广东省惠州市惠城区2025-2026学年上学期九年级中考一模数学试卷

惠州市惠城区2025-2026学年上学期九年级中考一模数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位 号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号 和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.古钱币是我国珍贵的历史文化遗产. 下列选项是中国古代部分钱币的简笔图形，其中既是轴对称图 形又是中心对称图形的是（     ） 2. 下列说法正确的是（     ） A. “明天的降水概率为45%”是指明天下雨的可能性是45% B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、P在上，若，，则（     ） A. B. C. D. 5. 观察下列表格，则一元二次方程的一个近似解a所在的范围是（     ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 -0.24 -0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A. B. C. D. 6. 秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（     ） A. B. C. D. 7. 如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（     ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（     ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（     ） A.26 B.24 C.22 D.20 第9题 10. 如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是（     ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 已知点与点关于原点对称，则______. 12. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后二次函数的解析式为__________. 13. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度，则轴截面圆中弦______. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是______平方尺.（结果用含的式子表示） 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为 “二倍点”，如：(2，4)，(0，0)，(，) 等都是 “二倍点”，若二次函数 的图象上有 “二倍点”，则a的取值范围是 ______. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 解一元二次方程 时，两位同学的解法如下： 张明同学： 或 或 李刚同学： ，， ， ， 此方程无实数根. （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果. 张明同学的解法 ________，李刚同学的解法 ________. （填 “正确” 或者 “不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程 . 17. 在平面直角坐标系中， 如图所示 （1）请用直尺和圆规作出 绕O点逆时针旋转 得到的图形 （不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知A（4，3），请直接写出点 的坐标. 18. 某学校七年级开展 “项目化学习社团活动”，共设置了四个类型，分别：A.文化探究类，B.绿色生态类，C.科创智造类，D.社会创新类，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计表： 项 目 选择人数 频 A．文化探究类 8 a B．绿色生态类 b 0. C．科创智造类 28 c D．社会创新类 24 0. （1）填空：，； （2）若该学校七年级共有900名学生，那么估计选择 “C.科创智造类” 项目意向的学生有 人； （3）已知小明、小红两位同学从上述四个类型中随机抽取一项参与学习，请你用画树状图或列表的方法，求出这两位同学抽取的项目相同的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分． 19. 如图，在中，，为的外接圆，为的直径，，连接并延长交于点． （1）求证：为的切线； （2）求证： 第19题图 20. 如图，用一段长为的铁丝网和一面长为的围墙围成一个矩形菜园，给出了甲乙两种方案。甲方案：矩形垂直围墙的两边不超出墙面。乙方案：矩形垂直围墙的一边超出墙面。为了使菜园面积尽可能的大，请你选择合适的方案，并说明理由。 21. 综合与实践 【主题】马格努斯效应与乒乓球 【素材1】马格努斯效应是旋转物体在流体中运动时，因两侧流体速度流速差异产生侧向力的现象。如足球中的 “香蕉球”，棒球中的 “曲线球”。研究团队利用高速摄像机，研究乒乓球的飞行轨迹受马努格斯效应的影响。 【素材2】乒乓球在旋转时，侧向偏移距离 （单位：厘米）与旋转角速度 （单位：弧度/秒，弧度为度量角大小的一种单位）成正比。当 时，。 【素材3】该乒乓球的飞行轨迹在水平方向的位移 （单位：厘米）与飞行时间 （单位：秒）满足 ，竖直方向的高度 （单位：厘米）与飞行时间 满足 。 【问题1】根据素材，求乒乓球飞行的 与 的函数关系式； 【问题2】根据素材，计算乒乓球在竖直方向上运动的高度 超过 的运动时长是多少； 【问题3】乒乓球飞行到最高点时，若由马格努斯效应产生的侧向偏移距离与水平位移的比值为 ，求此时球的旋转角速度。 第21题图 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分。 22. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，6) 、C(9，0) 是矩形 OABC 的两个顶点，反比例函数 (x > 0) 的图象与边 AB 交于点 D ，与边 BC 交于点 E 。 （1）若点 为边 的三等分点（靠近 ），求点 的坐标和 的值； （2）在（1）的条件下，点 为 轴上一个动点，求当 周长最小值时，点 的坐标。 （3）求证：当 变化时，。 23. 综合与应用： 数学活动课上，老师出示如图1，在等边三角形内有一点，已知，，，求的度数. 【方法探索】小丽在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，请你帮她求出的度数. 【方法应用】如图3，在等腰直角三角形内有一点，若，，，求的度数. 【方法迁移】在等腰直角三角形边上有两点、，已知，，，求以、、为边的三角形面积. （直接写出答案） 2026年惠城区第一次初中学业水平模拟考试 数学试卷评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C C D B B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.2026 12. 或 13.8cm 14. 15. 且 三、解答题（一） 16.【答案】（1）解：不正确，不正确，………2分 （2）解：， ， ，………5分 或， .………7分 【备注】其他解法正确均可给分 17.【答案】(1)如图，即为所求. ……………5分 (2)A₁的坐标为(，4)………7分 【备注】根据学生作图痕迹酌情给分。 1、写出文字说明，“如图所示”等，……………1分 2、作出线段AO延长线，作出过O点的垂线，……………3分 3、在垂线上截取OA₁，……………4分 4、在y轴上截取OB₁，连结A₁B₁……………5分 18、解：（1） ， ………2分 （2）315；………3分 （3）画树状图如下： ........6分 共有16种等可能的结果，其中甲乙同学抽取的项目相同的结果有4种， ∴这两位同学抽取的项目相同的概率为。........7分 【备注】列表法正确也给满分 四、解答题（二） 19.【答案】（1）证明：连接.......1分 ， ， ， ，.......2分 为的直径， ， 即，.......4分 是的半径， 为的切线；.......5分 （2）证明： 方法一： ，.......6分 ∵四边ABCD是圆内接四边形 °， °， ………7分 ∵ ………8分 为⊙O的直径， ° ° . ………10分 方法二：延长BO交AD于点H ，连接OD，………6分 ，， 垂直平分AD，，，………7分 为⊙O的切线， ，………8分 为⊙O的直径， °，……… 9分 ∴四边形BHDE为矩形， . ………10分 【备注】（其他方法正确均可给分） 20.【答案】 解：设垂直于墙的一边长为 m， 则矩形平行墙面的一边为 m（如甲图），………1分 则 ………2分 其中满足 ………3分 因为， 当时，有最大值为80， 所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为80；………5分 如图乙：则另一边为 m. ………6分 所以 ………7分 其中满足 ………8分 因为， 当时，有最大值为81， 所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为. ………9分 综上：乙围法能围出的矩形最大。当矩形的长、宽分别为9m、9m时，最大面积为. ………10分 21.【答案】 【问题1】设与的函数关系式为，则………1分 当时， ………2分 与的函数关系式为………3分 【问题2】据题意，令得：………4分 解得： ………5分 故超过10cm的运动时长为4秒。………6分 【问题3】 且 当时，球运动到最高点。………7分 ………8分 据题意，得：………9分 当时，（弧度/秒）………10分 五、解答题（三） 22.【答案】 （1）由条件得：点为（3，6），所以 ………1分 故当时，，即点的坐标（9，2）………2分 (2)点边关于-轴的对称点(，6)………3分 连结，交-轴于点。 由对称性可知，则 又 当点运动到点时，的周长达到最小值。………4分 设的解析式为，则 代入(，6)(9，2)得： 解得：………5分 故为为………6分 令，则 即当点运动到（0，5）时，的周长达到最小值。………7 （3）方法一：根据题意，设点为（，6）点为（9，）………8分 点（0，6），点（9，0），点（9，6） ，，，………9分 代入化简得： ， ………11分 即 ………12分 方法二：根据题意，设点为（，6）点为（9，）， ………8分 代入的解析式， 解得： ………9分 同理，将点（0，6）点（9，0）代入： 解得，………10分 即………11分 由于点不与点重合，故． ………12分 23.【答案】（1）解：如图2，由旋转的性质得：， ，，，， 是等边三角形，………1分 ，， 是直角三角形且，………3分 ， ；………4分 （2）解：如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接．………5分 ，，，， ，，………6分 ，，， ， ，………8分 ；………9分 （说明：将绕点顺时针旋转得到，连接，正确也得分） （3）解：以、、为边的三角形面积为．…… 分 （提示： 将绕点逆时针旋转得到，连接） 学科网（北京）股份有限公司 $