精品解析：甘肃陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三5月考前模拟考试数学试卷

2026年陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学 高三5月考前模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合， ，则集合的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求解分式不等式确定集合，再结合交集运算和真子集计算公式即可求解. 【详解】由解得， 即， 故, 则集合的真子集的个数为. 2. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，得，则 由是上一点，得，点，所以. 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 对于A，是奇函数，且在上递增，在上递减，在上递减，符合图像，是的一个解析式，A正确. 4. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（　　） A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可． 【详解】数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d， 所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15． 故选C． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题． 6. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ， 此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选： D. 7. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 【答案】D 【解析】 【详解】正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等. 故选：D. 8. 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，根据极大值点和对称中心的个数，数形结合得到，求出答案. 【详解】，时，， 因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心， 故，解得. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ） A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数、极差、平均数、众数、方差、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分， 则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4， 则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立， 所以函数内容每一道题失分都不超过7分， 故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确； 对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8， 满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件， 由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误； 对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为 ， 则由平均数为3，方差为2.4可知，， 从而，若，则， 所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确； 对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12， 满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件， 由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误； 故选：AC 10. 已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与前项和公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，为等比数列，，则，，故A错误； 对于B，因为等比数列，则，又，因，故，即B正确； 对于C，当时，因，， 所以，故C正确； 对于D，由，得，则，所以， 又，即，又因为，即， 因，则得，故D正确. 11. 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，焦点三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项D，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论. 选项C，特殊点求解的值计算判断C. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，得 ，B错误； 对于选项D：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 ， 设，同理得 ，且 ，故 ，即，D正确； 对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， 设，因为，则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立， 可得或， 则，. 则，则的最小值不是4，C选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：将复数化为代数形式，根据复数为纯虚数求得后可得的虚部． 详解：由题意得． ∵复数是纯虚数， ∴， ∴， ∴的虚部为1． 点睛：本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，解题时要准确的到复数的代数形式，同时要注意复数的虚部是，而不是． 13. 现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）. 【答案】96 【解析】 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排列即可. 【详解】先安排最左边的位置，有4种方法，然后剩余的4人在四个位置上排列，有种， 故共有种. 14. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将 代入 ，构造直线方程，运用点到直线的距离求解. 【详解】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标， 则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值， 原点到直线的距离为 ， ， 令 ， ，当 时，, 是增函数， 在 时， ； 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 利用正弦定理：， 整理得：， 由于， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 ，， ，即， 解得（负值已舍去），则， . 16. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）（i）或；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解； （2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. 【小问2详解】 （ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. 【点睛】关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解. 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，与点重合 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直证明线线垂直； (2)解法1：设直线与平面所成角为，,到平面的距离是，利用求出，确定的位置. 解法2：建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置. 【小问1详解】 如图：取中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥， 取中点，中点，连接； 侧面为等腰梯形，故； 侧面底面，交线为，平面， 因此平面； 已知两底面距离为，即； 由相似比，得； 底面为正三角形，，则，； 在中，； 在中，； 设点到平面（即平面 ）的距离， 由，即， ，， 代入得：，解得； 设点到平面的距离， 由相似比，得； 设，点到平面的距离，由相似性：，、 得，其中； 作于，则，，， 由余弦定理：， ， 设直线与平面所成角为，则， 代入得：，化简得， 解得或（舍去），即点与重合, 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 解法2：设中点为，连接，则， 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面， 又底面，所以， 又，所以两两垂直， 故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为，即， 又三角形为正三角形，且， 则，设， 则， 设平面的法向量为， 则， 可取 设直线与平面所成的角为， 则， 由， 所以，故或（因为，故舍去）， 此时与点重合， 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队． （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？ （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）1440 （2）240 【解析】 【分析】（1）根据题意，先从6个团队中选5个，将其分成四组，再进行全排列，结合分步计数原理，即可求解； （2）先将A和B两个团队视为一个整体，将其分成四组，再进行全排列，即可求解. 【小问1详解】 解：先从6个团队中选5个，有种选法， 接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责， 则5个团队分为：2，1，1，1四组，有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列， 由分步计数原理，可得不同的安排方案有种. 【小问2详解】 解：先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法， 所以共有种不同的安排方案. 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解即可； （2）将原不等式转化为，利用导数求的单调区间进而求最小值即可； （3）构造，，利用导数可知在单调递增，利用单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即的最大值为. 【小问3详解】 由已知可得， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学 高三5月考前模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合， ，则集合的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 2. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 4. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（　　） A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 6. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 8. 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ） A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 10. 已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________． 13. 现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）. 14. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队． （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？ （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？ 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $