精品解析：陕西省渭南高新区2025--2026学年上学期九年级1月期末数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测试卷九年级数学试题 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程一个根，则代数式的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 2. 某几何体的示意图如图所示，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 华州皮影是中国出现最早的传统戏曲剧种之一．一个不透明的盒子中装有分别写着“皮”字和“影”字的小球共40个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将盒子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了400次，发现有320次摸到写着“影”字的小球，估计盒子中写着“影”字的小球有（ ） A. 32个 B. 24个 C. 18个 D. 8个 4. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 5. 如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形是（ ） A. B. C. D. 6. 若正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（　　） A. （2，﹣1） B. （1，﹣2） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1） 7. 如图，在正方形中，点在边上，连接、交于点，，连接、则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 渭华起义纪念馆，位于陕西省渭南市，属社会科学类历史遗址专题博物馆．渭华起义纪念馆在路灯灯光下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 10. 已知两个相似六边形的相似比为，较小的六边形的面积为，则较大的六边形的面积为____． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是_____．（写出一个即可） 12. 某班级进行名山介绍会，该班的小娟计划在．太白山、．华山、．终南山、．翠华山四座山中随机选择一座介绍后，再在剩下的三座山中随机选择一座进行介绍，已知小娟选择每座山的可能性相同，则小娟选择．华山和．终南山的概率为______． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，连接交反比例函数的图象于点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为_____． 14. 如图，菱形的对角线、相交于点，以为斜边在的右侧作，连接，若菱形的面积为36，，则线段长度的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数（为常数），若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 18. 如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 20. 我国书法历经数千年的发展，形成了篆书、隶书、楷书、行书、草书五种主要书体．雯雯和笑笑准备参加书法兴趣班，她们制作了一个如图所示的可以自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上．篆书、．隶书、．楷书、．行书，雯雯先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，然后笑笑再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，两人各自选择自己所转到的书体学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）雯雯转到的书体是．篆书的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率． 21. 如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 22. 小军在假期利用所学知识测量了公园内一棵银杏树的高度（如图）．首先，小军在点处竖立一根高为1米的测角仪，测得；某一时刻，银杏树在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，小军在点处竖立一根高为1米的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，经测量，米，米，已知，，，，点、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算该银杏树的高度． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 富平县是国家林业局命名的“中国名特优经济林之乡—中国柿乡”，富平柿饼更有着“霜厚、底亮、质润、味香甜”的特点． 素材 某超市售卖成本为10元/斤的富平柿饼，该超市销售一段时间后发现，当柿饼的售价为25元/斤时，月销售量为100斤．若在此基础上每斤柿饼的售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤，设柿饼的售价应降低元/斤． 问题解决 任务1 （1）柿饼月销售量为________斤；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该超市为使销售柿饼的月销售利润达到1560元，则柿饼的售价应降低多少元/斤？ 24. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，点在边上，连接，．求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在中，点在边上，连接，点是中点，过点作，交于点，若，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某公园内有一个形状为的绿化区域，点在上，为景观长廊，点为的中点，为绿植带．已知，，米，，请你求出绿植带的长度．（长廊、绿植带的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测试卷九年级数学试题 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，求代数式的值，利用方程根的定义，将代入方程后变形即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， 故选A． 2. 某几何体的示意图如图所示，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，根据看到的图形即可解答． 【详解】解：从正面看到的图形是 ， 故选D． 3. 华州皮影是中国出现最早的传统戏曲剧种之一．一个不透明的盒子中装有分别写着“皮”字和“影”字的小球共40个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将盒子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了400次，发现有320次摸到写着“影”字的小球，估计盒子中写着“影”字的小球有（ ） A. 32个 B. 24个 C. 18个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，摸到“影”字小球的频率为，从而估计概率为，进而求出“影”字小球的数量． 【详解】解：∵摸到“影”字小球的频率为， ∴摸到“影”字小球的概率估计为， 设“影”字小球有x个，则概率为， ∴， ∴， 故选A． 4. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查通过因式分解法求解二次方程，求出方程的解与各选项对比即可． 【详解】解：， ， 或 ， 即 或 ， ∴ 根为 ， ， 故选B． 5. 如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 6. 若正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（　　） A. （2，﹣1） B. （1，﹣2） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数图象均关于原点对称， ∴两函数交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（﹣1，2）， ∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）． 故选B． 【点睛】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 7. 如图，在正方形中，点在边上，连接、交于点，，连接、则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、 相似三角形的判定和性质、以及勾股定理的应用；根据题意证，得，设，，则，即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ， ∴， 故选A． 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数性质，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 渭华起义纪念馆，位于陕西省渭南市，属社会科学类历史遗址专题博物馆．渭华起义纪念馆在路灯灯光下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，根据光源判断即可． 【详解】解：投影分为中心投影和平行投影．中心投影的光线从一点发出，如路灯、台灯等；平行投影的光线是平行的，如太阳光．本题中光源为路灯，属于点光源，因此影子为中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知两个相似六边形的相似比为，较小的六边形的面积为，则较大的六边形的面积为____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查相似图形的面积比，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：两个相似六边形的相似比为，则面积比为． 较小六边形的面积为，则较大六边形的面积为． 故答案为50． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根”列式求解，即可解题． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ， ， 的值可以是大于的任意一个数，则的值可以是， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 某班级进行名山介绍会，该班的小娟计划在．太白山、．华山、．终南山、．翠华山四座山中随机选择一座介绍后，再在剩下的三座山中随机选择一座进行介绍，已知小娟选择每座山的可能性相同，则小娟选择．华山和．终南山的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，正确画出相应的树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，再确定所有等可能的结果和小娟选择．华山和．终南山的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，一共有12种等可能结果，其中小娟选择．华山和．终南山的结果有2种， 所以小娟选择．华山和．终南山的概率为． 故答案为：． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，连接交反比例函数的图象于点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，掌握反比例函数中与相关的面积是解题的关键． 根据反比例函数中的几何意义，可得出和的面积，即可计算出四边形的面积． 【详解】解：根据反比例函数中的几何意义，可得，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线、相交于点，以为斜边在的右侧作，连接，若菱形的面积为36，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，圆的基本知识，找出点E的轨迹是解题的关键；根据菱形的性质和面积公式得，，求出，由点E在以为直径的圆上即可解答． 【详解】解：如图， ∵菱形面积为36，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵以为斜边， ∴， ∴点E在右侧，以为直径的半圆上， ∵四边形是菱形， ∴即， ∴点O在左侧，以为直径的半圆上， ∴点E、点O，点，点共圆， ∴当线段经过圆心时长度取最大值即， 故答案为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法是解题关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，再开平方求解得出方程的两个根． 【详解】解：， 配方得，即， 开方得， 解得，． 16. 已知反比例函数（为常数），若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查在坐标系中作相似图形，根据相似比找出对应点连接即可． 【详解】解：如图即为所求， 18. 如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，三角形相似的判定，平行线的性质，根据题意，作即可． 【详解】解：如图点即为所求， 19. 如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质；证即可解答． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 20. 我国书法历经数千年的发展，形成了篆书、隶书、楷书、行书、草书五种主要书体．雯雯和笑笑准备参加书法兴趣班，她们制作了一个如图所示的可以自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上．篆书、．隶书、．楷书、．行书，雯雯先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，然后笑笑再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，两人各自选择自己所转到的书体学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）雯雯转到的书体是．篆书的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， （1）由概率公式即可得出答案； （2）列表，共有16个等可能的结果，雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的结果有7种，由概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：一共有四种书体，．篆书是其中一种，则雯雯转到的书体是．篆书的概率是． 【小问2详解】 解：列表如下： 笑笑 雯雯 由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的结果有7种， ∴雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率为． 21. 如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，求反比例函数值； （1）用待定系数法即可解答； （2）将代入函数表达式计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 已知时，， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， ∴当时，右边托盘与天平中间立柱的距离为． 22. 小军在假期利用所学知识测量了公园内一棵银杏树高度（如图）．首先，小军在点处竖立一根高为1米的测角仪，测得；某一时刻，银杏树在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，小军在点处竖立一根高为1米的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，经测量，米，米，已知，，，，点、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算该银杏树的高度． 【答案】15米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂直关系，可证出四边形为矩形，得，，随后证出，根据比例关系和线段关系，求出的值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴，即， 由题意知：，， ∴， ∴，解得， ∴该银杏树的高度为15米． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 富平县是国家林业局命名的“中国名特优经济林之乡—中国柿乡”，富平柿饼更有着“霜厚、底亮、质润、味香甜”的特点． 素材 某超市售卖成本为10元/斤的富平柿饼，该超市销售一段时间后发现，当柿饼的售价为25元/斤时，月销售量为100斤．若在此基础上每斤柿饼的售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤，设柿饼的售价应降低元/斤． 问题解决 任务1 （1）柿饼的月销售量为________斤；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该超市为使销售柿饼的月销售利润达到1560元，则柿饼的售价应降低多少元/斤？ 【答案】任务1：（1）；任务2：柿饼的售价应降低2元/斤或3元/斤 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）由题意得单价每降低1元，平均每月的销售量可增加10斤，那么每千克富平柿饼降价x元，则平均每月的销售量可增加斤，即可表示出降价后富平柿饼每月的销售量； （2）根据每千克的利润乘以数量等于总利润建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤， 售价每降低元，则柿饼的月销售量将增加斤， ∴销量变为， 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：柿饼的售价应降低2元/斤或3元/斤． 24. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，求矩形的面积； （1）根据平行四边形的性质，角平分线的性质求出即可； （2）根据题意，结合勾股定理求出，，再利用矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的表达式和图形面积； （1）将代入求出m再用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）先求点的坐标和点的坐标，再求出，根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， ∴点的坐标为， 将点代入中，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将点代入中，得， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为4， 在反比例函数中，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 26. 【问题探究】 （1）如图1，中，点在边上，连接，．求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在中，点在边上，连接，点是的中点，过点作，交于点，若，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某公园内有一个形状为的绿化区域，点在上，为景观长廊，点为的中点，为绿植带．已知，，米，，请你求出绿植带的长度．（长廊、绿植带的宽度均忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形综合题，需要掌握相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似的性质，得出点是的中点，随后证明，计算得出的长度即可； （3）如图，过点作，交边于点，根据，，得出，再根据点为的中点，得出，证明，根据相似性质得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，从而算出，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴的长为． （3）解：如图3，过点作，交边于点， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴绿植带的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $