上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集可用区间表示为_____. 2. 已知，则__________. 3. 设事件A、B相互独立，若且，则______. 4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为_______. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 6. 在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则________． 7. 函数，的值域是______. 8. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____. 9. 如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____. 10. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 11. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________. 12. 在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（ ）. A. B. C. D. 14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 15. 在空间直角坐标系中，点集中至少有三个点，且点.设，若对于点集中任意三个点、、，“”都是“”的充分条件，则下列选项中的两点不能同时属于的是（ ）. A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 16. 设双曲线：（其中常数），点是双曲线右支上一动点（异于顶点），点与关于轴对称；点是轴右侧一点且不在双曲线上.给出以下两个命题：①当时，对任意点，存在点使得；②若关于的函数是在上的严格减函数，则；下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题②是假命题 B. ①是假命题②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 设数列是首项为，公差为的等差数列. （1）若，求数列的前项和； （2）记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 18. 如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. A校高一年级共有330名学生，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校按照性别采用分层抽样的方法抽取了66名学生，测量他们的身高并记录，将样本数据分成了11组：、、…、.（单位：厘米），得到如图所示的频率分布表. 身高分组区间 频数 频率 累积频数 3 0.05 3 6 0.09 9 6 0.09 15 4 0.06 19 12 0.18 31 8 0.12 39 8 0.12 47 7 0.11 54 8 0.12 62 2 0.03 64 2 0.03 66 （1）如果该校有220名男生，110名女生，求样本中男生和女生的人数； （2）以区间的中点值给区间内的每个数据赋值，试估计该校高一学生的平均身高（精确到0.1厘米）； （3）在该样本中身高不低于178.5的学生中随机取2名学生测量体重，求这2名学生身高均在区间中的概率. 20. 如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方. （1）若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； （2）若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； （3）分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 21. 李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R. （1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； （2）李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程； （3）设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】##0.4 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 已知，则，那么， 因为是等差数列，所以，则，由于为常数，所以为常数，且， 根据等比数列的定义可得数列是以为首项，为公比的等比数列； 当时，等比数列的首项，公比， 得：， 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，数列的前项和. 【18题答案】 【答案】（1） 因为、分别是、的中点， 所以，又， 则， 所以、、、四点共面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）样本中男生人数为44人，女生人数为22人. （2）167.4厘米 （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）； （3） 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，，， 又，，， 则， 又，则① 设直线的方程为， 联立，则，， 则， 同理可得，则②， 由①②得，，， 由得，即， 化简得， 将，代入得， 所以，即，即， 所以直线垂直于轴. 【21题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $