根据花圃的面积为240平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃一边的长为米． 19. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且．，把绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）； （2）10． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）和性质是解题的关键． （1）利用旋转的性质得到对应角和对应边相等，再结合已知角的关系，通过判定定理证明三角形全等． （2）根据（1）中的全等关系，将线段进行转化，进而求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 由（）知：， ∴， ∵， ∴． 20. 某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）降价15元 （2）当降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． （1）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题； （2）运用二次函数的性质即可解决． 【小问1详解】 解：由题意， 化简得： 为了尽快减少库存 答：需要降价15元； 【小问2详解】 解：由题意， ∵， 当时，y有最大值，最大值为， 答：每套书降价10元时，书店可获最大利润，最大利润为800元． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：如图；连接，则 于点 是的半径，且 ∴是的切线 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出 ，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接； ∵是的直径，，的半径为5， ∴ ∴在中，根据勾股定理得 ∴在中， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 22. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博州地区2025至2026学年第一学期质量监测 九年级数学 （卷面分值：100分 考试时间：100分钟） 考生须知： 1．本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试卷共4页，答题卡共2页．要求在答题卡上答题，在试卷上答题无效． 2．答题前，请先在答题卡上认真填写学校、姓名、班级、考号． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每道小题只有一个正确答案．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，， B. ，4，1 C. 2，，1 D. ，4， 4. 小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 5. 关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，点在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为：_______． 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 11. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是______． 12. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为____________． 13. 一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是____． 14. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 三、解答题（本大题共8小题，共50分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_________________． 17. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． （1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； （2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 18. 为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边的长． 19. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且．，把绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若求的长． 20. 某书店销售儿童期刊，一天可售出20套．每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长． 22. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $