山东省烟台某中学2025届高三上学期开学调研考试数学试题

(在此卷上答题无效) 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，则集合A的子集个数是（   ） A．3 B．4 C．8 D．无数个 2．样本数据的第60百分位数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数为偶函数是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 7．已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（    ） A．当取最小值时， B．当取最大值时， C．无最小值 D．E无最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 10．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表 亩产量 田块数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于 C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间 11．已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在△ABC中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B．△ABC的外接圆的面积为 C．的最大值为 D．若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知平面向量，，若，则 . 13．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 14．如图，在△ABC中，，D，E是线段上的两个点，△ADE为正三角形，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 16．（15分）已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 17．（15分）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 18．（17分）如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为． (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）已知函数（，，）. (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，若存在两个极值点，，求证：； (3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 数学试卷第1页，共2页 数学试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学答案（二模） 1.C 解不等式得到集合A,由集合中元素个数判断子集个数， 解不等式x2-2x-3<0,得-1<x<3,所以A={x∈N|x2-2x-3<0}=0,1,2}, 则集合A的子集个数是2=8 2.C 根据百分位数的计算公式进行求解即可， 样本数据按照从小到大排列为3,4,5,6,8,11共6个数据，6×60%=3.6 所以百分位数取第4位数字6， 3.D 先表示复数三，-三2，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求α的取值范围。 由题意1-2=(a+2i)-(1+3ai)=(a-1)+(2-3a)i 因为-，在复平面内对应的点位于第四象限， a-1>0 所以 2-3a<0→a>1. 4.C 根据指、对数函数奇偶性的定义判断各选项即可. 对于A,函数的定义域为R,f(-x)=2x-2=-f(x),所以f(x)为奇函数，故A错误； 对于B,由2*-1≠0可得x≠0，所以函数的定义域为(-0,0)U(0,+0), f()=+1+2:-寸，所以f()为奇函数，故B错误： 2×-11-2x 对于C,函数的定义域为R, f(-x)=-xln(-x+x)+1-x (V+1+x2+1-x） Vx2+1+x 1二n+√1)() 所以f(x)为偶函数，故C正确： 答案第1页，共13页 2 对于D,函数的定义域为R,f(-x)=-(←x)+(x)=x+xi≠f(x),所以f(x)不是偶函 数，故D错误 5.A 利用导数求出f()在（亚，乃上单调递增的α值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判 4”41 断即得。 Sinx 1 函数f(x)=ax-tanx=x- COSX ,求导得f()=a- COS2x 若函数W在（平孕上单调递增，则了20⊙a产对xe(晋孕恒成立. 44 Cos2x 而当e(牙孕时.5s1.则1s <2,因此a≥2， 2 cos2x 2"是“函数f田=ar-tnx在(4上单调递增”的充分不应 6.C 根据数列{a}的前项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 因为数列{a}的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以4=1，令b.=4·42an,得b=a,=1. 所以数列{b}是公差为3，首项为1的等差数列. 故b,=b+0n-1)×3=31-2,即b.=3n-2, 所以4=440=色=3×3-2-7 442b23×2-24 7.C 根据和差的正切函数进行化简求解即可. 因为tan(a+B)=3,tan(a-B)=5, tana+tanB =3 1-tana tanB tana+tan B=3(1-tan atan B)1 所以 tana-tanp=5 化简得 tana-tan B=5(1+tan atanB)2 1+tana tan B ①+②得tan&=4+tanatan B,①-②得tanB=-1-4 tan atanB. 所以4tama+tanB=16-1=15.】 8.D 答案第2页，共13页 由愿可得Ξ=21-2，然后利用导数，研究/(-211,210，)单调性，可判 1-元 1- 断选项正误」 B=2B8=20+1+2++x）=2.12 1-元1 】= 令a)=21,2e10”. 1- 则f(a)=2,-+1)x0-2)+1-A-21+2-0m+1)2 (1-) (1-2) 令g(2)=1+n21-(n+1)2”,∈1017,1)， 则g'(2)=n(n+1)2”-n(n+1)2=n(n+1)2(2-1)<0, 则g(2)在∈「107,1上单调递减，又注意到g(1)=0,则g(2)>0, 从而了()-23公0，则(a在e[10”)上单调递增 (1-2)2 则f(10)≤f()<f(1),则E无最大值，有最小值，取最小值时=107. 故ABC错，D正确. 9.ABC 根据题意可得：所以OP=OC+r,OP=r-OC,计算可得A,B选项，设圆心C 到直线MN的距离为d,结合图形可知：当MN为直径时，dn=0,当OC⊥MN时， dmm=OC,结合弦长公式即可求出W的最小值和最大值， 由于P是圆C:(x-1)+(y-2)'=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M,N 两点，所以点O在圆C(1,2)内， D 所以OPl=OC+r=1+4+3=3+W5,故A正确：所以oPln=T-oC=3-V5,故B 答案第3页，共13页 正确： 设圆心C到直线MN的距离为d,则MW=2√r2-d=2√9-d2,当MN为直径时，dn=0, 所以Nr=2V9-0=6,故C正确； 由于OC⊥MN时d=loC=V5,所以Nn=2W9-5=4,故D不正确； 故选：ABC 10.BC 对于A,计算出前三段频数即可判断；对于B,计算出低于1100kg的频数，再计算比例即 可判断；对于C,根据极差计算方法即可判断；对于D,根据平均值计算公式即可判断， 对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<100×0.5=50，所以亩产量的中位数不小于 1050kg,故A错误； 对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34，所以低于1100kg的稻田占比为 100-34=66%,故B正确： 100 对于C,稻田亩产量的最大在区间[1150,1200)内，最小在区间[900,950)内，故极差在 「200,300)范围内，故C正确： 对于D,由频数分布表可得，平均值为 6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x117)=1067,数 故选：BC 11.AD 由f0)=5求得，再根据正切函数的单调性求得心的范围得解可判断A,由正弦定理求 出外接圆半径得出面积可判断B,由余弦定理可得bc与b+c的关系，利用等面积法可得 bc sin A r= ,结合基本不等式求得的最大值判断C,由题可知点P在以BC为直径的圆上， a+b+c 根据三点共线求最值判断D. f(0)=tano= 南网经可知9云教= 3 ax +6 、兀兀 6 666 由f(田)在区间0，上单调递增可知二0+s”,得到os2, 、6 662 答案第4页，共13页 代入0=2可知题设条件成立，故4=2，于是g()=ta2+石 故A正确： 因为)4+君5，自4：Q到可得A=无山正孩龙理符外接国直径 6 6 2R=BC-2 sinA 4 sin ,所以VABC的外接圆面积为4π，故B错误： 6 不妨记VABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 4b+2+8c,故c三1062-V36+-+,由等面积法可绸 csm4=a+b+cr.于是r-如4-25b+c20c-习2,56+c-2》 a+b+c 2 b+c+2 2 而bc≤4b+e3,故(2-3)b+c-4(2-V3)s4b+c), 于是门-4b+es32-165,故b+c≤7-45 48-43) 26-5-26+22· 2-√3 敢250-c-2y2565-25-255-2: 2 当且仅当b=c=√6+√时，等号成立，故r的最大值为√5+√6-√2-2，故C错误： 当r取得最大值时，b=c=√6+√互，记BC的中点为O,如图， 由BP⊥CP,可知点P在以BC为直径的圆上（除去B、C),则PO=1,由等腰三角形性质 可知A0=VC2-1=2+√5，故AP≤A0+OP=3+V5且AP≥A0-OP=1+V5, 当且仅当A,P,0三点共线时等号成立，故AP的取值范围是「1+V3,3+√3]，故D正确， 故选：AD 12.4 利用向量平行的坐标表示即可求解 由题意得1·x-（-2)×(2)=0,解得x=4. 故答案为：4. 答案第5页，共13页 13.144 利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有AA?=240(种)， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有C,A4A=96(种)， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共 有240-96=144（种）. 故答案为：144. 14.525 55 根据题意设BC=x,DB=,X>0,>0,可证ABD-CAF,得到4AD_BD,继而得到y=2x, CE AE 由余弦定理可求AC=Vx,再利用正弦定理可得s∠ABC=②， 然后求tan∠ABC即可. 14 设EC=x,DE=y,x>0,y>0,则BD=4EC=4x, 又VADE为正三角形，所以AD=AE=,∠ADE=∠AEC=60°， 则∠ADB=∠CEA=120°，又∠BAC=120°， 所以∠B+∠C=60°，∠B+∠BAD=60°，则∠ABD=∠CAB, aABD心ACAB,则R4B,即)，所以4x=,即2 x v 所以BC=4x+y+x=7x, AC2=CE2+AE2-2CE·AE cos.∠AEC=x2+y2+Xy=7x2,即AC=√7x, 在VABC中， sim∠a4csin∠ABC,即7- BC AC sinl20°sin∠ABC 解得sn∠ABC-V2,又∠BMC=120°，则∠4BC为锐角， 14 所以am&= 5 故答案为： 3 5 15.(1)x2=4y (2)2W2 (1)依题意分析当直线1Ly轴时，用P表示A、B两点坐标，根据AB=4,可求得P的值，进 而得到抛物线C的标准方程. 答案第6页，共13页 (2)联立直线与抛物线方程，可得到A,B两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. (1)由题可知： o) y 当直线山y辅时，可得A-p号)，B号所以=2 因为AB=4,所以2p=4,解得p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)由(1)知：F(0,1),所以直线1：y=x+1. 联立直线1与鹅物线C方程，得x-4-4:0。 设点A(6,),B(x2,y2),则x+2=4,xx2=-4, 所以x-x=V(x+x)》2-4x=4W2 所以△A50的面积S=-Sm+Se分b小*k-=分1x45=25。 16.(1)13440: (2)(-2)-1. (1)根据二项展开式得T,+1=C(-2)-x',则a,=C(-2°-'，”=0,1,2，，10，分析r为偶 数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可： (2)两边同时求导后再代入x=0即可. (1)当n=10时，f(w)=(x-2°=a+4x+a2+…+a。, T1=C1o(-20'X,则a=C(-2)0-,r=0,12,,10, 显然r为奇数时，a<0；"为偶数时，a,>0; 答案第7页，共13页 则当a,取到最大值时，r为偶数，此时a=C。20-,r=0,2,4,,10, 1 4 Co20-≥Ci0222-r (r-1)(12-r)11-r) Co2≥Cw.2x,即 由 ,解得 4 1 10-r)9-r万c+2)0+1 -31+V1945 srs-19+1957 6 6 因为”为偶数，则r=4. 此时(a,)ms=a,=C。·25=210×64=1340. (2)因为f(x)=(x-2=b。+b(x+1)+b,(x+1)2++b(x+1)”, f'(x)=(x-2y1=b+2b(x+1)2+…+b(x+1), 令x=0,得：(-2y1=+2弘++b,所以：∑h,=n(21. 17.(1)4,=21-1,bn=2- a (1)根据S与a.的关系求解a,结合等比数列的求和公式及题设分q=1,q≠1两种情况 求解b; (2)转化问题为1≤3对任意的m∈N恒成立，进而利用不等式组求得2的最小值，即可 n 求解 (1)由Sn=n2, 当n≥2时，a=S.-Sn1=-(n-1)2=2-1, 当n=1时，4=S=1,满足上式，所以an=21-1. 由T,=5T-4,正项等比数列{b}的首项为1， 当公比q=1时，T,=5b=5,5T-4=15b-4=11,不满足T=5T-4: 当公此gL,且g>0时，(=5x9-4,解得g=2,此时6，=2。一 1-q 综上所述，b=2-」 答案第8页，共13页 (2)由5≤7+1,2>0，则元心≤-2+1=2， 1-2 即≤2对任意的n∈N恒成立， n 当n=1时， 2” =2, n2 2” 当n≥2时，设数列 在第n项取得最小值， [2≤21 n 则 (-1)3 2 s、21 解得√2+1≤n≤√2+2， n (n+1)2 而neN,则n=3,此时二取得最小值8 由于8<2，即2 8 9 9 则实数入的最大值为 18.(1)证明过程见解析 a29 (I)根据线面角得到点P在平面ABCD上的射影为AB与AD的交点A,从而PA⊥平面 ABCD: (2)根据正切值，不妨设AB=3,AD=6,PA=6V3,建立空间直角坐标系，求出平面的法 向量，进而利用线面角的正弦公式进行求解，得到答案 (1)直线PB,PD与平面ABCD所成的角分别为∠PBA,∠PDA, 故PB在平面ABCD上的射影为AB,故点P在平面ABCD上的射影在AB上， 同理可得点P在平面ABCD上的射影在AD上， 所以点P在平面ABCD上的射影为AB与AD的交点A, 所以PA⊥平面ABCD; (2)因为tan∠PBA=2V3,tan∠PDA=√3， 不妨设AB=3,AD=6,PA=6V5, 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 答案第9页，共13页 ZA P 其中CG=2G乎，则P0,0,63),C(3,6,0),D(0,6,0), M(0,3,0),G1,2,43), 故PD=(0,6,-63),DC=(3,0,0), 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,), mPD=(xy)(0,6,63)=6y-6W:=0 则 n-DC=(x,y)(3,0,0)=3x=0 解得x=0,令z=1,则y=√5，故=(0,5,1)， 又MG=(1,-1,4V3),设直线MG与平面PCD所成角为0， 则sin6 G -1,45)05,136 MG·7 √1+1+48×V3+1 20 所以直线MG与平面PCD所成角的正弦值为3V6 20 19.(1)3-ln2; (2)证明见解析： f5-0 (1)对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值： (2)对函数求导，根据已知有x,x2是x2-bx+1=0在(0，+0)上的两个不同根，进而得到 [b>2 =b,结合基本不等式有fe)+e)-空>26E亡空为利用导数证明 {2=1 ve 4 答案第10页，共13页