1.5 角平分线 寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.5角平分线寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（   ）． A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握知识点：“到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．”是解题关键．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 3．下列说法中，正确的结论有（    ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确； 则正确的结论有①②④共三个， 故选：C． 4．如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 5．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 6．如图，中， 于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用同角的余角相等和平分线的性质可得出，进而得出，由对顶角相等得出即可判断①正确，利用判定，可得，．则，即即可判断②正确；再利用判定，得出，可得，可判断④正确，连接．因为是等腰直角三角形，即．又因为，那么垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即可判断③错误． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故①正确； 在和中，， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故②正确； 平分， ． 在和中， ， ， ． 又， ； 故④正确； 连接． ∵,且 ∴, ∴, 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故③错误． 综上：①②④正确. 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定及性质，角平分线的性质，等角对等边，三角形边的关系等知识，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法． 7．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 8．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 9．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点H作于点Q，则当时，最小，由角平分线的定义得，再由直角三角形的性质得，最后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点H作于点Q，则当时，最小， 由题意得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图—角平分线、角平分线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，理解题意得平分是解题关键． 10．如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是 正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．由题中条件可得，得出，，，，求出，得出，进而得出，，从而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，得出，过B作于M，于N，得出，根据角平分线的判定得出平分，求出，，根据直角三角形的性质得出，，证明，得出，进而证明，从而证明；根据已知条件，不能证明平分，从而得出答案． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴，即，，， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①②③④⑤正确； 过B作于M，于N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴平分，⑦正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即，故⑧错误； 根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误； 综上分析可知：错误的有2个． 故选：C． 二、填空题 11．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】∵于点，于点，， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 12．如图，在中，，以点B为圆心,以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心的长为半径作弧，两弧在内交于点P，交于点D．若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】过D点作于H，根据计算，根据角平分线的性质定理，得到，计算即可． 【详解】解：过D点作于H， ∵， ∴， 由作法得平分， 又 ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的基本作图及其基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，平分与轴正半轴所夹的角，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴于点，则，即，写出点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴关于轴的对称点是． 故答案为：． 14．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，然后求出即可． 【详解】解：∵，平分，垂直平分，， ∴， ∴． 故答案为：5． 16．如图是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作，    ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD的面积=20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 三、解答题 17．如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 18．用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 已知：，求作：的角平分线． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交于点，再以为圆心，任意长为半径画弧即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 19．作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)尺规作图：如图1，已知点M，N和，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到的两边距离相等． (2)如图2，已知直线l和两点A，B，在直线l上求作一点C，使点C到点A、点B的距离之和最短． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）作的平分线，线段的垂直平分线即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求．        （2）解：如图2中，点即为所求．    ∵与A关于直线l对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、C、B在同一直线上时，最小，即最小． 【点睛】本题考查作图复杂作图、轴对称最短问题、角平分线、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握作角平分线的方法以及角平分线的性质定理是解题的关键． （）首先以为圆心，适当长度为半径作圆弧，分别交边和于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径作圆弧，在内部交于一点，连接点与该点的射线，交边于点M，射段即为所作； （）过点M作于点D，根据角平分线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：如图，射段即为所求； （2）解：如图，过点M作于点D， 平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 【点睛】本题考查的是新定义，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点，结合题意可得，即点为所求． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ，即 ∴点即为所求． 23．如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由角平分线的性质定理可得，再根据“”证明，即可得到结论； （2）证明，得到，再根据线段的和差，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 24．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图： 以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； （2）解：如图： 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 试卷第2页，共25页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5角平分线寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（   ）． A．10 B．12 C．14 D．15 2．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 3．下列说法中，正确的结论有（    ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 6．如图，中， 于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 8．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 10．如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    12．如图，在中，，以点B为圆心,以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心的长为半径作弧，两弧在内交于点P，交于点D．若，则线段的长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，平分与轴正半轴所夹的角，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 14．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 15．如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 16．如图是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为 ．    三、解答题 17．如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 18．用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 已知：，求作：的角平分线． 19．作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)尺规作图：如图1，已知点M，N和，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到的两边距离相等． (2)如图2，已知直线l和两点A，B，在直线l上求作一点C，使点C到点A、点B的距离之和最短． 20．如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 21．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 22．如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 23．如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 24．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 试卷第2页，共25页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $