精品解析：山东省烟台第二中学2025届高三上学期第一次模拟考试检测数学试题

2025届第一学期第一次模拟考试检测 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则中元素的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义求出，即可得到元素个数. 【详解】由题意知，，故中有3个元素． 故选：C. 2. 已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系式以及双曲线的离心率求得正确答案. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则. 故选：A 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的运算，共轭运算，除法运算来求解即可. 【详解】， 故选：C. 4. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（ ） A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于 B. 棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 【答案】C 【解析】 【分析】通过题目数据计算频数、极差、中位数、平均值，逐项分析即可. 【详解】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值为，不满足选项A中‘大于’的要求，故A错误； 纤维长度低于44mm的棉花纤维数占比为，故B错误； 由于纤维长度小于44mm的纤维数量为130，纤维长度不低于51的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于44mm至51mm之间，故C正确； 方法一：400根棉花纤维的长度的平均值估计值为，故D错误， 故选：C. 5. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 6. 已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 7. 已知圆台的侧面展开图是面积为的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面面积分别为，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记圆台的上、下底面半径分别为，半圆环的内、外半径分别为，由于侧面展开图是半个圆环则，，再结合面积为化简得到，则． 【详解】记圆台的上、下底面半径分别为，半圆环的内、外半径分别为， 则，即，同理可得， 由题可得，即 则． 故选：B. 8. 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得. 【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，， 由，，得，， 在中，，由正弦定理得，则， 在中，由余弦定理得. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 弦的最小值为8 B. 弦的中点到准线的距离小于 C. 存在弦，使得的中点坐标为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例当焦点的直线与轴垂直时判断即可；对B，作出图形，由抛物线的性质可得B正确；对C，令，由抛物线焦点弦的性质可得，再结合中点坐标公式可验证C错误；对D，当时，可得，再取特殊值，计算可得D正确. 【详解】由题意知，焦点，准线方程为直线，令． 对于A，当过焦点的直线为时，设为上交点，易得，此时，故A错误； 对于B，设的中点为E，过分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，则，而，所以，故B正确． 对于C，由抛物线的性质可知①． 若存在弦，使得中点的坐标为， 则，解得或，都不满足①式，故C错误． 对于D，当时，解得， 由对称性，不妨取，则，所以，故D正确． 故选：BD． 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 11. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用假设法即可判断A，利用线面平行的判定即可判断B，利用棱锥体积公式即可判断C，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D. 【详解】对A，由四点共面，得，则， 若不是棱的中点，则，故A错误. 对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点. 因为为的中点，则. 因为平面平面，所以平面，则B正确. 根据长方体性质知，且平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 则点，到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值， 则四棱锥的体积为定值，故C正确. 取棱的中点，由题中数据可得， 则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心， 外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为， 半径为，设，则， 即，解得，则，此时点位于中点， 从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知矩形，是的中点，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算得到，最后代入数据即可. 【详解】如图所示： ，， 所以， 故答案为：0 13. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，计算可求得的值. 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数，从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值. 【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则， 即． 令，得，， 由于中，且， 分析：由于，可知， 又由于，且，所以零点的组合不能是或， 故的组合只能是，这样只能是，，可计算得， 满足题意， 此时，． 令，得或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 则由单调性可知，的极大值为． 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 16. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列定义可证得结论成立； （2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式； （3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，， 当时，， 即，所以，， 因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为. 【小问2详解】 由（1）可得，则当时，， 也满足，故，. 【小问3详解】 由可得 ， 令，则 则 ，即， 所以，数列为单调递增数列，则， 因此，的取值范围是. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，并求出平面与平面的夹角的余弦值，得到和的关系式即可求出的值. 【小问1详解】 连接、， ∵O，E分别为的中点和的中点， ∴∥， ∵∥，∴∥， ∴四点、 、 、共面， ∵ ， ，且，、平面， 平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， 【小问2详解】 分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量，则， 即，令，则，∴， 设平面的法向量，则， 即，令，则，，∴， ∴， ∴. 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 【答案】（1）； （2）①斜率之积为1或 ，证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设的方程为，，，联立椭圆，并应用韦达定理、弦长公式及已知得到关于直线，斜率的方程，即可证； （ii）根据（i）中的韦达公式求弦中点的坐标，法1：写出直线的方程，进而确定定点，即可证，法2：记定点为点T，判断是否成立，即可证. 【小问1详解】 由题意得，短轴长为，所以，解得， ，所以，则， 所以椭圆Γ的标准方程为； 【小问2详解】 与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设，，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 所以，则， 所以，得， 所以或． （ⅱ）由（ⅰ），M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 法1：直线MN， 即，则直线MN恒过定点得证． 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 19. 已知函数． （1）若，，求在处的切线方程； （2）若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程； （2）根据导数分类讨论函数单调性且存在零点情况得到参数范围； （3）通过零点条件构造新函数，求函数单调性证明不等式成立即可. 【小问1详解】 由，可得，则， 又，则， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由可知，， 又， 当时，，，恒成立， 则在定义域内单调递增，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，恒成立， 则在定义域内单调递减，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，由于的， 可设的两个根为． 下证：，事实上，这表明， 又，这表明， 结合的定义域，则有时，，递增； 时，，递减；时，，递增； 注意到，则有，， 且趋于正无穷时，趋于正无穷大，趋于时，趋于负无穷大． 由零点存在定理，可知存在，使得， 又，这表明． 综上，． 【小问3详解】 ， 注意到，，即，由于，则有， 注意到的三个零点，所以有， 要证：，即证：， 即证：， 即证：， 由于，，即证：，即证：， 由于，， 则有， 即证：，即证：， 构造：，则， 所以在上单调递增， 所以，证毕 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届第一学期第一次模拟考试检测 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则中元素的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（ ） A. 棉花纤维长度的极差估计值大于 B. 棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 5. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的侧面展开图是面积为的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面面积分别为，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 弦的最小值为8 B. 弦的中点到准线的距离小于 C. 存在弦，使得的中点坐标为 D. 当时， 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知矩形，是的中点，则___________． 13. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 14. 已知，是导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 16. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求取值范围. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面中心和的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19. 已知函数． （1）若，，求在处的切线方程； （2）若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $