精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 同样整齐 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A. B. 5 C. D. 7 3. 已知函数是关于x反比例函数，则该函数图象位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第二象限 D. 第三、第四象限 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 若点都在图象上．且，则 5. 如图，点在反比例函数的图象上，这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为( ) A. B. C. D. 8. 在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 10. 如图，半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（ ） A. B. C. 4 D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ② ③ ④ ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）    A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是________． 14. 如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 15. 如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图象交于点D，则____________． 16. 在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，分别为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ___． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，正五边形与相切于点，，若的半径为，求劣弧的长． 19. 如图，一次函数（）图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 20. 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 21. 课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 22. 如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求点B到距离． 23. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 同样整齐 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班． 故选：A． 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 3. 已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第二象限 D. 第三、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再由m+2的符号得出结论． 【详解】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴m2-5=-1且m+2≠0， 解得m=2， ∴m+2＞0， ∴图象在第一、第三象限内， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式以及对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 若点都在图象上．且，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，， ∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意； 当点在第二象限，第四象限内时， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，点在反比例函数的图象上，这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图可知，图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 故选C． 6. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 7. 如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 8. 在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是内切圆， ， ， ， 故选： C． 9. 如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 10. 如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 11. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ② ③ ④ ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线开口方向得，再根据对称轴得，根据抛物线与轴的交点在轴下方得，于是，所以可对①进行判断；根据抛物线与轴有两个交点可对②进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，则可判断③；当，代入由图象知：，代入，可对④进行判断；当时，函数取最小值，则对任意实数m，，即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 对称轴为直线， ， ∴，故③错误 当，代入由图象知： ， ， ， ， 故④正确； 当时，函数有最小值， ， 即，故⑤错误． 综上所述，②④正确． 故选：B． 12. 如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求得二次函数的对称轴以及二次函数的增减性是解题的关键． 通过求二次函数的对称轴，判断函数在对称轴左侧的单调性，结合点的横坐标大小关系比较函数值即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下．对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵ ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 15. 如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图象交于点D，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、及其系数k的几何意义，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和利用中点坐标公式求点的坐标是解题的关键． 通过设点的坐标，利用中点性质得到点的坐标，求得，再结合反比例函数的系数k的几何意义得到，最后通过面积的和差求出． 【详解】解：设， ∵， ∴是的中点， ∴， ∵轴，在反比例函数上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 16. 在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，分别为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形中位线定理以及点与圆的位置关系；解题的关键是利用三角形中位线定理得到与的关系，再根据点的运动轨迹，结合点与圆的位置关系求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：连接，如图： ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点为定点， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， ∴当三点共线，且点在线段上时，取得最小值，此时， 在矩形中，，根据勾股定理， ∴， ∴． 故答案为：. 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及特殊三角函数值的运算，熟练掌握因式分解法解一元二次方程以及特殊三角函数值是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据特殊三角函数值可进行求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，正五边形与相切于点，，若的半径为，求劣弧的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．连接，，根据正多边形内角和公式可求出，根据切线的性质可求出，从而可求出，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：如解图，连接，， 五边形是正五边形， ， ，与相切， ， ， 劣弧长为． 19. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）和 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴ 把代入中得，解得； ∴， 把A、代入到中得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为：和． 20. 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【答案】（1） （2）第二天早上能驾车去上班，见解析 【解析】 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 【小问2详解】 解：由得， 当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 21. 课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 22. 如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求点B到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，则，，根据垂径定理得出，则，最后根据，得出，即可求证； （2）过点B作于点H，通过证明，得出，易得，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价应定为元 （3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键． （1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 24. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）当时，最大值为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 小问3详解】 解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为， ∴当时，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $