第09讲 平面直角坐标系与函数（复习讲义，4考点13题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 平面直角坐标系 题型01 坐标的确定与读写 题型02 判断点所在的象限或坐标轴 题型03 由点在坐标系的位置求坐标中的参数 题型04 点的坐标与点到坐标轴的距离 题型05 在平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 题型06 点的坐标与平移 题型07 关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换坐标 命题点二 坐标方法的简单应用 题型01 实际问题中用坐标表示位置 题型02 用方位角和距离确定物体位置 题型03 平面直角坐标系中面积问题 命题点三 函数的有关概念 题型01 实际问题中的函数关系建立 题型02 求自变量的取值范围 题型03 从函数图像中提取信息 05·重难突破·思维进阶难 57 突破一 平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 突破二 函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 突破三 函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 突破四 函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 06·优题精选·练能提分 74 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 平面直角坐标系 / 湖南省卷T10 理解平面直角坐标系的概念，掌握各象限内点的坐标特征，能根据坐标描点，能建立适当坐标系表示点的位置。 坐标方法的简单应用 湖南省卷T6 长沙市卷 T6 握点的平移规律（左减右加，上加下减）；能在坐标系中求两点间距离（结合勾股定理）；理解关于坐标轴对称的点的坐标变化规律。 函数的概念与表示 长沙市卷T24 长沙市卷 T10、T24 理解函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否为函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、列表、图像），并能根据问题选择适当表示方法。 命题预测 2026年湖南中考数学中，平面直角坐标系与函数基础模块将继续作为函数与几何综合的基础，题型覆盖选择、填空、解答题，具有以下特点：坐标与象限：常结合实际问题（如地理位置、图形位置）考查点的坐标与象限判断，或结合新定义（如“整点”“超整点”）进行探究。平移与对称：点的平移是基础考点，每年必考，常以选择题形式出现；对称考查较少，但需掌握。函数概念与表示：通过几何图形中的动点问题建立函数关系，是高频考点。新定义函数（如“对偶函数”“完美型双圆四边形”）成为压轴题热点，考查函数概念的理解与迁移能力。跨学科与生活情境：如经纬度与弧长计算、景区位置测量等，体现数学在实际生活中的应用。 备考建议 夯实坐标系基础 熟记各象限点的坐标符号特征：一象限(+,+)、二象限(-,+)、三象限(-,-)、四象限(+,-)。 掌握坐标轴上点的坐标特点：x轴(x,0)、y轴(0,y)。 掌握坐标变换规律 平移：记住“左减右加（x），上加下减（y）”，并能逆向运用。 对称：关于x轴对称(x,-y)、关于y轴对称(-x,y)、关于原点对称(-x,-y)。 距离：水平距离=|x₁-x₂|，垂直距离=|y₁-y₂|，斜距离用勾股定理。 理解函数本质 明确“一个自变量对应唯一一个因变量”是函数的核心特征。 能判断表格、图像、文字描述中两个变量是否为函数关系。 强化函数表示方法的转换 能根据解析式画图像（特别是正比例函数、一次函数）。 能根据图像或表格写出函数解析式（需结合其他条件如点坐标）。 能根据实际问题建立函数模型（如几何动点问题）。 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 2.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）. 3.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 4.平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据非负数的性质确定出，，则，然后根据各象限内点的坐标特征解答，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴点在第四象限， 故选：． 3.（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断． 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限， ∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意； 故选：． 考点二 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 1.（2025·湖南·模拟预测）冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键．先找到最靠近原点的壶所在方位，然后指出其所在的象限即可． 【详解】解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右上方， 胜方最靠近原点的壶所在位置位于第一象限． 故选：A． 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点的坐标为． 故选：D． 3.（2025·湖南永州·模拟预测）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，由无锡的位置坐标可得出“往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度”，结合图中小无锡的位置，即可得出结论． 【详解】解：∵无锡用表示， ∴规定往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度， ∴重庆的位置用坐标表示为， 故选：B． 4.（2025·湖南·模拟预测）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，建立坐标系找到坐标系的原点是关键． 根据表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，可得到表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点，继而求得棋子“炮”的点的坐标即可． 【详解】解：∵表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，， ∴表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点， ∴表示棋子“炮”的点的坐标为． 故选：B． 考点三 坐标与平移、轴对称、旋转 1.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 2.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 2.（2024·长沙卷·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 3.（2025·湖南·模拟预测）将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标平移，坐标轴上的点的特征，根据y轴上的点横坐标为0，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∵点Q在y轴上， ， ， ， 故选：B． 4.（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点位于哪个象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”求出对称点，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点关于原点的对称点为，在第二象限， 故选：B． 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角函数可得，由旋转的性质可得，，进而可证是的垂直平分线，再证明，延长交x轴于点， 则是的垂直平分线，则点C与点重合，再根据三角函数即可得解． 【详解】解：如图，连接， 点， ， ， 在中，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ∴点D在上，且D是 的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 延长交x轴于点， 则是的垂直平分线， ， 点C与点重合， ， ， ， 当时，点C的坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键正确作出辅助线，综合运用以上知识点． 考点四 函数 1.函数的有关概念及表示方法 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 函数 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 表示方法 列表法、解析式法、图像法 2.函数自变量的取值范围【热考】 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 1.（2025·湖南省卷·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 2.（2024·湖南长沙卷·真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C．） 3（2025·湖南永州·一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0，分母不等式0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：A． 4.（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由函数图象可得毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为，即可求出他徒步小时后（含中途休整时间）的路程，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，小毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为， ∴他徒步小时后（含中途休整时间）的路程为， ∴他离终点目标的路程为， 故选：． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 坐标的确定与读写 【典例】（2024·湖南长沙开福区·模拟）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可； 【详解】由题意可得，当四边形是正方形时，， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 故选C； 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）如图，将放在平面直角坐标系中，、两点在轴上，点在轴上，已知，，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先利用勾股定理求出，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标是， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；由已知条件得到，根据勾股定理得到，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D． (1)若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标； (2)在（1）的条件下求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）先利用坐标求出、长度，根据勾股定理算出，再依据轴对称性质得，进而求出，确定坐标； （2）设坐标，由轴对称知，用勾股定理列方程求坐标，再根据轴对称图形面积相等，结合三角形面积公式算面积 ． 本题主要考查了平面直角坐标系、勾股定理、轴对称的性质及三角形面积公式，熟练掌握轴对称性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 根据轴对称可知， 点D在x轴的正半轴上， ． 点D的坐标为． （2）解：设点C的坐标为， 由题意可知 ，即． 在中，由勾股定理， 得，解得． ∴点C的坐标为． ， 所以的面积为15． ►题型02 判断点所在的象限或坐标轴 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 1.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 【典例】（2025·湖南常德·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同类项的定义求出，得到点的坐标为，得出点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ， 点的坐标为， 点在第一象限． 故选：A． 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点所在象限的判定，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据平面直角坐标系中各象限中点的符号特点判定即可，第一象限点的符号，第二象限点的符号，第三象限点的符号，第四象限点的符号． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D ． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵点是点关于x轴对称的对称点， ∴点的坐标为， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 【变式3】（2025·湖南武冈·模拟）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点A所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性可得，再根据各个象限内点的坐标特征，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方的非负性以及各个象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握第一象限内点的坐标符号，第二象限内点的坐标符号，第三限内点的坐标符号，第四象限内点的坐标符号． ►题型03 由点在坐标系的位置求坐标中的参数 【典例】（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，由点在第四象限内可得，解不等式组求出的取值范围，再把解集在数轴上表示出来即可求解，掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限内， ∴， 解得， ∴的取值范围在数轴上可表示为： 故选：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南株洲·一模）已知点在轴上方，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标符号特点和一元一次不等式的解法，熟练掌握坐标轴上的点的坐标特点和各象限内的点的坐标特点是解题的关键． 根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在轴上方， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． ►题型04 点的坐标与点到坐标轴的距离 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 2.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为(   ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离；根据点到坐标轴的距离相等，得到横纵坐标绝对值相等的方程，解方程求出的值，再代入得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或 当时，，，则点的坐标为 当时，，，则点的坐标为 故选：A． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是 【答案】2 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求得． 【详解】解：点到x轴的距离是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南·模拟）若点P(x，y)在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝ ． 【答案】-1 【分析】根据点的坐标特征求解即可． 【详解】∵点P（x，y）在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝2，y＝﹣3， x+y＝2+（﹣3）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 【变式3】（2024·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，A，B，点 M 为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，利用中点坐标公式求出点 M的坐标，两点间距离公式求出的长即可． 【详解】解：∵A，B，点 M 为线段的中点， ∴， ∴； 故选D． 【变式4】（2025·湖南益阳·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． ►题型05 在平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 【典例】（2025·湖南张家界·三模）在平面直角坐标系中，已知点，点，则直线与 （填“x”或“y”）轴平行． 【答案】x 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点A和点B的纵坐标相同，即可得到直线与x轴平行． 【详解】解：∵点，点， ∴点A和点B的纵坐标相同， ∴直线与x轴平行， 故答案为：x． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“长方形的性质”“平行于坐标轴的点坐标特征”，通过图形特征，找到点之间的坐标关系是解题关键． 由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 故选： B． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，有，，，四点，若有一条直线l过点且与x轴垂直，则直线l也会经过的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，结合一条直线l过点且与x轴垂直，得这个直线上的点的横坐标都是，再根据四点的坐标情况进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵一条直线l过点且与x轴垂直， ∴这个直线上的点的横坐标都是， ∵，，， ∴直线l也会经过的点是点A， 故选：A 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图，在以点О为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点Р从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（回到为止） (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求出使得三角形CPO的面积是四边形OABC面积的一半的点P的横坐标； (3)点Р运动t秒后，是否存在点Р到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，， (2)3 (3)或 【分析】（1）直接根据矩形的性质写出坐标即可； （2）当P点在线段AB上时满足要求，此时P点横坐标与A点横坐标相等，即可作答； （3）点可能运动到或或上，所以进行分类讨论． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 根据平面直角坐标系得， ，， ∵轴， ∴C点、B点的纵坐标相等， ∴； （2）∵，， ∴AB⊥x轴， ∵轴， ∴BC⊥AB， ∴可得四边形OABC是矩形， 即四边形OABC的面积为：， 当P点在线段AB上时， 即有P点横坐标与A点横坐标相等为3， 则有， 此时P点横坐标为3， 当P点在线段OA或者线段BC上时， ∵此时P点横坐标小于A点横坐标，即， ∴， ∴， 故此时P点不满足要求； 当P点在OC上时，显然，不满足要求； 综上：P点横坐标为3； （3）存在， 如图2，∵， ∴点可能运动到或或上， ①当点运动到上时，， ∴，， ∴， 解得：， ∴, ∴点的坐标为； ②当点运动到上时，，即，点到的距离为4， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意； ③当点运动到上时，，即， ， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，矩形的性质． ►题型06 点的坐标与平移 点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）将点向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：将点先左平移3个单位长度，得到的坐标为，即，再向下平移5个单位长度，得到的坐标为，即， 故最终得到的坐标为． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标平移，坐标轴上的点的特征，根据y轴上的点横坐标为0，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∵点Q在y轴上， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，坐标与图形变化—平移，根据湿地和古村落的坐标分别为，得出坐标原点的位置，要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需向左平移1个单位，正确应用平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：湿地和古村落的坐标分别为，， 坐标原点在沙滩北个单位处， 要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需向左平移1个单位， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南娄底·模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． ►题型07 关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换 对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例】（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 【变式1】（2025·湖南常德·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点在第三象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： ． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南·模拟）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,找到坐标系，再读出“尾部”点坐标即可． 【详解】解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,,可建立坐标系如图： 则由图表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为, 答案选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的坐标的找法，正确确定坐标系是解题关键． 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 1.根据已知点的坐标建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2.通过直角坐标系，确定其它点的坐标. 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【答案】(1)高中楼 (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据坐标系中的位置即可得到答案， （4）根据坐标系解答即可． 【详解】（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是， ∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置， 故答案为：高中楼 （2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示： （3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为， 故答案为： （4）解：宿舍楼如图所示： 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图3，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．根据黑棋①的位置向左移动2个单位，再向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋③的坐标即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图， 白棋③的坐标为． 故选D． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟预测）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，由无锡的位置坐标可得出“往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度”，结合图中小无锡的位置，即可得出结论． 【详解】解：∵无锡用表示， ∴规定往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度， ∴重庆的位置用坐标表示为， 故选：B． 【变式3】（2024·湖南永州·模拟）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走个座位，再向上走个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则表示小华、小亮座位的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，直接利用以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案．正确理解横纵坐标的意义是解题关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图， ∵小明座位的坐标为， 又∵小华座位的坐标：在小明的座位向右走个座位，再向上走个座位， ∴小华座位的坐标为， ∵小旗帜位置的坐标为， ∴小亮座位的坐标为， 故选：D． ►题型02 用方位角和距离确定物体位置 【典例】（2024·湖南常德·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 【答案】B 【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走，以起点的位置为观测点，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∴同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的正东方向上， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键． 如图所示，延长到点，则，点所在的角度为，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点， ∴， ∴， ∴点所在的角度为， ∴， 故选：C ． 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 【答案】A 【分析】本题考查用方位角和距离表示实际位置，根据图形结合方向角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 灯塔相对于游轮的位置为南偏东的方向上，且相距处； 故选A． ►题型03 平面直角坐标系中面积问题 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 【典例】（2025·湖南郴州·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 【变式1】（2025·湖南湘潭·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相平分求算出的长度，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算． 【详解】解：∵四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，， ∴ ∴ ∴菱形的面积=． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质以及坐标与图形的性质，掌握菱形的对角线互相平分以及菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 【变式3】（2025北京模拟预测）如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）6，m，， （2）点P的纵坐标为． （3）点H的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系内求三角形的面积的方法是解题的关键． （1）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （2）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （3）根据的面积等于3，可得k的值，分情况讨论：①当点H在y轴右侧的直线上时，根据列方程求解即可；②当点H在y轴左侧的直线上时，根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积， 又∵， ∴，解得∶， ∴点B坐标为， 故答案为：6，m，，． （2）过点P作轴于点G，轴于点M，连接， 则的面积为，的面积为，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点P纵坐标为； （3）∵的面积为， ∵的面积等于3，， ∴， ∴， 如图：当点H在y轴右侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为； ②如图：当点H在y轴左侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为， 综上所述，点H坐标为或． 命题点三 函数 ►题型01 实际问题中的函数关系建立 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）快递公司规定：配送距离不超过3公里收费8元，超出部分每公里2元．若配送距离为x公里，费用y元与x的关系式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是对关系式进行化简，得到与的函数关系式．根据题意把千米分成3千米和千米两部分，再根据单价乘里程表示出关系式，再化简即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴y与x之间的函数表达式为． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为， 故选：C 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律，由已知可得得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，即可得当某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚时，y与x的关系可以表示为． 【详解】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，… 得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚， ∴第个图形中白棋有1枚，黑棋有枚； ∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，，与相交于点O，E为上的一点(点E与点B不重合)，过点E作，垂足为点F．设，的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） 不考虑自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，函数关系式的计算，掌握正方形的性质，三角形的面积，函数关系式的计算是关键． 根据正方形的性质，运用勾股定理得到，是等腰直角三角形，由此得到，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 故选：A ． ►题型02 求自变量的取值范围 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 【典例】（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，熟练掌握自变量的取值范围及二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南永州·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围．熟练掌握分式的分母不为0，是解题的关键． 根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握函数是分式、二次根式时的自变量取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵函数有意义， ∴自变量的取值范围为， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3】（2025·湖南常德·模拟）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． ►题型03 从函数图像中提取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）    A．途中修车花了 B．修车之前的平均速度是/ C．车修好后的平均速度是/ D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍 【答案】D 【分析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题． 【详解】解：由图象可知途中修车花了， 修车之前的平均速度是÷/， 车修好后的平均速度是÷/, ∴ 故A、B、C错误，D正确． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键． 【变式3】（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 突破一 平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 【典例】如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出当脚码分别为偶数和奇数时的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：由图可得： ∵，，，，， ， ∴得到规律， 当为奇数时：； 当为偶数时：； ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点处，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．先写出，，，， 的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标是各A点的下标的，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察图形可知：，，，，…… 各个点的横坐标是各A点的下标的，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环， ∴的横坐标为， ∵， ∴的纵坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 【变式3】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式4】如图，已知 ，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 突破二 函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 【典例】匀速地向如图所示的一个空容器里注水，最后把容器注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高（升高的速度越来越快）， 所以符合题意的函数图象为选项C． 故选：C． 【变式1】由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键． 【变式2】小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式3】小强家距学校，某天小强以的速度去学校，出发后，小强爸爸发现小强忘记带数学课本，于是，爸爸立即以的速度跑步去追小强，追上后，两人停留了，为了按时到校，小强以的速度慢跑前进，爸爸以原速返回，下列选项中，能正确反映小强和爸爸距离家的路程（m），（m）与小强离开家的时间x（）之间的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，分析每个过程路程、速度与时间的关系，即可确定函数的大致图象． 【详解】解：设爸爸出发后追上小强， 则， 解得， ∴， 即爸爸在小强离开家后追上小强， 此时，离家的路程为， 停留后爸爸以原速返回， ∴， 即爸爸在小强离开家后回到家； 停留后，小强以的速度慢跑前进， 则小强共用时， ∴D选项正确． 故选：D． 突破三 函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 【典例】如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 【变式1】如图，中，，，，动点P从A点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作于点D，则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算以及勾股定理，正确理解题意表示出的面积即可解题．分当点P在上运动，即时，当点P在上运动，即时，两种情况分别表示出的面积即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，由题意得， ∵中，，，， ∴， ∴，， ∴，是二次函数． 当点P在上运动，即时，由题意得， ∴，， ∴， ∴，是二次函数． ∴符合题意的函数图象只有C， 故选：C． 【变式2】RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 【变式3】如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，当点P在线段时，，推出当时，函数图形是反比例函数，当点P在上时，是定值，y是定值，由此即可判断． 【详解】解：连接，如图， ∵弦垂直直径于点E，且E是的中点，， ∴, 又， ∴当点P在线段时，， ∴当时，函数图形是反比例函数， 当点P在上时，是定值，y是定值， 故选：C． 突破四 函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 【典例】如图1，在平行四边形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（单位：），的长度为（单位：），与的函数图象如图2所示．当的面积为时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，解直角三角形，根据函数图象可得当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，则，过点A作于H，可求出，则，可证明当的面积为时，点P在线段上，则此时有，据此求解即可． 【详解】解：由图2可知，当时，点P在上运动， 当时，点P在上运动， ∴， 如图所示，过点A作于H，则， ∴， 当点P在线段时， ∴当的面积为时，点P在线段上， ∴此时有， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】如图1，动点P从正方形的点A出发，沿边匀速运动，同时点Q从点D出发，沿着边匀速运动，点P的速度是点Q速度的2倍，当P，Q有一点停止运动时，另一点也随之停止运动，连接，设点Q的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与正方形的边之间的关系．根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意，， 当点在上时，， ∵正方形中，， ∴的面积为； 当点在上时，的面积为； ∵是定值， ∴当点在上时，的面积为与的关系符合二次函数关系，当点在上时，的面积为与的关系符合一次函数关系， 由图2可得，当点与点重合时，的面积为，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴当点在上时，的面积为； ∴当点与点重合时， 此时，点与点重合时，即， ∴的面积为， ∴， 故选：A． 【变式2】如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ，点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ，点D为边的中点， ， 故选：A． 【变式3】如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、勾股定理，当时，点在点处，此时，则，当时，，求出，由勾股定理得出，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：当时，点在点处，此时，则， 当时，， ， 则， ， ， ， 故选：C． 1.（2025·湖南邵阳·月考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：∵， ∴， 则，，． ∴，． ∴点，即，横坐标为负数，纵坐标为正数， 故点位于平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 2.（2025·湖南·模拟预测）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3.（2025·湖南长沙·模拟）已知点，，若直线与轴平行，则a的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C ． 4.（2025·湖南株洲·模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，“炮”的位置用表示，“马”的位置用表示，那么“车”的位置应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置的表示方法，根据棋盘上炮的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系中点的位置的表示方法写出车的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 炮的位置用表示， 炮的横坐标是， 炮到的距离是， 炮的纵坐标是， 炮在轴上， 建立如下平面直角坐标系， 由平面直角坐标系可知：车的坐标是． 故答案为： ． 5.（2025·湖南长沙·模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标，先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】解：建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故选：D． 6.（2025·湖南常德·模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，再根据菱形的顶点D在y轴上，得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴，即， 故选：A． 7.（2025·湖南永州·月考）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 8.（2025·湖南·专题练习）某高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 9.（2025·湖南长沙·模拟）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：C． 10.（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，点坐标规律探究，数形结合是解答本题的关键．作于点H，求出舞动了100米时所在位置是点E．求出米，米，进而可求出点E的坐标． 【详解】解：作于点H， ∵， ∴舞动了100米时所在位置是点E． ∵菱形的边长为1米，， ∴米， ， ∴米，米， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为， ∴舞动了100米时所在位置的坐标是． 故答案为：． 11.（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①当时，函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”， 理由见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图像与性质，二次函数的图像和性质，一次函数与坐标轴交点． （1）根据线段轴，得到，即，即可解题； （2）根据函数分以下两种情况讨论，①当时，②当时，结合线段轴的坐标特点分析求解即可． （3）由得到，由点P、R为该函数的一组“平行点”，结合抛物线对称性得到进而得到，表示出直线与轴、轴的交点情况，利用三角形面积公式得到，即可得到三角形面积的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ， ， ； （2）解：①当时，， ∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行轴的直线， ∴函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”； 理由如下：若存在，设这组“平行点”为、， 则有：，即：， 得：，与矛盾： 当时，函数是上存在无数组“平行点”；当时，不存在“平行点”． （3）解：∵点、都在关于的函数为常数，且的图象上， ∴，， 又∵， ， 解得：，即：， 点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性可：，即， ∴， ∴，， 令，得与轴交点为：， 令，得直线与轴交点为：， 直线与轴、轴围成的三角形面积，， ∴， 将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，有上限值（不取此值），有下限值（不取此值），即； 当时，有下限值（不取此值），有上限值（不取此值），即； 直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围为：． 1.（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2.（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 3.（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 4.（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 5.（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 6.（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 7.（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 8.（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 9.（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 10.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 平面直角坐标系 题型01 坐标的确定与读写 题型02 判断点所在的象限或坐标轴 题型03 由点在坐标系的位置求坐标中的参数 题型04 点的坐标与点到坐标轴的距离 题型05 在平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 题型06 点的坐标与平移 题型07 关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换坐标 命题点二 坐标方法的简单应用 题型01 实际问题中用坐标表示位置 题型02 用方位角和距离确定物体位置 题型03 平面直角坐标系中面积问题 命题点三 函数的有关概念 题型01 实际问题中的函数关系建立 题型02 求自变量的取值范围 题型03 从函数图像中提取信息 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 突破二 函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 突破三 函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 突破四 函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 平面直角坐标系 / 湖南省卷T10 理解平面直角坐标系的概念，掌握各象限内点的坐标特征，能根据坐标描点，能建立适当坐标系表示点的位置。 坐标方法的简单应用 湖南省卷T6 长沙市卷 T6 握点的平移规律（左减右加，上加下减）；能在坐标系中求两点间距离（结合勾股定理）；理解关于坐标轴对称的点的坐标变化规律。 函数的概念与表示 长沙市卷T24 长沙市卷 T10、T24 理解函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否为函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、列表、图像），并能根据问题选择适当表示方法。 命题预测 2026年湖南中考数学中，平面直角坐标系与函数基础模块将继续作为函数与几何综合的基础，题型覆盖选择、填空、解答题，具有以下特点：坐标与象限：常结合实际问题（如地理位置、图形位置）考查点的坐标与象限判断，或结合新定义（如“整点”“超整点”）进行探究。平移与对称：点的平移是基础考点，每年必考，常以选择题形式出现；对称考查较少，但需掌握。函数概念与表示：通过几何图形中的动点问题建立函数关系，是高频考点。新定义函数（如“对偶函数”“完美型双圆四边形”）成为压轴题热点，考查函数概念的理解与迁移能力。跨学科与生活情境：如经纬度与弧长计算、景区位置测量等，体现数学在实际生活中的应用。 备考建议 夯实坐标系基础 熟记各象限点的坐标符号特征：一象限(+,+)、二象限(-,+)、三象限(-,-)、四象限(+,-)。 掌握坐标轴上点的坐标特点：x轴(x,0)、y轴(0,y)。 掌握坐标变换规律 平移：记住“左减右加（x），上加下减（y）”，并能逆向运用。 对称：关于x轴对称(x,-y)、关于y轴对称(-x,y)、关于原点对称(-x,-y)。 距离：水平距离=|x₁-x₂|，垂直距离=|y₁-y₂|，斜距离用勾股定理。 理解函数本质 明确“一个自变量对应唯一一个因变量”是函数的核心特征。 能判断表格、图像、文字描述中两个变量是否为函数关系。 强化函数表示方法的转换 能根据解析式画图像（特别是正比例函数、一次函数）。 能根据图像或表格写出函数解析式（需结合其他条件如点坐标）。 能根据实际问题建立函数模型（如几何动点问题）。 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 2.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）. 3.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 4.平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 考点二 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 1.（2025·湖南·模拟预测）冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南永州·模拟预测）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 4.（2025·湖南·模拟预测）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点三 坐标与平移、轴对称、旋转 1.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 2.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（2024·长沙卷·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点位于哪个象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 考点四 函数 1.函数的有关概念及表示方法 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 函数 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 表示方法 列表法、解析式法、图像法 2.函数自变量的取值范围【热考】 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 1.（2025·湖南省卷·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 2.（2024·湖南长沙卷·真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖南永州·一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 坐标的确定与读写 【典例】（2024·湖南长沙开福区·模拟）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）如图，将放在平面直角坐标系中，、两点在轴上，点在轴上，已知，，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为 ． 【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D． (1)若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标； (2)在（1）的条件下求的面积． ►题型02 判断点所在的象限或坐标轴 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 1.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 【典例】（2025·湖南常德·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（2025·湖南武冈·模拟）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点A所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ►题型03 由点在坐标系的位置求坐标中的参数 【典例】（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【变式2】（2025·湖南株洲·一模）已知点在轴上方，则的取值范围是 ． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在y轴上，则 ． ►题型04 点的坐标与点到坐标轴的距离 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 2.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为(   ) A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是 【变式2】（2025·湖南·模拟）若点P(x，y)在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝ ． 【变式3】（2024·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，A，B，点 M 为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．7 C．6 D．5 【变式4】（2025·湖南益阳·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． ►题型05 在平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 【典例】（2025·湖南张家界·三模）在平面直角坐标系中，已知点，点，则直线与 （填“x”或“y”）轴平行． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，有，，，四点，若有一条直线l过点且与x轴垂直，则直线l也会经过的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图，在以点О为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点Р从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（回到为止） (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求出使得三角形CPO的面积是四边形OABC面积的一半的点P的横坐标； (3)点Р运动t秒后，是否存在点Р到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由 ►题型06 点的坐标与平移 点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）将点向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【变式3】（2025·湖南娄底·模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． ►题型07 关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换 对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例】（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025·湖南常德·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A． B． C． D． 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 1.根据已知点的坐标建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2.通过直角坐标系，确定其它点的坐标. 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为______的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点） (3)图书馆的坐标是______； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图3，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟预测）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024·湖南永州·模拟）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走个座位，再向上走个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则表示小华、小亮座位的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， ►题型02 用方位角和距离确定物体位置 【典例】（2024·湖南常德·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 ►题型03 平面直角坐标系中面积问题 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 【典例】（2025·湖南郴州·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【变式1】（2025·湖南湘潭·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025北京模拟预测）如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 命题点三 函数 ►题型01 实际问题中的函数关系建立 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）快递公司规定：配送距离不超过3公里收费8元，超出部分每公里2元．若配送距离为x公里，费用y元与x的关系式是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南张家界·模拟）围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，，与相交于点O，E为上的一点(点E与点B不重合)，过点E作，垂足为点F．设，的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） 不考虑自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． ►题型02 求自变量的取值范围 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 【典例】（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南永州·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）函数的自变量的取值范围是 ． 【变式3】（2025·湖南常德·模拟）函数中自变量x的取值范围是 ． ►题型03 从函数图像中提取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）    A．途中修车花了 B．修车之前的平均速度是/ C．车修好后的平均速度是/ D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍 【变式3】（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 突破一 平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 【典例】如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点处，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式4】如图，已知 ，依此规律，则点的坐标为 ． 突破二 函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 【典例】匀速地向如图所示的一个空容器里注水，最后把容器注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【变式1】由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　） A．  B．  C．  D．  【变式2】小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【变式3】小强家距学校，某天小强以的速度去学校，出发后，小强爸爸发现小强忘记带数学课本，于是，爸爸立即以的速度跑步去追小强，追上后，两人停留了，为了按时到校，小强以的速度慢跑前进，爸爸以原速返回，下列选项中，能正确反映小强和爸爸距离家的路程（m），（m）与小强离开家的时间x（）之间的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 突破三 函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 【典例】如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【变式1】如图，中，，，，动点P从A点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作于点D，则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（  ） A． B． C． D． 【变式2】RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 突破四 函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 【典例】如图1，在平行四边形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为（单位：），的长度为（单位：），与的函数图象如图2所示．当的面积为时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【变式1】如图1，动点P从正方形的点A出发，沿边匀速运动，同时点Q从点D出发，沿着边匀速运动，点P的速度是点Q速度的2倍，当P，Q有一点停止运动时，另一点也随之停止运动，连接，设点Q的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【变式3】如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 1.（2025·湖南邵阳·月考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2025·湖南·模拟预测）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 3.（2025·湖南长沙·模拟）已知点，，若直线与轴平行，则a的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 4.（2025·湖南株洲·模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，“炮”的位置用表示，“马”的位置用表示，那么“车”的位置应表示为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南长沙·模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南常德·模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7.（2025·湖南永州·月考）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·湖南·专题练习）某高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 9.（2025·湖南长沙·模拟）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10.（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ． 11.（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 1.（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 3.（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 6.（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 7.（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 8.（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 9.（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 10.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $