广东省深圳市南方科技大学附属中学2026届高三上学期第五次月考数学试题

数学试卷 (本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟.) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角 “条形码粘贴处”。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分。选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x|1<x<5},B={yly=√-1，x∈A,则AUB=() A.(0,5) B.(1,5) C.(1,2) D.(0,+o) 2.已知向量|a上2√2，b=(1,-1),|a+b上2√3，则向量ā在b上的投影向量为() A岁 B.(-2,2) C.(2,-2) D2 3已知函数国=加2x,将)的图象向右平移晋个单位长度，得到函数g)的图象，若vae行-孕， 总存在唯一实数B∈[0，m],使得g()+g(P)=0,则实数m的取值范围为() A B昏 c骨 D 4.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为() A 65 c 0.3 2.8 5.己知正数x,y满足 x+1 y =1，则x+y的最小值是() A.17 B.16 C.15 D.14 6.函数f(x)= Ix-2,x>0 {2-4x,x<0 ,若x<5<,且fG)=f化)=f),则f的取值范围是() x2+大 A.[0,) B.(0,力 c.(0, D.(0, 、 7.己知数列{an}的通项公式an=2”-1,在其相邻两项ak,ak1之间插入2个3k∈N),得到新的数列 {bn},记{bn}的前n项和为Sn,则使Snl00成立的n的最小值为() A.28 B.29 C.30 D.31 8.己知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f()恒成立，且f(I)=2,则fQ)2x21-的 解集为() A.. B.L,+0) 2,+0 D.(-0,] 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.若随机变量X服从正态分布X(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3<5<4)=0.2 B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14 C.若线性相关系数r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D.对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为夕=0.3x-m,若样本点的中心为(m,2.8), 则实数m的值是-4 10.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABC,D的表面上一个动点，则() D A当P在平面BCCB上运动时，三棱锥P-AAD的体积为定值号 B.当P在线段AC上运动时，D,P与AC所成角的取值范围是，] D 32 C.若F是AB的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF⊥BD,时，PF长度的最小值是√ D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4√2 L已知函数f)是定义在R上的奇函数.fr+D是偶函数，当x∈(Q,)时，f)=言，则下列说法 中正确的有() A.x∈1,2)时，f=2-x ex-1 B.函数f(x)的最小正周期是4 c o-1 D.方程∫(x)=gx恰有10个不同的实数根 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分。 12.若2z-元=4-6i,|z卡 13.已知1+x)=a,+ax+a2x2++ax3,则a5+2a4+4a3+8a2+16a1+32a= 4足知为圆C网个g点P,Q为C关于华标原点对称的两点，且PQ上E} 则四边形PFQF的面积为一 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的100名员工进行薪资满意度调查， 调查结果如表所示： 对薪资满意度情况 入职年限 满意 不满意 合计 (I)根据小概率值“=0.1的独立性检验，分析该公司员 工对薪资的满意度是否与入职年限有关： 入职年限不少于2年20 20 40 (2)从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2 入职年限少于2年 40 20 60 人的入职年限都少于2年的概率. 合计 60 40 100 附X= n(ad-be) (a+bY(c+d)(a+c)(b+d)=a+b+c+d. ax0.10.050.01 x.2.7063.8416.635 16.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形， PD⊥平面ABCD,E为棱PD上一点，且PE=2ED. ()证明：平面PAC⊥平面PBD: (2)设直线PC与平面ABE交于点F,证明：EF∥CD; ③若AB=4,∠BAD三，PD=3,求BE与平面PAD所成角的正切值 3)大 本小题15分)将函数f)=sin(©r-25)-)(@>0,x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到题 ta,,且a=3 6 (1)求0， (2)求f(x)的单调增区间，并说明f(x)在(1,2)上的单调性； (3)求数列{an}的前n项和Sn, 第3页，共4页 8.本小题7分尼知点A2.是离心率为2的椭圆C:二+片a>b>0上的一点 2 ①)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为B,直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问 直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； ③)斜率为5的直线1交椭圆C于M、N两点，求△AMN面积的最大值，并求此时直线I的方程 19.(本小题17分)已知f(x)=e+ax2,f'(x)是f(x)的导函数，其中a∈R. 山当4>0时.匠明：存在唯一的无∈(20.使得=0 (2)若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在实数a,b,使得f(x)≥b恒成立，求a-b的最小值. 第4页，共4页数学试卷参考答案 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分。选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案A【解析】由B=y=G-reA={0<y<5,A={1<x<},则AB=xkxK5U}神<5W主{} 2.【答案】D【解析】由b=(山，-)，得|bVP+-1=互，由|a+423√，得|aa年ab书=48a=21 则ā·b=1,故所求投影向量为 6-= a.b. 3【答案】8【解折1由题，得g=sm2x-名，由ae设孕.得2a吾，受1。 124 6 所以8四的家值载固为-5.0，ga)的k位范里为Q,由8c0m,得2B-各子0票-。 由题意得胥2m一看号解得牙m<语枚选：a 、121 4.【答案】C【解析】4个1和2个0随机排成一行，共有C4=15种，2个0不相邻，先将4个1排成一 行，再用插空法将2个0放入共有C=10种，故2个0不相邻的概率为0=2 9153故选：C 5.【答案】A【解折】正实数y满足之+8=1，x+y=(x++y-1=+D+K2+S-1 x+l y x+1'y =10+2y+8x+D-19+22y8x+D-17. x+1 y Vx+1 y 当且仅当41y 2y-8(x+1) 时取等号..x+y的最小值是17. 6【管案】A【解折】作出国数f阅=的图象知图。不纺设<名<与，则天+写=4， eo,1.由6)=f),得2-=2-，6f）-2)-+2人 3+54 4 x2∈[0,1)，∴4(-x3+2x2)e[0,.故选：A 7.【答案】B【解析】因为ak与ak1(k=1,2,)之间插入2个3,4=1，a2=3,4=7,a4=15, a5=31,其中41，a2之间插入2个3，a2,a3之间插入4个3，a3,a4之间插入8个3，a4,a之间插 入16个3,4，a6之间插入32个3，所以S28=1+3×2+3+4×3+7+8×3+15+10×3=98, S29=1+3×2+3+4×3+7+8×3+15+11×3=101,所以使Sm≥100成立的n的最小值为29.故选B. 8.【答案】C【解析】构造函数g(x)=f(x)-3x2,则g(x)=∫(x)-6x,由f(x)<6x,得g(x)<0, 第1页，共6页 故8(x)在R上单调递减.计算g(①)=f①)-3×12=2-3=-1.将f(2x)12x2-1变形为f(2x)-3×(2x)2≤-1， 即8280.因8)单调递减，故2，解得故遮：C 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分。 9.【答案】ACD【解析】对于A,若随机变量X服从正态分布X(3,o2),且PX≤4)=07， 则P3<5<4)=0.7-0.5=0.2,故正确；对于B,将一组数据从小到大排列后为10,11,11,12,13,14,16， 18,20,22,由10x60%=6为整数，可知第60百分位数为14116=15，故错误： 2 对于C,若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故正确： 对于D,对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为夕=0.3x-m,若样本点的中心为(m,2.8), 代入方程可知0.3m-m=2.8,解得实数m的值是-4，故正确.故选：ACD 10.【答案】ABD【解析】对于选项A:因为平面BCC,B,I/平面AADD,所以点P到侧面ADDA的 距离为定值2，故三棱锥P-AAD的体积为定值}×2××2×2-手，故A正确： 2 对于选项B:因为AC∥AC,DP与AC,所成角是∠D,PA或其补角，因为△D,AC是正三角形，所以DP D 与AG成角的取雀豹日是写1，故B正确： 对于选项C:如图：根据正方体的结构特点，BD⊥平面AB,C,F为AB,中点，因为 FP⊥BD,所以P点轨迹是过点F且平行于平面AB,C的平面，即为平面FGMNHK, 其中G,M,N,H,K分别为所在棱上的中点，故当P在底面ABCD上运动，且满足PF⊥BD时， P点的运动轨迹为线段MN,其中M,N分别为AD,CD中点，易知六边形FGMNHK为正六边形，所以 当P与M重合时，FPLMN,此时FP为点P到直线MN的垂线段，取得最小值，为256，故C错误： 对于选项D:①当点P在侧面CC,DD上时（不包括正方形的边界），过点P作平面ABCD的垂线， 垂足为H,连接AH,根据正方体易知PH⊥平面ABCD,则∠PAH为PA与平面ABCD 所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH,在Rt△ADH中，由AH>AD=2, D A 但是PH=AH<2,矛盾，故点P不能在侧面CCDD上（不包括正方形的边界）， 同理，点P不在侧面BB,C,C上（不包括正方形的边界） ②当点P在上底面AB,CD上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G,连接AP,AG, 根据正方体易知PG⊥平面ABCD,且四边形APGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角， 故∠PAG=45°，所以PG=AG=2,所以AP=AG=2,此时点P的轨迹是以A为圆心， 第2页，共6页 2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为年×2x×2=元； ③当点P在侧面AADD或侧面AABB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB,AD上，都符合题 意，此时点P的轨迹长为4√2，综上所述，点P的轨迹长度为π+4v2,故D正确.故选：ABD, 11.【答案】BCD【解析】因为f(x)为R上的奇函数，故f(-x)=-f(x),而f(x+1)是偶函数，故 f+)=f(x+)=-f-D,所以f(x+2)=-f(x),故f:4三x+?=x,所以f(x)的周期为4，故B正确： 由f+小=+，可得-2-，当eD时，2xe@儿所以f=f2-=兰，放A错误 因为f)为R上的奇函数，故f0=0,而f0=丰，由fc+?=一)，可得f2)=-f0=0, f(3)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 506f0+f2+fB)+f41+f2025=j0▣ 当x∈@，小了)二>0.枚f)在Q,】上单调递，结合f)的周期性和对称性可得函数的图象，如 图所示：而f(x)=lgx的解的个数可以看成y=f(x), yf(x) -1086 4-2X-/12X /461 7810x y=g|x|两个图象交点的个数，而g10=1,结合图象可 y=lgkxl 得y=f(x),y=lg|x|两个图象在y轴右侧交点的个数为5个，因g|-10=1,由图可得两个函数在y轴 左侧交点的个数为5个，故共10个交点， 故f(x)=lg|x|恰有10个不同的解，故D正确.故选：BCD, 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分。 12.【答案】2√5【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,2z-元=2(a+bi)-(a-bi)=a+3bi, 又2z-元=4-6i,则a+3bi=4-6i,所以a=4,3b=-6,即a=4,b=-2,所以z=4-2i, 则|z上V42+(-2)2-2W5.故答案为：25. 13.【答案】243【解析】因为1+x)5=a。+4x+a2x2+…+ax,令x= ,得 智4片字太+克两边时双以用4a483时 14.【答案】8【解析】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ月EE,所以四边形PEQF 为矩形，设|PE上m,|PF,上n,由椭圆的定义可得|PE+PF,上m+n=2a=8,所以m2+2n+n2=64, 因为|PEP+|PE PHFEP=4c2=4(a2-b2)=48,即m2+n2=48,所以mn=8, 第3页，共6页 所以四边形PFQF,的面积为PE‖PF=n=8.故答案为：8. 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分。 15.【答案】(1)零假设为H。:该公司员工对薪资的满意度与入职年限无关. 经计算得x2=100x20x20-20x40-25=278>2706, 40×60×60×40 9 依据小概率值a=0.1的独立性检验，推断零假设H。不成立， 即公司员工对薪资的满意度与入职年限有关，此推断犯错误的概率不大于0.1； (2)对薪资满意的员工共60人，其中不少于2年：20人，少于2年：40人， 抽取2人均为少于2年概率：P=C=780-26 C%177059 16.【答案】(I)证明：因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC,因为四边形ABCD为 菱形，所以AC⊥BD,又PD,BDC平面PBD,且PDOBD=D,所以AC⊥平面PBD, 又ACC平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD (2)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD, 又CD中平面ABE,ABC平面ABE,所以CD∥平面ABE, 又CDC平面PCD,且平面ABEO平面PCD=EF,所以EF∥CD, (③)解：取AD的中点H,连接BH,EH, 因为四边形ABCD为菱形，AB=4,∠BAD=T，所以BH LAD,BH=2√5， 3 由PE=2ED,PD=3,得ED=1,因为PD⊥平面ABCD,BHC平面ABCD,所以PD LBH, 又AD,PDC平面PAD,ADOPD=D,所以BH⊥平面PAD, 所以∠BEH为直线BE与平面PAD所成的角，所以am∠BEH=B-25-2压 HE +25 即BE与平面PAD所成角的正切值为21下 7.【答案1解：0令f)=sin(or-经)2二0，得or-2n =2r+6或m-号2总，e. 6 6 521 义由a,=5可得60一3云元，于是o=不 6 6 四由号+2号号+2乙，解得f)在哈2江名+2e乙上单词适猫： 由元+2kπ≤πx- π≤ 3 23元+2kk∈Z,解得f(x)在[6+2k,。+2k∈Z)上单调递减 2 7 所以fx)在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减。 6 综上所达，的单调相区间为哈2必名+2e2),且在Q子上单调递猫，在名，2)上单调运减： 6 第4页，共6页 (③)由)知1口，)的奇数项为以a=三为首项，T=2为公差的等差数列， 1 3 n-二，n为奇数 偶数项为以4=。为首项，T=2为公差的等差数列，于是an={ 6 n- 2n为偶数 当n为偶数时，Sn=2 a+a2+a-1+a）32+n: 2 6 当n为奇数时，S.=S-a1= 2+1)+(n+0-[n+)-]=3n+n 6 6 3n2+n+1 n为奇数 6 综上所述.Sn= 3+”,为偶数 6 18【答案0设椭圆的半焦距为c,则由题意得S=5,且a=2+2,a-V2b: 2,1 将A(5,)代入椭圆方程得。十疗1，结合a=V,得B=2a=4,所以椭圆C的方程为 + -=1: 42 2依题意得B(-V5,-,设P6),因为点P在椭圆C上，所以y2=2- t-vkon=+1 2,=y-1 x+2 kw=y-y+l=-11- 2 。_1,所以直线AP和BP的斜率之积为定值- 2 x-V2x+√2x2-2x2-22 y= 岭 x+t ③)设直线1的方程为y= x+t,M、N两点的坐标分别为(x,y),(x2,y2),由 2 2 消去y, x2 =1 4+21 整理得x+√2x+2-2=0,由△=22-4(2-2)>0可得12<4，由直线1不过点A可得t≠0， 所以写+x=,x写=-2，w=G-+(y-y-++P-45-54-F, 点A到w%为=会，3专w447号4F 3 9:4-32「+42，当且收当P4P,即1士2时等取 -X- 22 即△AMN面积最大，且最大值为√2，此时直线I的方程为y= 2 第5页，共6页 19.【答案】(I)证明：由题意，令h(x)=f'()=e+2ax,(x)=e+2a, 当a>0时，M>0,所以0在R上单润送增，因为云=e云-10.0)=1>0， 所以存在唯一的无∈1,0)，使得f)=0. 2a (2)极值点满足f'(x)=e+2ar=0,即e=-2ax: 若a≥0，则"(x)严格单调递增（因为f"(x)>0),至多有一个零点，故不可能有两个极值点： 若a<0,则f'(x)先减后增，存在最小值点x=n(-2a); 最小值为：f'(In(-2a)=-2a+2an(-2a)=2aln(-2a)-1. 要使f'(x)有两个零点，需最小值小于0，即2)0a-<由于a<0,则21a0>,.ln(-2a)>1, -2a>e,a<-￡当x→-0，f'(x)→+m,当x→+0，f"(x)→+0， 2 当a= 号时，最小值为0，仅有一个极值点（重根），故排除，因此，a的取值范围为(m一： 8当a<0时，对f数的<日月，f=e+a<1+a<1+a。16-a--0=b 所以对任意的实数b,f(x)≥b不可能恒成立； 当a=0时，f(x)=e,要使f(x)>b恒成立，只需b≤0，所以a-b=-b>0; 当a>0时，由（④可得存在唯一的。∈(2a ,0),使得f(,)=0,且f00eDx。,f)<0台x<6: 所以f(x)在(-0，x)上单调递减，在(x,十0)上单调递增， 从而f(x)m=f(x)=e+ax,因为f(x)≥b恒成立，所以e+ax≥b,故a-b>a-e-ax①， 又f)=c+2a=0,所以a=名，代入不等式0可得a--之-e0- 整理得：4-bG2，-e,设g附-任-2-E.(c<0, 2x。 2x 则g-任--x+e--P+E,所以g>0台-1≤x<0,g<0台x<-1, 2x2 2x2 故g)在(-0，-)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，从而g)Pg)=-】 e 所以a-R加-当a2 a=,b=3时取等号，综上所述，a-b的最小值为- 2e 2e 第6页，共6页