专题 1.13 平面直角坐标系与一次函数（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.13 平面直角坐标系与一次函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】平面直角坐标系 2 【知识点二】函数 3 【知识点三】几种基本函数（定义→图象→性质） 3 二.题型分类精析 5 （一） 基础篇 5 【考点一】平面直角坐标系与点的坐标特征 5 【题型1】平面直角坐标系中点的位置 5 【题型2】平面直角坐标系中点的对称、平移、旋转中点的坐标 6 【题型3】平面直角坐标系中点到坐标轴的距离 9 【题型4】建立平面直角坐标系求点的坐标或求值 12 【考点二】函数的基本概念 14 【题型5】函数的基本认识 14 【题型6】函数值或函数取值范围 15 【考点三】待定系数法求一次函数解析式 17 【题型7】求一次函数解析式 17 【考点四】一次函数的图象与性质 19 【题型8】正比例函数的图象与性质 19 【题型9】一次函数的图象位置与K、b值关系 21 【题型10】一次函数的增减性比较函数值或自变量值的大小 22 【题型11】一次函数图象与坐标轴交点 24 【考点五】一次函数的基础实际应用（中考必考，解答题基础问） 27 【题型12】一次函数与行程问题 27 【题型13】一次函数与营销问题 30 （二） 培优篇 33 【考点六】平面直角坐标系中的动态问题 33 【题型14】平面直角坐标系中平移、旋转、折叠综合求解 33 【考点七】一次函数的性质综合应用 42 【题型15】一次函数与利润最值问题 42 【题型16】一次函数图象与分段函数问题 46 【考点八】一次函数与方程、不等式综合 49 【题型17】一次函数图象与一元一次方程 49 【题型18】一次函数图象与一元一次不等式 54 三.中考真题专练 58 一、单选题（10题） 58 二、填空题（6题） 67 三、解答题（4题） 75 一.知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来. 2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限； 点P(x,y)在第二象限； 点P(x,y)在第三象限； 点P(x,y)在第四象限； 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数； 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于； （3）点P(x,y)到原点的距离等于. 【知识点二】函数 1.函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 2.自变量的取值范围 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义. 3．表示方法 ⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 特别提示： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义. 【知识点三】几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质　 （1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数． （2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象： 　 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． 　　　　　　　　　　 　　　　 （3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质 ①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质　　 （1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． （2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (3)一次函数的图象与k、b之间的联系 特别提示 （1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （1） 基础篇 【考点一】平面直角坐标系与点的坐标特征 【题型1】平面直角坐标系中点的位置 【★例题1】（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 【★变式1】（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系，依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【详解】解：由题意，联立方程组， ， ， 在第二象限． 故选：B． 【★★变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，第二象限的点坐标的特征．熟练掌握列举法求概率，第二象限的点坐标的特征是解题的关键． 由题意知，在第二象限，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，在第二象限， ∴任选一个点恰好在第二象限的概率是， 故答案为：． 【题型2】平面直角坐标系中点的对称、平移、旋转中点的坐标 【★例题2】（2025·河南南阳·三模）如图，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上，将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及坐标与图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出正方形平移的距离是解题的关键．利用正方形的性质，可得出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，再结合平移的性质，即可得出点的坐标． 【详解】解：边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上， 点的坐标为，点的坐标为， 将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，则时，， 解得， 点的对应点的坐标为， 即当点落在函数的图象上时，正方形往右平移（个单位长度）， 此时点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律． 已知点A坐标为，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标的相反数为2，由此可确定点B的坐标为． 【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．   已知点，其纵坐标为(保持不变)，横坐标的相反数为2，故点B的坐标为．   故选：C． 【★★变式2】（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 【★★变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的顶点A，D分别在x轴、y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴、y轴于点E，F．将正方形沿x轴向右平移n个单位长度后，点D 恰好落在直线l上，则n的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，证明，即可得到的长，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线的解析式，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点， 则， ∴， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 将正方形沿y轴向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上， 设平移后点， ， 解得， 故答案为：2． 【题型3】平面直角坐标系中点到坐标轴的距离 【★例题3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0得到，据此可求出，则，由此即可得到答案； （2）根据第二象限内的点横坐标为正，纵坐标为负得到，再由点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在第二象限， ∴， ∵到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 【★变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知点，则点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及坐标与图形性质，理解点的坐标的几何意义是解题关键．根据点，利用勾股定理即可求出点P到原点的距离． 【详解】解：∵点P坐标为， ∴P到原点的距离为， 故答案：． 【★★变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，解直角三角形，勾股定理，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，得到，得到，勾股定理求出，，代入即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， 的坐标是， ，， ， ，， ， ， 解得：． 故选：A． 【题型4】建立平面直角坐标系求点的坐标或求值 【★例题4】（2024·安徽滁州·三模）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，在坐标系中确定点的坐标，根据点B，C的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标； 【详解】建立平面直角坐标系如图所示： ， 故答案为：； 【★变式1】（2025·山西大同·三模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点右2个单位，下1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：B． 【★★变式2】（2023·宁夏银川·二模）如图是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点的坐标为． (1)画出该平面直角坐标系； (2)画出线段关于轴对称的线段； (3)画出一个以线段为边的四边形，使其是中心对称图形且面积为9． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，轴对称及中心对称的性质-，熟练掌握各性质是解题的关键． （1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据轴对称的性质，即可画出线段； （3）根据中心对称的性质，画出一个以线段为边的四边形，且面积为9． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）如图，即为所求： （3）如图，四边形即为所求． 【考点二】函数的基本概念 【题型5】函数的基本认识 【★例题5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量对应，不符合函数的定义，不能表示是的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； 故选：B． 【★变式1】（2023·广东东莞·模拟预测）下列各函数有两个自变量的是（   ） A．圆的面积 B．三角形的面积 C．长方体的体积 D．函数 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可判断求解． 【详解】解：A、圆的面积中，是因变量，是自变量，该选项不符合题意； B、三角形的面积中，是因变量，和是自变量，该选项符合题意； C、长方体的体积中，是因变量，、和是自变量，该选项不符合题意； D、函数中，是因变量， 是自变量，该选项不符合题意． 故选：B． 【★★变式2】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【答案】①②③ 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 【题型6】函数值或函数取值范围 【★例题6】（2025·内蒙古包头·三模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为厘米，单层部分的长度为厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度 单层部分长度 (1)根据表中数据规律，求与的函数关系式； (2)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）根据“背带的长度单层部分的长度双层部分的长度”列关于的方程并求解，即双层部分的长度，再根据“单层部分的长度背带的长度双层部分的长度”计算此时单层部分的长度即可． 【详解】（1）解：由表格可知，双层部分长度增加，单层部分长度减小， 则， 与的函数关系式． （2）解：， 解得：， ， 答：此时单层部分的长度为． 【★变式1】（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 【★变式2】（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 【考点三】待定系数法求一次函数解析式 【题型7】求一次函数解析式 【★例题7】（2024·广东·模拟预测）已知直线过点． (1)求； (2)求线段的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵直线过点 ∴， 解得； （2）设坐标原点为， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得． 【★变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（    ） … 1 3 … … 2 … A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数求函数解析式，求函数值．根据一次函数的定义，设解析式为，利用已知两组对应值求出和，得到该函数解析式，再代入计算． 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴该一次函数解析式为， 当时，， ∴． 故选：D． 【★★变式2】（2025·广东广州·模拟预测）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意得出一次函数的图象也经过点，进而根据待定系数法即可求得． 【详解】解；由题意可知，一次函数的图象也经过点，即， ∴， 解得：， ∴此函数表达式是， 故答案为：． 【考点四】一次函数的图象与性质 【题型8】正比例函数的图象与性质 【★例题8】（23-24八年级下·四川眉山·期中）正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】或． 【分析】此题考查了一次函数的性质．设点P的坐标为，根据的面积为4得到，解得或，即可求出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为4， ∴，即 解得或， ∴点P的坐标为或． 【★变式1】（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意列表表示出所有可能得情况，然后根据正比例函数的图象经过第一、三象限则，据此求解即可． 【详解】解：列表如下： 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 共有12种等可能结果，其中满足的有2种， 则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是． 故答案为：． 【★★变式2】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【题型9】一次函数的图象位置与K、b值关系 【★例题9】（2023·广东茂名·模拟预测）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则一次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、三象限， ， ∴， ∴一次函数的图象必经过二、四象限， 又， 一次函数的图象与轴交于负半轴， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 【★变式1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 【★变式2】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把代入正比例函数，解得：，然后可得，然后即可求解 【详解】解：把代入正比例函数，解得：， 把代入一次函数， ∴一次函数解析式为， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 【题型10】一次函数的增减性比较函数值或自变量值的大小 【★★例题10】（2025·山西临汾·三模）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．根据当时，y随x的增大而增大进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 【★变式1】（2025·江苏镇江·二模）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握k的符号如何决定函数的增减性是解题的关键． 先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】∵直线，其中． ∴根据一次函数性质，当时，随的增大而减小． ∵三点的横坐标分别为，，， ∴． ∵随增大而减小， ∴对应的纵坐标大小关系为． 故选：A． 【★★变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由 中可知随增大而减小，因此，值越大，对应的值越小，又，，都在的图像上，且，所以，即，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵中 ， ∴ 随增大而减小， ∵，，都在的图像上，且， ∴，即， 故选：． 【题型11】一次函数图象与坐标轴交点 【★例题11】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为， (1)求点A的坐标； (2)若直线与直线有交点，求的面积； (3)在（2）的条件下，y轴是否存在点P使得面积与面积相等，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为； (2) (3)存在，P点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算等知识． （1）令，求得，即可得到点A的坐标； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，得到点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）利用三角形的面积公式求得面积，再利用，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； （2）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点B的坐标为； ∴的面积； （3）解：∵点A的坐标为，点， ∴面积， ∵面积与面积相等， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 【★★变式1】（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，过点作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论． 【详解】解：对于一次函数，令，得，令，则， ∴，． ∴，． 如图，过点作交于，过作轴于，则， ， 是等腰直角三角形． ． ， ， ∵， ． ，． ∴． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 【★★变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题． 先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【详解】解：分别令两直线中， 则，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点五】一次函数的基础实际应用（中考必考，解答题基础问） 【题型12】一次函数与行程问题 【★例题12】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙两地相距，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（单位：）表示列车行驶的时间，（单位：）表示列车与甲地之间的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，是的一次函数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． （1）根据题意，首先计算得出与之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，列车与乙地的距离表示为：（）， 甲、乙两地相距， 列车与甲地之间的距离表示为：， ， 是的一次函数． （2）当时，． 【★★变式1】（2025·内蒙古包头·三模）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小明出发第分钟时离家 B．跑步过程中，小明离家的最远距离为 C．当时，与之间的函数表达式为 D．小明出发第分钟时，开始按原路返回 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与行程的数量关系，理解函数图象，行程问题的数量关系是关键． 当时，速度为，由行程数量关系可判定A选项；根据图示，分别算出每段的路程，由于是往返，总路程除以2即可判定B选项；根据行程中的数量关系可判定C选项；根据题意得到第分钟时的路程，结合此次行程最远路程判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：当时，速度为， ∴小明出发第分钟时，，故A选项正确，不符合题意； 当时，速度为，当时，速度为， ∴小明离家的距离依次为：， ∴，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，小明的路程为，此时小明未到达最远处，没有原路返回，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 【★★变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（虹绿灯，堵车等）．他从家到机场需要的时间是 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键． 根据题意可得当时，y与x的函数关系式，再把代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 设当 时，y与x的函数关系式为 ， 根据题意，得 ：，解得 ， ∴ ， 当 时，，解得 ， （分钟）． 故答案为：20． 【题型13】一次函数与营销问题 【★例题13】（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 【★变式1】（2022·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【答案】 400 22800 【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元， 根据题意，得：， ∴y=-4x+2000， 由x≥-4x+2000得：x≥400， ∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000， ∵-3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元）， 故答案为：400，22800． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题． 【★★变式2】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 （2） 培优篇 【考点六】平面直角坐标系中的动态问题 【题型14】平面直角坐标系中平移、旋转、折叠综合求解 【★★例题14】（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换，如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平移，旋转，解直角三角形的计算，理解新定义，解直角三角形的计算是关键． 根据题意作图分析，先得到平移点，，，则是等腰直角三角形，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点先向上平移个单位得到，将点绕原点顺时针旋转得到点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【★★变式1】（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先由点坐标和长度求出，然后根据折叠性质可知，，在中求出（即），最后在中设未知数，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形OADH，四边形OBCH都是矩形， ∴DH=OA，CH=OB，OH=AD=BC， ∵点的坐标为，， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴点坐标为，点纵坐标为， 由折叠性质可知．． ∴HF=OH-OF=4 设，则，． 在中，根据勾股定理 ∴，即． 展开式子得， 移项化简得， 解得． ∵， ∴点的横坐标为． 故选：B 【点睛】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及平面直角坐标系的相关知识．解题关键在于利用折叠性质得到相等的线段，结合勾股定理建立方程求解线段长度，进而确定点的坐标． 【★★变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 【题型15】平面直角坐标系中与几何综合求值证明 【★★例题15】（2022·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，轴对称的性质，作点作关于直线的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，，根据正方形的性质可得点在上，即点在正半轴上，，利用勾股定理可求出的长，根据轴对称的性质和两点之间，线段最短可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：作点作关于直线的对称点，连接、， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵四边形是边长为3的正方形，为对角线，点和点关于中心对称，点在上， ∴点在上，即点在正半轴上， ∴根据勾股定理得； ∵， ∴由两点之间，线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【★★变式1】（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，由等边三角形的性质可得，进而可知即得，从而可得，，由勾股定理求出，此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∴点的坐标为， 故答案为：． 【★★变式2】（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为，点在边上，其坐标为，连接AC，BD相交于点，点在上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键；连接，交于点，过点作交于点，根据正方形的性质可得，，根据三线合一可得，进而根据相似三角形的性质得出的坐标，根据中点坐标公式，求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴，即 故答案为：． 【★★变式3】（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或2或 【分析】（1）根据，得到，结合，推出，得到，然后问题可求证； （2）根据题意可分①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由题意可分： ①当时，过点B作轴于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴； ②当时， 在中，由勾股定理得； ③当时， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或2或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想及分类讨论的思想是解题的关键． 【考点七】一次函数的性质综合应用 【题型15】一次函数与利润最值问题 【★★例题14】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可； （2）根据题意可知利润为，根据获得利润8000元，列出方程，解方程即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个， ∴， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴， ∴． 即，其中． （2）根据题意，得， 解得， ， ； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 的对称轴为直线， ， ， 当时，随的增大而增大， 时，取得最大值， ， 解得． 【★★变式1】（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； (3)该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解一元二次方程，根据题意列出函数关系式，再根据二次函数以及一次函数的性质求最值是解题的关键． （）根据销售量等于原来的销售量减去减少的销售量列式求解即可； （）根据题意表示出日销售利润，再由利润率不得高于，则有，解得，然后利用二次函数的性质求解即可； （）先根据日销售利润不低于元求出售价的范围，设该超市购进这批元宵的进货总成本为元，根据题意用表示出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∵利润率不得高于， ∴，解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解得：，， ∵， ∴当时，日销售利润不低于元， 设该超市购进这批元宵的进货总成本为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小，   ∴当时，有最小值，最小值为， 答：该超市购进这批元宵的日进货总成本最低为元． 【★★变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 【题型16】一次函数图象与分段函数问题 【★★例题16】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用； （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可； （3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果． 【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为； （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； （3）选择方案一花费更少． 理由：根据图象可知：当时，；当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． 【★★变式1】（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 【★★变式2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 【考点八】一次函数与方程、不等式综合 【题型17】一次函数图象与一元一次方程 【★★例题17】（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质画出直线； （2）利用平移的规律求得直线的解析式； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图， （2）将直线向右平移5个单位长度得到直线为； 故答案为：； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， ∵与x轴交于，与y轴交于， 与x轴交于，与y轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与之间的距离为个单位长度， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键． 【★★变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B、一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故B错误，不符合题意； C、直线过， ， ， ； 故C错误，不符合题意； D、由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 【★★变式2】（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型18】一次函数图象与一元一次不等式 【★★例题18】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， ； （3）解：由函数图象可知，当时，． 【★★变式1】（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键，当的图象位于的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是， 故选：A． 【★★变式2】（2025·四川内江·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键．当点P在上时，过点A作于点M，利用等面积法求出，再由，即可求解；当点P在上时，同理可解；描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解；图象过和、时，为符合题意的临界点，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，则， 过点A作于点M， 在平行四边形中，，，， 则， 则， 即， 则， 则； 当点P在上时，则， 则， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 的图象是方向固定的一条直线，m为其与y轴的交点的纵坐标， 当图象过时，则， 当图象过时，则，则， 当图象过时，则，则， 通过平移直线，可知的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围为或， 故答案为：或． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 6．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 7．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ，点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ，点D为边的中点， ， 故选：A． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 9．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 13．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 14．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 15．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 三、解答题（4题） 17．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 18．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 19．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 20．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.13 平面直角坐标系与一次函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】平面直角坐标系 2 【知识点二】函数 3 【知识点三】几种基本函数（定义→图象→性质） 3 二.题型分类精析 5 （一） 基础篇 5 【考点一】平面直角坐标系与点的坐标特征 5 【题型1】平面直角坐标系中点的位置 5 【题型2】平面直角坐标系中点的对称、平移、旋转中点的坐标 5 【题型3】平面直角坐标系中点到坐标轴的距离 6 【题型4】建立平面直角坐标系求点的坐标或求值 7 【考点二】函数的基本概念 8 【题型5】函数的基本认识 8 【题型6】函数值或函数取值范围 8 【考点三】待定系数法求一次函数解析式 9 【题型7】求一次函数解析式 9 【考点四】一次函数的图象与性质 10 【题型8】正比例函数的图象与性质 10 【题型9】一次函数的图象位置与K、b值关系 10 【题型10】一次函数的增减性比较函数值或自变量值的大小 11 【题型11】一次函数图象与坐标轴交点 12 【考点五】一次函数的基础实际应用（中考必考，解答题基础问） 12 【题型12】一次函数与行程问题 13 【题型13】一次函数与营销问题 13 （二） 培优篇 14 【考点六】平面直角坐标系中的动态问题 14 【题型14】平面直角坐标系中平移、旋转、折叠综合求解 14 【考点七】一次函数的性质综合应用 16 【题型15】一次函数与利润最值问题 16 【题型16】一次函数图象与分段函数问题 17 【考点八】一次函数与方程、不等式综合 19 【题型17】一次函数图象与一元一次方程 19 【题型18】一次函数图象与一元一次不等式 20 三.中考真题专练 21 一、单选题（10题） 21 二、填空题（6题） 23 三、解答题（4题） 25 一.知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来. 2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限； 点P(x,y)在第二象限； 点P(x,y)在第三象限； 点P(x,y)在第四象限； 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数； 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于； （3）点P(x,y)到原点的距离等于. 【知识点二】函数 1.函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 2.自变量的取值范围 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义. 3．表示方法 ⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 特别提示： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义. 【知识点三】几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质　 （1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数． （2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象： 　 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． 　　　　　　　　　　 　　　　 （3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质 ①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质　　 （1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． （2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (3)一次函数的图象与k、b之间的联系 特别提示 （1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （1） 基础篇 【考点一】平面直角坐标系与点的坐标特征 【题型1】平面直角坐标系中点的位置 【★例题1】（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★变式1】（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★★变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是 ． 【题型2】平面直角坐标系中点的对称、平移、旋转中点的坐标 【★例题2】（2025·河南南阳·三模）如图，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上，将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，点的对应点的坐标为 ． 【★变式1】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是(    ) A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【★★变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的顶点A，D分别在x轴、y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴、y轴于点E，F．将正方形沿x轴向右平移n个单位长度后，点D 恰好落在直线l上，则n的值为 ． 【题型3】平面直角坐标系中点到坐标轴的距离 【★例题3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【★变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知点，则点到原点的距离是 ． 【★★变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 【题型4】建立平面直角坐标系求点的坐标或求值 【★例题4】（2024·安徽滁州·三模）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【★变式1】（2025·山西大同·三模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2023·宁夏银川·二模）如图是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点的坐标为． (1)画出该平面直角坐标系； (2)画出线段关于轴对称的线段； (3)画出一个以线段为边的四边形，使其是中心对称图形且面积为9． 【考点二】函数的基本概念 【题型5】函数的基本认识 【★例题5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2023·广东东莞·模拟预测）下列各函数有两个自变量的是（   ） A．圆的面积 B．三角形的面积 C．长方体的体积 D．函数 【★★变式2】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【题型6】函数值或函数取值范围 【★例题6】（2025·内蒙古包头·三模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为厘米，单层部分的长度为厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度 单层部分长度 (1)根据表中数据规律，求与的函数关系式； (2)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 【★变式1】（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【★变式2】（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【考点三】待定系数法求一次函数解析式 【题型7】求一次函数解析式 【★例题7】（2024·广东·模拟预测）已知直线过点． (1)求； (2)求线段的长度． 【★变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（    ） … 1 3 … … 2 … A．6 B． C．2 D． 【★★变式2】（2025·广东广州·模拟预测）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是 ． 【考点四】一次函数的图象与性质 【题型8】正比例函数的图象与性质 【★例题8】（23-24八年级下·四川眉山·期中）正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【★变式1】 【★★变式2】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【题型9】一次函数的图象位置与K、b值关系 【★例题9】（2023·广东茂名·模拟预测）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型10】一次函数的增减性比较函数值或自变量值的大小 【★★例题10】（2025·山西临汾·三模）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·江苏镇江·二模）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【★★变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【题型11】一次函数图象与坐标轴交点 【★例题11】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为， (1)求点A的坐标； (2)若直线与直线有交点，求的面积； (3)在（2）的条件下，y轴是否存在点P使得面积与面积相等，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【★★变式1】（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值是 ． 【考点五】一次函数的基础实际应用（中考必考，解答题基础问） 【题型12】一次函数与行程问题 【★例题12】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙两地相距，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（单位：）表示列车行驶的时间，（单位：）表示列车与甲地之间的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当时，求的值． 【★★变式1】（2025·内蒙古包头·三模）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小明出发第分钟时离家 B．跑步过程中，小明离家的最远距离为 C．当时，与之间的函数表达式为 D．小明出发第分钟时，开始按原路返回 【★★变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（虹绿灯，堵车等）．他从家到机场需要的时间是 分钟． 【题型13】一次函数与营销问题 【★例题13】（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【★变式1】（2022·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【★★变式2】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2） 培优篇 【考点六】平面直角坐标系中的动态问题 【题型14】平面直角坐标系中平移、旋转、折叠综合求解 【★★例题14】（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换，如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 . 【★★变式1】（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【★★变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【题型15】平面直角坐标系中与几何综合求值证明 【★★例题15】（2022·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为 ． 【★★变式1】（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点A的坐标为 ． 【★★变式2】（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为，点在边上，其坐标为，连接AC，BD相交于点，点在上，且，则点的坐标为 ． 【★★变式3】（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，当为等腰三角形时，求的值． 【考点七】一次函数的性质综合应用 【题型15】一次函数与利润最值问题 【★★例题14】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【★★变式1】（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【★★变式2】（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【题型16】一次函数图象与分段函数问题 【★★例题16】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【★★变式1】（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【考点八】一次函数与方程、不等式综合 【题型17】一次函数图象与一元一次方程 【★★例题17】（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 【★★变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【★★变式2】（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【题型18】一次函数图象与一元一次不等式 【★★例题18】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【★★变式1】（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·四川内江·模拟预测）如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围 ． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 8．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 13．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 14．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 15．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 三、解答题（4题） 17．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 18．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 19．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 20．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $