第07讲 平面直角坐标系（5知识点+11考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第07讲 平面直角坐标系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 影院入场券上的“12排8座”可记为有序数对（12，8），则4排5座可表示为　 　 ． 【答案】（4，5）． 【分析】由于将“12排8座”简单记作（12，8），根据这个规定即可确定4排5座表示的点坐标． 【解答】解：∵“12排8座”简单记作（12，8）， ∴“4排5座”可以表示为（4，5）． 故答案为：（4，5）． 象棋是流行广泛的益智游戏．如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的有序数对分别为（1，3），（﹣2，1），则表示棋子“马”的点有序数对为（　　） A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（4，3） 【答案】D 【分析】根据点的坐标确定点的位置求解即可． 【解答】解：∵棋子“炮”和“車”的有序数对分别为（1，3），（﹣2，1）， ∴表示棋子“马”的点有序数对为（4，3）， 故选：D． 知识点2：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系相关概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 说明：一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点 ，如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ；过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ，有序数对 就表示点 .这样的有序数对是由点 唯一确定的.反过来，任意给定有序数对 ，可在 轴上描出数 所对应的点 ，在 轴上描出数 所对应的点 ；过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线的交点 就表示有序数对 ，这样的点也是唯一确定的. 于是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应.P M N 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【解答】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 知识点3：点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 在平面直角坐标系中，点（1，﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0进行判断即可． 【解答】解：∵第四象限内的点横坐标＞0，纵坐标＜0， ∴点（1，﹣3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . 注意： (1) 在写点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，两数中间用“，”隔开. (2) 点的坐标是有序数对， 与 （）表示不同的点的坐标. (3) 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 已知点A在x轴上，且点A到y轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3） 【答案】C 【分析】点A在x轴上，故纵坐标为0，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，由此可求横坐标． 【解答】解：∵点A在x轴上， ∴纵坐标为0， ∵点A到y轴的距离为3， ∴横坐标为3或﹣3， ∴点A的坐标为（3，0）或（﹣3，0）． 故选：C． 知识点4：简单图形的坐标表达 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上的点的坐标的特征是（　　） A．横坐标是2 B．纵坐标是2 C．横坐标是﹣1 D．纵坐标是﹣1 【答案】A 【分析】根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题 【解答】解：因为平行于y轴的直线上，点的横坐标都相等， 所以过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上的点的坐标的特征是横坐标是2． 故选：A． 在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为（﹣4，1）或（4，13）； （2）点P的坐标为（﹣8，﹣5）． 【分析】（1）根据点P到y轴的距离为4，得到|2m﹣4|＝4，解方程求出m的值即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【解答】解：（1）由题意得|2m﹣4|＝4， 解得：m1＝0，m2＝4， ∴3m+1＝1，3m+1＝13， ∴点P的坐标为（﹣4，1）或（4，13）； （2）由条件可知3m+1＝﹣5， ∴m＝﹣2， 则2m﹣4＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8， ∴点P的坐标为（﹣8，﹣5）． 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 总结 建立平面直角坐标系求几何图形中点的坐标的技巧 为了使几何图形中点的坐标相对简单，建立坐标系时，可考虑如下技巧： (1) 以某已知点或图形的某个顶点为原点. (2) 以某些特殊线段所在直线为 轴或 轴. (3) 使图形中有尽可能多的点落在坐标轴上. (4) 使几何图形大部分处于第一象限. (5) 使图形关于坐标轴对称. 在平面直角坐标系中描出以下各点：A（3，2）、B（﹣1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（4，﹣1）． （1）顺次连接A、B、C、D得到四边形ABCD； （2）计算四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】先画图，再根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 【解答】解：（1）A、B、C、D点位置如图所示． （2）S四边形ABCD为梯形的面积（4+6）×3＝15． 知识点5：物体位置的坐标表示 先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 【答案】平面直角坐标系见解答．广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）． 【分析】以广场为坐标原点建立平面直角坐标系，然后结合图形写出其他各点的坐标即可． 【解答】解：如图， 广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）． 题型一：用有序数对表示位置 例1．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对，解题的关键是根据题意确定有序数对的含义． 根据有序数对的第一个数表示年级，第二个数表示班级解答． 【详解】解：∵表示七年级一班， ∴八年级五班可表示成 故选：C． 【变式1】如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（   ） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】此题主要考查了有序数对的实际应用．根据“3排1号”记作求解即可． 【详解】解：∵“3排1号”记作， ∴表示5排3号． 故选：B． 【变式2】根据下列表述，能确定一个具体位置的是（   ） A．某影城1号厅3排 B．负一层停车场 C．北纬，东经 D．南偏西方向 【答案】C 【知识点】根据方位描述确定物体的位置、实际问题中用坐标表示位置、用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对确定位置．理解确定位置需要两个数据是解题关键． 根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解． 【详解】解：A仅指定排数未指定座位，B仅指定楼层未指定车位，D仅指定方向未指定距离，均不能确定唯一位置；C提供经纬度坐标，能唯一确定地球上一个点； 故选项C给出的北纬和东经，能唯一确定位置 ； 故选：C． 【变式3】如图中，点用数对表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用有序数对表示位置． 根据题干图像作答即可． 【详解】解：由点和点同行，和点同列， 所以点用数对表示是． 故选：C． 题型二：用有序数对表示路线 例2．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】(1)，，D， (2)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线 【分析】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数. （2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置.. 【详解】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3， 再向下移动2个单位，所以上下方向的数是 ：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1 再向下移动个单位，所以上下方向的数是 故答案为：，，D，. （2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位； 接着(−1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位； 然后(+3,−5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位； 最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置. 【变式1】如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 【变式2】如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【答案】(1)，，，， (2)①7, 3；② (3)， 【知识点】用有序数对表示路线、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查利用坐标确定点的位置的方法，正确地理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示是解题的关键． （1）根据规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”即可求解； （2）①将从处去处的行走路线的第一个数相加后等于，表明向右走了6个单位，将行走路线的第二个数相加后等于，表明向上走了1个单位，由此即可求解；②将行走路线的第一个数的绝对值和第二个数的绝对值相加，即可求出从处去处行走的路程； （3）根据，，可知从到时，，，相当于向右走了2个单位，向上走了4个单位，由此即可求解． 【详解】（1）由规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”， 记为，记为， 故答案为：，，，； （2）①若机器人从处去处的行走路线依次为，，，， ， 相当于向右走了6个单位， ， 相当于向上走了1个单位， 点， 点的坐标为， 故答案为：7, 3； ②，， ， 机器人按上述路线从处去处行走的路程为； （3），， 当从到时，，，相当于点向右走了2个单位，向上走了4个单位到达点， 从到应记为：， 故答案为：，． 【变式3】如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【答案】(1)马，炮 (2)表示象，表示卒 (3) 【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是： （1）观察棋盘结合“马”“炮”所在的位置即可求解； （2）观察棋盘判断即可； （3）根据车的行走规则，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用表示，炮所在的位置用表示； （2）解：根据题意，得表示象的位置，表示卒的位置； （3）解：根据题意，得可以用表示． 题型三：写出直角坐标系中点的坐标 例3．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，作轴对称图形，解题关键是掌握正确画出图形． （1）作出，使和关于轴对称； （2）根据在坐标系中的位置，写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． (1)作出； (2)若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，轴对称图形的作图，坐标变换的应用，掌握坐标变换规律是解题关键． （1）先求出各顶点关于轴对称的点的坐标，再依次连接这些对称点，即可作出； （2）根据关于轴对称的点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，直接得出​的坐标． 【详解】（1）解：如图即为． （2）解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数， 已知点，它关于轴对称的点的坐标为：． 答：． 【变式2】如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)作图见详解， (2) (3)作图见详解， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、最短路径问题、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握轴对称图形的作图方法及性质，网格求几何图形面积的方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图，结合平面直角坐标系的特点得到点的坐标； （2）运用网格计算三角形面积即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， ∴； （2）解：； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴点即为所求点的位置． 【变式3】如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． (1)作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，，与所在直线的位置关系为垂直 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，两条直线的位置关系． （1）先确定点的位置，再连线可得，然后写出点的坐标即可； （2）根据题意画出图形，然后结合图形解答即可． 【详解】（1）解：如图，点的坐标为． （2）解：如图，M的坐标为． ∵， ∴与所在直线的位置关系为垂直． 题型四：求点到坐标轴的距离 例4．如图，已知点，，，求的面积． 【答案】3.5 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，能将的面积转化为与梯形的面积和减去的面积是解题的关键． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，用与梯形的面积和减去的面积即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ，，， ，，，， ， ． 【变式1】如图，已知直线经过点A，B，求此直线上： (1)横坐标为2的点的坐标． (2)纵坐标为3的点的坐标． (3)到y轴的距离等于2的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)和 【知识点】求一次函数解析式、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）把代入求出即可得到直线解析式，计算横坐标为的点的纵坐标即可得到该点的坐标； （2）令，求出横坐标的值，即可得到该点的坐标； （3）到轴的距离等于的点横坐标为或，结合（1）（2）即可得到该点的坐标． 【详解】（1）解：（1）把代入， 得， ， ∴当时，， ∴横坐标为的点的坐标为． （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴纵坐标为的点的坐标为． （3）解：∵到轴的距离等于的点的横坐标为或， ∴由（1）（2）可知符合条件的点的坐标为和． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的性质定理及点P的坐标，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】解：如图所示，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E， 点在第一象限的角平分线上， ， , ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ,， ， ， ， 故选：C． 【变式3】已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为 (1)若点在轴上，求的值；并直接写出点能否为原点． (2)若轴，并且点的坐标为． ①求点的坐标； ②求线段的长． 【答案】(1)，不能 (2)①；② 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；根据横，纵坐标，即可判断点M不能为原点； （2）①根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案； ②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴点的纵坐标为0， 即． 解得； 当，；当，， ∴点M不能为原点； （2）解：∵轴， ∴点M和点N的纵坐标相等． 即． 解得． ∴点M的坐标为； ∵点N的坐标为，点M的坐标为， ∴． 题型五：判断点所在的象限 例5．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 【变式1】点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查判断点所在象限，掌握平面直角坐标系中各象限点的特点是关键． 通过分析点的横纵坐标符号与的关系，判断点可能出现的象限． 【详解】解：点， 当，时，即时，点在第一象限； 当，时，即时，点在第四象限； 当时，，则点在第二象限； ∴不可能在第三象限， 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第 象限． 【答案】三 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、判断点所在的象限 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征、平方的非负性、象限内点的坐标符号特征，掌握关于轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，以及利用平方的非负性判断坐标符号是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，横坐标取相反数，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限． 【详解】解：点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 ∵，∴，则； ∵，∴； 因此点的横坐标为负，纵坐标为负， 故点在第三象限． 故答案为：三． 【变式3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 题型六：已知点所在的象限求参数 例6．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 【变式1】已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称、求不等式组的解集 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为，且该点在第一象限， ∴ ， 解得， 故选：． 【变式2】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【答案】A 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标规律是解题的关键． 根据第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ，解得． 故选：A． 【变式3】已知点在x轴上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，利用x轴上点的坐标特点列方程解答是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0 可得方程，解方程，可得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：C． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点到x轴的距离为2，则a的值为 ． 【答案】6 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，结合点在第一象限，纵坐标为正，建立方程求解． 【详解】解：∵点到x轴的距离为2 ∴． ∵点P在第一象限， ∴， ∴， 解得． 故答案为6． 【变式5】点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，熟知第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等是解题的关键．第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，即点的横坐标与纵坐标相等，即可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为． 题型七：坐标系中描点 例7．小红想将“观山湖区”四个字中的“山”字在平面直角坐标系中画出来，请你帮她完成： (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，并按的顺序依次连接； (2)作出点，关于轴的对称点，，并按的顺序依次连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】坐标系中描点、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系，在坐标系中描点，轴对称作图． （1）根据点的坐标特征先描出各点，再按照的顺序依次连接； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等作出点，，再按照的顺序依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，其坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、最短路径问题 【分析】（1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点A关于轴的对称点与点C连接交轴于点P，则点P即为所求．再根据图形求出直线的解析式为，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵关于轴对称的三角形为， 且，， ∴， 描出，顺次连接各点，即得， 如图：即为所求； （2）解：如图：作出点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点P即为所求， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，轴对称变换，求一次函数解析式，最短距离等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，是解题关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出． (2)画出关于x轴对称的，则点F的坐标为________________． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)点P的坐标为或 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）在坐标系中描出、、三点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质作图，然后写出点的坐标即可； （3）设，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 点坐标为． （3）解：设， 则， 解得或， 则点的坐标为或． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，平面直角坐标系，点的坐标，三角形的面积公式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 题型八：实际问题中用坐标表示位置 例8．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，首先根据“帅”的坐标确定原点的位置，然后再画出坐标系，进而可得答案． 【详解】解：如图所示： “马”的坐标是， 故选：D． 【变式1】如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 【变式2】如图为某县甲，乙两镇在平面直角坐标系中的位置示意图，则下列关于甲，乙两镇坐标描述正确的是（   ） A．乙 B．乙 C．甲 D．甲 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查确定平面直角坐标系中点的坐标，直接根据平面直角坐标系得到甲、乙两镇的坐标，即可解答． 【详解】解：由图可得，甲镇的坐标为，乙镇的坐标为． 故选：D． 【变式3】小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为 ，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；因此此题可根据题中所给平面直角坐标系进行求解即可． 【详解】解：由坐标系可知：著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为； 故答案为． 题型九：用方向角和距离确定物体的位置 例9．如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 【答案】B 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题主要考查了方向角和距离表示位置．根据以正东，正北方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：， ∴学校在小明家南偏西方向上的1200米处， 故选：B． 【变式1】下列描述能够确定位置的是（    ） A．轮船沿北偏东方向行驶 B．天安门附近 C．八年一班在二层 D．东经北纬 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、根据方位描述确定物体的位置、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了坐标确定位置的问题，关键是要知道确定一个点的位置必须有两个数据来判断．A选项仅提供方向，无起点或距离；B选项“附近”范围模糊；C选项只指定楼层，无具体房间；D选项给出具体经度和纬度，能唯一确定地球上的点． 【详解】解： A．轮船沿北偏东方向行驶，只能确定方向，无法确定位置，故选项A不符合题意； B．天安门附近，无法确定位置，故选项B不符合题意； C．八年一班在二层，无法确定位置，故选项C不符合题意； D．东经北纬，可以确定一点的位置，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 【答案】C 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解方向角的表示方法是解题关键，利用方向角的表示方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故A错误，不符合题意； B、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故B错误，不符合题意； C、小艇A在游船的北偏东，且距游船处，故C正确，符合题意； D、小艇B在游船的北偏西，且距游船处，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 题型十：根据方位描述确定物体的位置 例10．根据下列表述，能确定位置的是（  ） A．在花溪大道上 B．在红星电影院第3排 C．北纬，西经 D．距贵阳北站处 【答案】C 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查位置确定的条件，在平面内，要唯一确定一个点需要两个独立的坐标，选项A、B、D均只能确定一条线或一个圆，无法指定具体点；选项C通过经纬度坐标唯一确定一个点． 【详解】解：∵ 确定位置需两个独立参数； 选项A：仅指定道路，为一条线，不能确定点； 选项B：仅指定排数，为一条线，不能确定点； 选项C：北纬和西经唯一对应一个点； 选项D：仅指定距离，为圆上任意点，不能确定点； ∴ 能确定位置的是C． 故选：C． 【变式1】如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 【变式2】如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【答案】D 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查的是方位角问题，根据导航提示“向右前方行驶”结合图象直接写出结论． 【详解】解：由图知，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向振兴路， 故选：D． 【变式3】如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据方位描述确定物体的位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系． （1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可； （3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示，点． 题型十一：求不规则图形的面积 例11．已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【答案】画图见解析，这个四边形的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，先描点，然后连线，分别过作轴交于点，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先描点，，，，然后连线， ∴四边形即为所求， 分别过作轴交于点， ∴ ． 【变式1】如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，．    （1）求这个四边形的面积． （2）在轴上有一点使得的面积与四边形的面积相等，求点坐标． 【答案】（1）94；（2）或 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点B作轴，过点C作轴，      ∴这个四边形的面积 ； （2）设 ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴解得或， ∴或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，求三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式2】在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 【变式3】四边形的各顶点坐标分别是，，，． (1)在给出的平面直角坐标系中描出点，，，； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与图形性质，解题关键是利用了平面直角坐标系与点的关系． （1）在平面直角坐标系中描出，，，各点的位置即可； （2）顺次连接，，，即可得到四边形，根据一个梯形面积和两个直角三角形的面积之和即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）四边形的面积． 【变式4】四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据坐标画出图形即可； （）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，利用计算即可； 本题考查了坐标与图形，四边形的面积，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 由图可知，， ． 【变式5】对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为______，所以面积的大小为______． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______，用其它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积______．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】 我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：______． 【答案】结论应用：4，20； 再探新知：（1）36，37.5，不合适； （2）36，36，合适； （3）合适； 归纳总结：一条对角线等于水平宽或铅垂高． 【分析】结论应用：直接代入公式即可； 再探新知：（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案； （2）（3）与（1）同理； 归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=dh”来求面积． 【详解】解：结论应用：由图形知，铅垂高为4，S△ABC=×10×4=20， 故答案为：4，20； 再探新知： （1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 8×9-×2×6−×3×5−×6×5−×3×4=37.5， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适， 故答案为：36，37.5，不合适； （2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 8×9-×3×5−×6×5−×3×6−×3×3=36， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适， 故答案为：36，36，合适； （3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小 45， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 10×9-×5×7−×4×6−×5×3−×4×4=45， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适， 故答案为：合适； 归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=dh”来求面积， 故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高． 【点睛】本题主要考查了图形的面积，坐标与图形，割补法求不规则图形的面积等知识，由特殊到一般，采用类比的方法是解题的关键． 1．下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系象限的定义，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正．根据坐标点的位置特征逐一判断即可． 【详解】解：∵第二象限的点需满足且， ∴选项B：中，，，符合条件； 选项A：中，，，位于第一象限； 选项C：中，，，位于第三象限； 选项D：中，，，位于第四象限． 因此，只有选项B位于第二象限． 故选：B． 2．已知点的坐标为，且点P在y轴上，则 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，根据轴上的点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得． 故答案为：． 3．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【答案】或/或 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握轴上的点横坐标为，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据点在轴上，可得横坐标为；根据点到轴的距离为，可得纵坐标为． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为． ∵点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为或． ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 4．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为 ．    【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查坐标确定位置，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系是解题关键． 根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【详解】解：根据“创”“新”的坐标分别为， 可得如图的坐标系：    则“技”的坐标为． 故答案为：． 5．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【知识点】根据方位描述确定物体的位置、方向角的表示 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 6．如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置 【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键． （1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案； （2）利用已知有序数对，进而得出答案； （3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可． 【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示； 故答案为：； （2）解：如图所示：李红家的位置即为所求； （3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为： ． 7．已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限； (2)若点在轴上，求点坐标； (3)若的坐标是，且轴，求点坐标． 【答案】(1)；四 (2) (3) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查点与坐标轴的特点，掌握点在坐标轴上点的横纵坐标的特点以及两直线平行的性质是解题的关键． （1）把代入，即可求解． （2）根据点在轴上，横坐标为零，即可求解； （3）根据平行与轴，则纵坐标相等，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限； 故答案为：；四 （2）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵点，的坐标是，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 8．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)试在平面直角坐标系中，标出、、三点； (2)求的面积； (3)若与关于轴对称，写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 (3)、、 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标表示，关于轴对称的点的坐标特征．熟悉根据坐标确定点在坐标系中的位置，关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，是解题的关键． （1）根据横坐标对应轴的位置，纵坐标对应轴的位置，标出坐标点即可． （2）判断三角形的形状，是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可． （3）根据关于轴对称的点的坐标特征，计算关于轴对称的点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，点、、即为所求； （2）解：由图可知：，，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵与关于轴对称，且，，， ∴、、． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第07讲 平面直角坐标系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 影院入场券上的“12排8座”可记为有序数对（12，8），则4排5座可表示为　 　 ． 象棋是流行广泛的益智游戏．如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的有序数对分别为（1，3），（﹣2，1），则表示棋子“马”的点有序数对为（　　） A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（4，3） 知识点2：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系相关概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 说明：一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点 ，如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ；过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ，有序数对 就表示点 .这样的有序数对是由点 唯一确定的.反过来，任意给定有序数对 ，可在 轴上描出数 所对应的点 ，在 轴上描出数 所对应的点 ；过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线的交点 就表示有序数对 ，这样的点也是唯一确定的. 于是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应. P M N 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点3：点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 在平面直角坐标系中，点（1，﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . 注意： (1) 在写点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，两数中间用“，”隔开. (2) 点的坐标是有序数对， 与 （）表示不同的点的坐标. (3) 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 已知点A在x轴上，且点A到y轴的距离为3，则点A的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3） 知识点4：简单图形的坐标表达 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上的点的坐标的特征是（　　） A．横坐标是2 B．纵坐标是2 C．横坐标是﹣1 D．纵坐标是﹣1 在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P到y轴的距离为4时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣5），求出点P的坐标． 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 总结 建立平面直角坐标系求几何图形中点的坐标的技巧 为了使几何图形中点的坐标相对简单，建立坐标系时，可考虑如下技巧： (1) 以某已知点或图形的某个顶点为原点. (2) 以某些特殊线段所在直线为 轴或 轴. (3) 使图形中有尽可能多的点落在坐标轴上. (4) 使几何图形大部分处于第一象限. (5) 使图形关于坐标轴对称. 在平面直角坐标系中描出以下各点： A（3，2）、B（﹣1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（4，﹣1）． （1）顺次连接A、B、C、D得到四边形ABCD； （2）计算四边形ABCD的面积． 知识点5：物体位置的坐标表示 先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 题型一：用有序数对表示位置 例1．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（   ） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 【变式2】根据下列表述，能确定一个具体位置的是（   ） A．某影城1号厅3排 B．负一层停车场 C．北纬，东经 D．南偏西方向 【变式3】如图中，点用数对表示是（    ） A． B． C． D． 题型二：用有序数对表示路线 例2．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【变式1】如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【变式2】如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【变式3】如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 题型三：写出直角坐标系中点的坐标 例3．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． (1)作出； (2)若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ． 【变式2】如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写画法）． 【变式3】如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． (1)作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 题型四：求点到坐标轴的距离 例4．如图，已知点，，，求的面积． 【变式1】如图，已知直线经过点A，B，求此直线上： (1)横坐标为2的点的坐标． (2)纵坐标为3的点的坐标． (3)到y轴的距离等于2的点的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3】已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为 (1)若点在轴上，求的值；并直接写出点能否为原点． (2)若轴，并且点的坐标为． ①求点的坐标； ②求线段的长． 题型五：判断点所在的象限 例5．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第 象限． 【变式3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 题型六：已知点所在的象限求参数 例6．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【变式3】已知点在x轴上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式4】在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点到x轴的距离为2，则a的值为 ． 【变式5】点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为 题型七：坐标系中描点 例7．小红想将“观山湖区”四个字中的“山”字在平面直角坐标系中画出来，请你帮她完成： (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，并按的顺序依次连接； (2)作出点，关于轴的对称点，，并按的顺序依次连接． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，其坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出． (2)画出关于x轴对称的，则点F的坐标为________________． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 题型八：实际问题中用坐标表示位置 例8．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图为某县甲，乙两镇在平面直角坐标系中的位置示意图，则下列关于甲，乙两镇坐标描述正确的是（   ） A．乙 B．乙 C．甲 D．甲 【变式3】小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为 ，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪． 题型九：用方向角和距离确定物体的位置 例9．如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 【变式1】下列描述能够确定位置的是（    ） A．轮船沿北偏东方向行驶 B．天安门附近 C．八年一班在二层 D．东经北纬 【变式2】小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇C在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（   ） A．小艇A在游船的北偏东，距游船处 B．小艇B在游船的北偏西，距游船处 C．小艇A在游船的北偏东，距游船处 D．小艇B在游船的南偏西，距游船处 【变式3】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 题型十：根据方位描述确定物体的位置 例10．根据下列表述，能确定位置的是（  ） A．在花溪大道上 B．在红星电影院第3排 C．北纬，西经 D．距贵阳北站处 【变式1】如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【变式2】如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【变式3】如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 题型十一：求不规则图形的面积 例11．已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【变式1】如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，．    （1）求这个四边形的面积． （2）在轴上有一点使得的面积与四边形的面积相等，求点坐标． 【变式2】在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【变式3】四边形的各顶点坐标分别是，，，． (1)在给出的平面直角坐标系中描出点，，，； (2)求出四边形的面积． 【变式4】四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 【变式5】对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为______，所以面积的大小为______． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______，用其它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积______．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】 我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：______． 1．下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为，且点P在y轴上，则 ． 3．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 4．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为 ．    5．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 6．如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 7．已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限； (2)若点在轴上，求点坐标； (3)若的坐标是，且轴，求点坐标． 8．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)试在平面直角坐标系中，标出、、三点； (2)求的面积； (3)若与关于轴对称，写出、、的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $知识，点1： 知识点2： 平面直角坐标系 知识，点3： 知识点4： 知识点5： 定义：有顺序的两个实数a和b组成的数对，记作(a,b),用于表示平面内点的位置。 有序数对 两个数之间用逗号隔开。 注意点： "有序"指两个数的位置不能交换，如(4,5)与(5,4)表示不同位置。 平面直角坐标系：由两条互相垂直且有公共原点的数轴构成，记作x0y。 基本概念： 两轴：x轴（横轴，水平方向，正方向向右）、y轴（纵轴，竖直方向，正方向向上）。 原点：两轴公共原点，记为0。 平面上的点与有序数对一一对应。 点与有序数对的对应关系： 平面直角坐标系 给定点P,可唯一确定有序数对(a,b);反之亦然。 选原点：选择合适的，点作为原点。 建立坐标系的步骤： 作两轴：过原点作互相垂直的x轴和y轴。 定坐标系：确定正方向和单位长度，标出x、y。 点的坐标概念： 点P(a,b)中，a称为横坐标，b称为纵坐标。 几何意义： ,点P(a,b)到x轴的距离为b|,到y轴的距离为a。 第一象限：(+，+) 第二象限：(，+) 象限划分： 第三象限：(，） 点的坐标 第四象限：(+，） 由点找坐标：向x轴作垂线得横坐标，向y轴作垂线得纵坐标。 确定点的坐标方法： 由坐标描点：根据横、纵坐标描出对应点。 x轴上的点：纵坐标为0，记为(x,0)。 特殊点： y轴上的点：横坐标为0，记为(0，y)。 原点：(0,0)。 坐标轴上点的特点： x轴：直线y=0;y轴：直线x=0。 平行于x轴的直线：y=b（纵坐标相同)。 平行于坐标轴的直线： 平行于y轴的直线：x=a(横坐标相同)。 简单图形的坐标表达 图形的坐标表达： 用坐标表示简单图形的顶点位置，从而确定图形形状和大小。 以已知，点或图形顶点为原，点。 以特殊线段所在直线为坐标轴。 建立合适坐标系的原则 使图形尽可能多落在坐标轴上或第一象限。 使图形关于坐标轴对称。 实际应用： 用平面直角坐标系描述物体位置（如商场、学校等）。 物体位置的坐标表示 选择合适的参考点作为原，点。 方法： 根据方向与距离确定点的坐标。