精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026 学年度第一学期高二数学期末试卷 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 4. 椭圆和椭圆有 A. 相等的长轴长 B. 相等的焦距 C. 相等的离心率 D. 相等的短轴长 【答案】B 【解析】 【分析】椭圆中，，，椭圆中，由，可知，即，，可知，，可判断出两个椭圆的焦距相等，长轴、短轴及离心率都不同. 【详解】椭圆中，，则，则长轴长为8，短轴长为4，焦距为，离心率； 椭圆中，因为，所以，即，. 因为，，所以两个椭圆的焦距相等，长轴、短轴及离心率都不同. 故选B. 【点睛】本题考查了椭圆的方程，椭圆的几何性质，属于基础题. 5. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 6. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用空间向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数关系即得解. 【详解】记，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为 故选：D. 7. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，把点到直线的距离的最大值转化为圆心到直线的距离与半径之和的最大值即可. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 8. 直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为可判断C，由二项式定理可判断B. 【详解】的展开式的通项为. 令，可得含项的系数为，故A错误； 第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，故B正确； 所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，可得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线为 B. 若，则 C. 若，则 D. 到距离最小为3 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的定义可判断A选项，由焦半径公式可计算点横坐标，代入抛物线方程可计算纵坐标，从而判断B选项，由点的坐标可计算长，可判断C选项，由点点距公式，结合二次函数的性质可判断D. 【详解】抛物线，则准线方程为：，故A正确； 若，则，故，代入抛物线方程可得：，故，故B错误； 由B选项可知，，则，故C正确； 到的距离为，当时，距离有最小值，故D不正确. 故选：AC 11. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 棱锥的体积为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系，结合向量的平行垂直可判断AB，由体积公式可判断C，由线面夹角的向量法可判断D. 【详解】 如图建系，， 则，显然不平行，即错误，故A错误； ，则， 即，故B正确； ，故C正确， 易知平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以， 所以， 所以，故D错误， 故选：BC 三、填空题 12. 若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线性质得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 13. 已知，则__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质，建立关于的方程求解. 【详解】由组合数的性质，得或，解得或． 经检验和均满足且，故的值为4或7. 故答案为：4或7 14. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解. 【详解】， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题 15. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【小问1详解】 由投影向量的定义， 在上的投影向量为. 【小问2详解】 若，则，所以， 所以 【小问3详解】 若，则，所以，进而. 16. ①经过点；②与轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 问题：已知圆经过点，点，__________. （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程. 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 选择任意条件①②③， （2）或 【解析】 【分析】（1）选①把三个点代入圆的一般方程求得结果；②利用圆心在线段的中垂线上以及与轴相切，半径为2确定圆心坐标，写出圆的方程；③圆心在线段的中垂线上和直线上，求出圆心坐标及半径，写出圆的方程. （2）分成直线斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用进行求解. 【小问1详解】 选①.设圆的方程为， 因为圆经过三点， 所以，解得. 所以圆的方程为，即. 选②.由点，得线段的中垂线方程为. 则圆心在直线上， 设圆的圆心坐标为， 又由圆与轴相切，可知圆心在轴上方 由半径为2，得，所以. 所以圆的方程为. 选③.由点，得线段的中垂线方程为. 则圆心在直线上， 因为圆被直线平分，则圆心在直线上. 由解得所以圆心坐标为， 所以半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以直线的方程为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 综上，直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明: 取的中点N，连接，，如图所示： 在中，因为M，N分别是棱，的中点，所以为的中位线， 所以，且，易知，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段中点N，连接，，易证四边形是平行四边形，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由已知，，，所以， 即，得，因为底面，所以，由于为等腰三角形，所以， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为为棱的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即平面的一个法向量为， 又平面，平面，所以，由， 且，、在平面上，所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面所成夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 【答案】（1） （2）长轴长为，短轴长为， 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程； （2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意得， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 将代入中得，， 不妨设， 显然⊥轴，故. 19. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】（1） （2）是，定值为3 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. 【小问2详解】 易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第一学期高二数学期末试卷 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 椭圆和椭圆有 A. 相等的长轴长 B. 相等的焦距 C. 相等的离心率 D. 相等的短轴长 5. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 含项的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数之和为32 D. 所有项的系数之和为 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线为 B. 若，则 C. 若，则 D. 到距离最小为3 11. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 棱锥的体积为 D. 与平面所成角的正切值为 三、填空题 12. 若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=______ 13. 已知，则__________ 14. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 四、解答题 15. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 16. ①经过点；②与轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 问题：已知圆经过点，点，__________. （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程. 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 18. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 19. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $