精品解析：河南省方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【详解】 在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 2. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得圆台的上、下底面的半径，作出圆台的轴截面，根据圆台的侧面积公式计算出母线长，再利用勾股定理求出圆台的高即可． 【详解】做圆台的轴截面，如图： 由题意得圆台的上，下底面的半径分别为2，6， 设圆台的母线长为，高为，则该圆台的侧面积 ，解得， 所以. 故选：C. 3. 已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 4. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D． 【考点】异面直线 【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段法来确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得. 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 所以，所以. 故选：D. 7. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量数量积公式、平行性质、模的定义与夹角余弦公式计算即可得. 【详解】对A：，则，故A正确； 对B：由，则，解得，故B错误； 对C：，则，故C错误； 对D：，化简得， 解得，但当时，，故舍去， 故，故D错误. 故选：A. 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. B. C. 是锐角 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】运用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，和角的正弦公式等，逐一判断即可. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：，故B正确． 对于C：，所以为钝角，故C错误． 对于D：因为， 所以，故D错误． 故选：AB. 10. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】在等腰梯形中求出判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D. 【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为，即与弧相离， 所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确. 故选：ABD 11. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解. 【详解】由，所以， 由余弦定理有：， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； ，故C错误； 设的内切圆半径为，则有， 即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 函数在上的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域． 【详解】解：当时，函数 在上是增函数， 故当时，函数取得最小值为1， 又，故函数的值域为， 故答案为：． 13. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：. 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 某工艺品售卖店为了更好地售卖工艺品，对销售情况进行了调查研究，通过对每天销售情况的调查，发现该工艺品在过去一个月（以30天计）内，每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系式为，日销售量（单位：件）与时间第天的函数关系式为.已知第10天的销售收入为505元. （1）求的值； （2）设过去一个月该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】（1） （2）441. 【解析】 【分析】（1）分别求出时的和的表达式，由题意，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）知的解析式，由条件得，分别讨论和两种情况，求出的解析式，代入可得的解析式，根据基本不等式及函数的单调性，分别求出最小值，比较分析，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，第10天每件工艺品的销售价格为元， 第10天的销售量为件， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由题意， 当时，，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为441； 当时，，则， 因为与在均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 此时的最小值为， 显然，所以的最小值为441. 16. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，且向量的夹角为， 则， 则. 【小问2详解】 设，因为，且， 则，解得或， 所以或. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）9. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解. （2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知，，即为钝角，则， 又，则，， 由正弦定理得，则， 所以的周长为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用周期公式求解； （2）由，求出，利用余弦函数的单调性求解； （3）由为奇函数，得，进而求得答案. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当时，则， 所以当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 ， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下： ①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与 游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，直接写出函数的解析式； （3）在(2)的条件下，若，当时，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可列得分段函数，根据分段函数可求得累计经验值； （2）根据题意得到关系式； （3）将值代入，用均值不等式及基本函数单调性求的最小值，再做比较. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 【小问3详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 综合两个区间，由于在区间上的最小值为25，， 所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. B. C. 是锐角 D. 10. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 11. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 三、填空题 12. 函数在上的值域是_____. 13. 已知向量，，若，则________． 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 四、解答题 15. 某工艺品售卖店为了更好地售卖工艺品，对销售情况进行了调查研究，通过对每天销售情况的调查，发现该工艺品在过去一个月（以30天计）内，每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系式为，日销售量（单位：件）与时间第天的函数关系式为.已知第10天的销售收入为505元. （1）求的值； （2）设过去一个月该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 16. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的周长. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下： ①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与 游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，直接写出函数的解析式； （3）在(2)的条件下，若，当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $