广东省惠州光正实验学校2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试题1

2025-2026学年广东省惠州光正高二（上）期末数学模拟试卷1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在公差不为的等差数列中，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，，若，则实数等于(    ) A. B. C. D. 3.已知点，，直线与直线平行，则实数等于(    ) A. B. C. D. 4.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的下列椭圆中，形状更接近圆的是(    ) A. B. C. D. 5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 6.已知实数，满足方程，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设，则错误的是(    ) A. B. C. D. 8.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内含边界移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆：，直线：其中为参数，则下列选项正确的是(    ) A. 圆心坐标为 B. 若直线与圆相交，弦长最大值为 C. 直线过定点 D. 当时，直线与圆相切 10.公比为的等比数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则(    ) A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为，则等于______． 13.在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是：______注：写出一个具体的坐标即可 14.古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式例如，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给个人，如果每人不够，每人分，余，再将这分成份，每人得，这样每人分得按照此方法理解，可以分解为哪两个单分数的和？        ；按此规律，则        四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆的方程为． 求实数的取值范围； 若圆与直线：交于，两点，且，求的值． 16.本小题分 设数列满足． 证明；数列为等差数列； 求数列的前项和． 17.本小题分 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆． 求椭圆的方程； 已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，，证明：． 18.本小题分 如图，正四棱锥的底面边长和高均为，、分别是和的中点． 证明：； 若点满足，且点在平面内，求的值； 求直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点． 已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标； 已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆． 求斜椭圆的离心率； (ⅱ)过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点、，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 2025-2026学年广东省惠州光正高二（上）期末数学模拟试卷1答案和解析 1.【答案】  【解析】解：在公差不为的等差数列中，， 设等差数列的公差为，则，即， ，故A错误；，故B错误； ，故C错误；，故D正确． 2.【答案】  【解析】解：空间向量，，， 则，解得． 3.【答案】  【解析】解：点，，则，直线与直线平行，则． 4.【答案】  【解析】解：，由椭圆的性质可得离心率越小，越接近于圆， 即与越接近，该椭圆越接近于圆， 中，，中，中，，中，， 因为，所以，，，所以更接近于圆． 5.【答案】  【解析】解：空间向量，， 则，， 故向量在向量上的投影向量是：． 6.【答案】  【解析】解：因为，所以， 所以圆心，半径为， 设，即， 则表示与直线平行或重合的直线的在轴上的截距， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，为最大值或最小值， 则，因为，， 所以，解得或， 所以，因为，所以． 故选：． 求出圆的圆心和半径，设，即，则表示与直线平行或重合的直线在轴上的截距，求出圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，为最大值或最小值，则，代入和的值，计算求出的值，即可得到的最小值． 本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等，属于中档题． 7.【答案】  【解析】解：在平行六面体中，，，与的交点为，设， 对于选项A和：利用三角形法则，故A正确，B错误； 对于选项C： ， 所以，故选项C正确， 对于选项D：， ，所以选项D正确． 故选：． 利用三角形法则以及模长公式和向量夹角公式即可求得结果． 本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：过作于点，连接， 则根据题意易得平面，且平面， ，， 分别以，，所在直线为坐标轴，建系如图： 设，则，， ， 即，， 端点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆弧， 端点的轨迹长度为． 9.【答案】  【解析】解：由圆可化为，可得圆心坐标为，故A正确；弦长最大值为直径， B错误； 由直线方程可化为，则直线过定点，故 C错误； 当时，直线即， 圆心到直线的距离，从而直线与圆相切，故 D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：因为，，所以，解得故AB正确； 所以，因为，故C错误； 因为，故D正确． 11.【答案】  解：对于，当时，，即，所以， 故点在线段上，此时的周长为， 当点为的中点时，的周长为， 当点在点处时，的周长为， 故周长不为定值，故选项A错误； 对于，当时，，即，所以， 故点在线段上， 因为平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确； 对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结， 因为，即，所以， 则点在线段上， 当点在处时，，， 又，所以平面， 又平面，所以，即， 同理，当点在处，，故选项C错误； 对于，当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上， 当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 故AD平面，又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面，所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项D正确． 故答案选：． 12.【答案】  【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为， 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，点的横坐标为， 不妨设是第一象限的点，则等于点到准线的距离，等于． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：如果，向量，向量， 则，即， 不妨令，，则， 故向量的坐标可以是． 故答案为：答案不唯一． 14.【答案】 【解析】解：有两个面包，要平均分给个人，如果每人分，余， 再将这分成份，每人得，这样每人分得，所以； 有两个面包，要平均分给个人，如果每人分，余， 再将这分成份，每人得，这样每人分得， 所以． 15.【答案】    【解析】解：已知圆的方程为． 可化为， 因为此方程表示圆，所以，即， 故实数的取值范围是； 若圆与直线：交于，两点， 由可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线：的距离为， 由图可得：即， 解得：，即的值为． 16.【答案】证明：由， 得， 当时，， 得：，则， ， 数列是公差为的等差数列； 解：， 数列的前项和 ．  17.【解析】解：由椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍， 可得，解得， 又因点在椭圆上，即，解得， 所以椭圆的方程为． 证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以．故证：． 18.【答案】证明：连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，则， 所以． 解：由得，， 因此， 设平面的法向量，由，得， 令，则，，所以， 由于点在平面内，则，则， 即，解得． ，由可得平面的法向量， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．  19.【答案】解：由已知得， 所以， 设， 则， 解得，， 则点的坐标为； 由于直线与斜椭圆联立方程得： 解得或，即交点为和，则， 由于直线与斜椭圆联立方程得： 解得或，即交点为和，则． 所以，则椭圆的离心率为． 由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线：， 与斜椭圆联立得： 即， 又由题意可知在斜椭圆内，则， ，， ， 又设直线：，代入斜椭圆中，得， ，， 故． 即为定值．  1 学科网（北京）股份有限公司 $