四川省绵阳中学2026届高三第二次模拟考试数学试题

数学试题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设向量，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知平行直线与之间的距离为，则实数（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A．若，，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，则； 6．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 8.若，，使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3题，每题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知，，，则“”的充要条件是（ ） A． B． C． D． 10．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 11.平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C．的最大值为 D．在第一象限对应的双曲线的离心率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知，则 ． 13．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则= ． 14.已知面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AB长度的最小值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 16．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若的面积，，求边的大小. 17．（15分）如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．（17分）已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的上顶点，为左焦点，，为上的两点，点关于轴的对称点为，线段的中点为，若为的平分线， （i）求证：直线过定点； （ii）求的取值范围 19．（17分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． （1）若，求的元素个数及； （2）当恰有一个元素时，的取值集合记为． 求； 若，数列满足，集合．求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 DBAADBCB 8.B【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ，.故选：B 9．ABD 10．ACD 11.ACD【详解】由题意，则， 整理得， 当时，有，则， 当，则，当，则，结合题图知，A对； 由方程，显然都在曲线上，至少有4个格点，B错； 要使最大，则必在第一象限，此时， 所以，令，则， 所以，故， 所以，故的最大值为， （注意，则不成立），C对； 在第一象限对应的双曲线为，即， 所以，是由平移得到，而轴为双曲线的渐近线，则为实轴，为虚轴，所以对应的标准双曲线的渐近线为，即，故离心率，D对.故选：ACD 12． 13． 14．【详解】取，依题意，为的重心，由，设，，则，，， 又， 则，即，由余弦定理知， 令，则，解得， 而，则，因此，解得，， 所以的最小值为.故答案为： 15．【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 则，即，解得 ，所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 16，【详解】（1）因为，由正弦定理得， ∴， ∴，在中，，得， ，， ，. （2），又， ，所以，得， 又∵，∴或，由余弦定理得， 所以. 17．【详解】（1）证明如图，取的中点，连接交于，连接，         因为，，所以，又 ，所以        由于，，所以，从而有            又平面，平面，所以平面； （2）设平行六面体各条棱长为6.因为平面平面，且， 所以平面，由于，所以，，， 由余弦定理得，，所以，    以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 由得， 从而  设平面的一个法向量为， 则， 可取，故. 18．【详解】（1）双曲线的标准形式为， 因为，所以双曲线的焦点为， 因为椭圆与双曲线的焦点相同，故可设其方程为，且， 因为在椭圆上，所以，解得， 故椭圆的方程为； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为， 由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为， 从而有，即， 则，即， 又，故， 设直线、的斜率分别为、，则， 设直线、的方程分别为、，设， 联立，得，解得， 则，故点， 同理可得， 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 代入点坐标得，化简得， 同理有，故、是方程的两个根， 故，解得，故直线方程为，过定点； （ii）因为，故，故， 由（i）可知，直线方程为， 设、，则，， 联立，得， 因为点在曲线内部，则必有， 则，， 则 ，令，， 因为，则，则，即， 故，所以，则的取值范围为. 19．【详解】（1）当时，，其定义域为． 由得，，设，则， 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，注意到（1），所以在恰有一个零点，且， 又因为，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点，所以，， 所以的元素个数为2，又因为，所以； （2）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意，当时，，其定义域为，由得，， 设，则， 设，则△， ①当时，△，，，所以在单调递增， 又（1），所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意， ②当，△，故恰有两个零点，， 又因为，（1），所以， 当时，，；当，时，，； 当，时，，，所以在单调递增，在，单调递减，在，单调递增，注意到（1），所以在，恰有一个零点，且（1），（1），又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意，所以的取值范围为，即集合； 证明：由知，，所以，此时，，由知，在单调递增，所以当时，（1），所以，即，故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而，重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，则当时，，所以在单调递减， 所以（1），即当时，，从而当时，， 从而，即，故， 即，由于，，所以，，故， 故时，， 所以，，故． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $