2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练专题 1.14 平面直角坐标系与一次函数（学情检测卷）（全国通用）

专题 1.14 平面直角坐标系与一次函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） 2．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 8．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 12．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ． 13．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 14．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 15．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 16．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 17．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 18．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 20．（本小题满分8分）（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 21．（本小题满分10分）（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 23．（本小题满分10分）（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.14 平面直角坐标系与一次函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 3．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 7．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 8．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 9．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 14．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 15．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 16．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 17．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 18．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 20．（本小题满分8分）（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 21．（本小题满分10分）（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 22．（本小题满分10分）（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 23．（本小题满分10分）（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)存在， 【分析】（1）①时，，利用的性质求解最大值和最小值，即可得解； ②按照和分类讨论，利用的性质求解最大值和最小值，即可求解； （2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解. 【详解】（1）解：①时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； ②∵，， ∴当时，y随x的增大而增大， 时，，时，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴时，，时，， ∴， 综上，； （2）解：∵， ∴时，， ①当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ②当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ③当时，，， 时，， ∴， ∴时，； ④当时，时，， 时，， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为， ∴， ∴符合题意． 【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，t的取值范围的取舍． 24．（本小题满分12分）（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $