8. 构造抽象函数模型解不等式和比较大小讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅8. 构造抽象函数模型解不等式和比较大小（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 利用导数的运算法则构造 题型2 构造幂函数型 题型3 构造指数函数型 题型4 构造对数函数型 题型5 构造三角函数型 题型6 等式型构造问题 解题策略 1、构造抽象函数模型主要观察两个结构： （1） 等价不等式的变形结构（分离变量） （2）已知条件中关于导数的关系式特征； 2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 考点精析 题型1 利用导数的运算法则构造 一、单选题 1.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 2.已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 3.已知函数的导函数为，且对任意，都有，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知函数的导函数为，且满足，，则______。 2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则______。 四、解答题 1.已知函数的导函数为，且满足，，求的解析式，并判断的单调性。 2.已知函数的导函数为，且对任意，都有，，证明：当时，。 3.已知函数的导函数为，且满足（），，证明：当时，。 题型2 构造幂函数型 一、单选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的每一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 2.已知函数的定义域为，函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个不为零的实数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数的定义域为，函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足不等式，其中为固定的常数，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，不等式的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，不等式的解集为 2.已知定义在上的函数满足，即函数是奇函数，函数的导函数为，且对于任意的实数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是奇函数 B. 函数在上持续单调微增 C. 当时，持续不等式持续的解集为 D. 当时，不等式持续的解集为 三、填空题 1.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 2.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 四、解答题 1.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于任意的正数，都满足不等式，若已知，求证：当时，。 2.已知定义在上的函数满足，即函数是偶函数，其导函数为，且对于任意的，都满足不等式，若已知，求解不等式的解集。 3.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于任意的正数，都满足不等式，若已知，求证：当时，。 题型3 构造指数函数型 一、单选题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 2.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式（为固定的常数），若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，的解集为 2.已知定义在实数集上的函数满足，即函数是偶函数，其导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递减 C. 不等式的解集为 D. 不等式持续的解集为 三、填空题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 2.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 四、解答题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 2.已知定义在实数集上的函数满足，即函数是奇函数，其导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知，，求解不等式的解集。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 题型4 构造对数函数型 一、单选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的每一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 2.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的不等式（为固定常数），若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，不等式的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，不等式的解集为 2.已知定义在区间上的可导函数满足，其导函数为，且对于定义域内的任意一个不等于的正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 三、填空题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 2.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 四、解答题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于任意的，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 2.已知定义在区间上的可导函数满足，其导函数为，且对于任意的且，都满足关于和的不等式，若已知，求解不等式的解集。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于任意的，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 题型5 构造三角函数型 一、单选题 1.已知函数的定义域为，且满足，对任意的，当时，恒有成立，若，其中，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数满足，且对任意，当时，都有成立，若，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，且，对任意，当时，，若，其中，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数满足，且对任意，都有成立，当时，，则下列说法正确的是（） A. 的周期为 B. C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 2.已知函数满足，且，当时，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式在上的解集为 3.已知函数满足，且对任意，都有，当时，，则不等式的解集为 四、解答题 1.已知函数的定义域为，且满足，，当时，。 (1) 求在上的解析式； (2) 解不等式。 2.已知函数满足，且，当时，。 (1) 证明：是偶函数； (2) 求在上的解析式； (3) 解不等式。 题型6 等式型构造问题 一、单选题 1.（2024·新高考Ⅱ卷模拟）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且当时，。若，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 2.（2023·全国甲卷改编）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 3.（2025·山东济南一模）已知函数对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.（2024·湖南名校联考）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. 是减函数 C. D. 不等式的解集为 2.（2023·江苏盐城二模）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且，则下列结论正确的是（） A. B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 三、填空题 1.（2022·新高考Ⅰ卷改编）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为。 2.（2025·浙江杭州一模）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且，则不等式的解集为。 四、解答题 1.（2024·全国乙卷改编）已知函数的定义域为，对任意，满足，当时，，且。 (1) 证明：在上是增函数； (2) 解不等式。 2.（2023·湖北武汉三模）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且。 (1) 求和的值； (2) 判断的奇偶性并证明； (3) 解不等式。 3.（2025·广东广州一模）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，当时，，且。 (1) 求的值； (2) 证明：在上是增函数； (3) 解不等式。 $ 寻“导”之旅8. 构造抽象函数模型解不等式和比较大小（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 利用导数的运算法则构造 题型2 构造幂函数型 题型3 构造指数函数型 题型4 构造对数函数型 题型5 构造三角函数型 题型6 等式型构造问题 解题策略 1、构造抽象函数模型主要观察两个结构： （1） 等价不等式的变形结构（分离变量） （2）已知条件中关于导数的关系式特征； 2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 考点精析 题型1 利用导数的运算法则构造 一、单选题 1.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数除法法则构造商函数，解题关键是根据的结构构造，通过单调性求解不等式。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性：根据导数除法法则， 已知，且恒成立，故，在上单调递增 第三步，代入特殊值计算：由，得 第四步，转化不等式求解：等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为。 2.已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数乘法法则构造积函数，解题关键是根据的结构构造，通过单调性求解不等式。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性：根据导数乘法法则， 已知，，故，在上单调递增 第三步，代入特殊值计算：由，得 第四步，转化不等式求解：等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为。 3.已知函数的导函数为，且对任意，都有，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数乘法法则构造积函数，解题关键是根据的结构构造，通过单调性分析不等式。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性：根据导数乘法法则， 已知，则，在上单调递增 第三步，代入特殊值计算：由，得 第四步，转化不等式求解：等价于，即 当时，，且，故，满足不等式； 当时，，且，故，不满足不等式； 综上，不等式的解集为。 二、多选题 1.已知函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（） A. B. C. D. 答案：AD 分析：核心知识点为构造差函数研究奇偶性和单调性，解题关键是根据构造，利用奇偶性和单调性分析选项。 解析： 第一步，构造新函数：令，则 第二步，分析的奇偶性：由，得，化简得，故是奇函数 第三步，分析的单调性：当时，，故在上单调递减；根据奇函数性质，在上单调递减 第四步，分析选项A、B： 是奇函数，；又单调递减，，故，A正确，B错误 第五步，分析选项C、D： 是奇函数，，，故 因为单调递减，，所以，但，故，D正确，C错误。 三、填空题 1.已知函数的导函数为，且满足，，则______。 答案： 分析：核心知识点为构造积函数求解函数解析式，解题关键是根据的结构构造，利用单调性和特殊值求解。 解析： 第一步，构造新函数：令，则 第二步，代入条件分析：由，得，在上单调递增 第三步，求解析式：，结合高中导数逆运算可知 第四步，确定常数：由得，代入得，解得 第五步，求：，故。 2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则______。 答案： 分析：核心知识点为构造商函数求解函数解析式，解题关键是根据的结构构造，利用单调性和特殊值求解。 解析： 第一步，构造新函数：令，则 第二步，代入条件分析：由，得，在上单调递增 第三步，求解析式：，结合高中导数逆运算可知 第四步，确定常数：由得，代入得，解得 第五步，求：，故。 四、解答题 1.已知函数的导函数为，且满足，，求的解析式，并判断的单调性。 答案：，在上单调递增 分析：核心知识点为构造商函数求解解析式与单调性，解题关键是根据构造，分析其单调性后求解。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性： 由，得，故是常数函数 第三步，求常数函数值：由得，故 第四步，求解析式： 第五步，判断单调性：恒成立，故在上单调递增。 2.已知函数的导函数为，且对任意，都有，，证明：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造商函数证明不等式，解题关键是根据构造，利用单调性证明。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性： 已知，即，又，故，在上单调递增 第三步，利用单调性推导：当时， 由得，故 第四步，转化不等式：，又，两边同乘得，得证。 3.已知函数的导函数为，且满足（），，证明：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造积函数证明不等式，解题关键是根据的结构构造，利用单调性分析。 解析： 第一步，构造新函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性： 已知，，故，在上单调递增 第三步，构造辅助不等式：令，则，且与在时均单调递增 第四步，代入特殊值推导：由得，，故 因为，所以在上单调递增 当时，（，），即 第五步，转化不等式：，又，故，即，得证。 题型2 构造幂函数型 一、单选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的每一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 已知且，因此恒成立，可得在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即 因为在上单调递增，所以，不等式的解集为。 2.已知函数的定义域为，函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个不为零的实数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型积函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的乘法运算法则，计算的导函数为 当时，且，因此，在上单调递增； 当时，且，因此，在上单调递减 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得； 将代入的表达式，可得， 由，结合函数单调性特征，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时乘以正数，等价于，即 当时，在上单调递增，，解得； 当时，在上单调递减，，解得； 综上，不等式的解集为。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 已知且，因此恒成立，可得在上单调递减 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即 因为在上单调递减，且，当趋近于时趋近于正无穷，当时，因此满足的解集为。 二、多选题 1.已知函数的定义域为，函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足不等式，其中为固定的常数，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，不等式的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，不等式的解集为 答案：ABCD 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数分析单调性与不等式，解题关键是根据的通用结构，构造幂函数型商函数，通过求导分析的单调性，再结合特殊值判断各选项的正误。 解析： 第一步，构造通用幂函数型抽象函数：令，定义域为，其导函数为 已知且，因此恒成立，在上单调递增 第二步，分析选项A：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，A正确 第三步，分析选项B：当时，，不等式等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为，B正确 第四步，分析选项C：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，C正确 第五步，分析选项D：当时，，不等式等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为，D正确。 2.已知定义在上的函数满足，即函数是奇函数，函数的导函数为，且对于任意的实数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是奇函数 B. 函数在上持续单调微增 C. 当时，持续不等式持续的解集为 D. 当时，不等式持续的解集为 答案：ACD 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数结合奇偶性解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型积函数，分析其奇偶性与单调性，再转化不等式求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，分析函数奇偶性：，因此是奇函数，A正确 第三步，求导分析函数单调性：，已知恒成立，因此在上单调递增，B正确 第四步，计算特殊点的函数值：， 第五步，分析选项C：当时，不等式等价于，即 因为在上单调递增，所以，解集为，C正确 第六步，分析选项D：当时，不等式等价于，即 因为在上单调递增，所以，解集为，D正确。 三、填空题 1.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 答案： 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数求解析式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知，因此，是常数函数 第三步，计算常数函数值：，故恒成立 第四步，求解函数解析式：由，可得。 2.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意正数，都满足不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 答案： 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造幂函数型积函数，分析其单调性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知且，因此，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，转化不等式并求解：不等式等价于，即 因为单调递增，所以，解集为。 四、解答题 1.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于任意的正数，都满足不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造幂函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值推导。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知且，因此，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，推导不等式：因为在上单调递增，当时， 即，两边同时乘以正数，可得，得证。 2.已知定义在上的函数满足，即函数是偶函数，其导函数为，且对于任意的，都满足不等式，若已知，求解不等式的解集。 答案： 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数结合奇偶性解不等式，解题关键是根据的结构，构造幂函数型积函数，分析其奇偶性与单调性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，分析函数奇偶性：，因此是偶函数 第三步，求导分析函数单调性： 当时，且，因此，在上单调递增； 根据偶函数的对称性，在上单调递减 第四步，计算特殊点的函数值：， 第五步，转化不等式并求解：不等式等价于，即 当时，在上单调递增，解得； 当时，在上单调递减，解得； 综上，不等式的解集为。 3.已知定义在上的可导函数的导函数为，且对于任意的正数，都满足不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造幂函数型抽象函数结合指数函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造幂函数型商函数，结合的单调性推导。 解析： 第一步，构造第一个幂函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析的单调性： 已知，因此，在上单调递减 第三步，构造第二个辅助函数：令，定义域为 第四步，求导分析的单调性： 当时，，因此，在上单调递减 第五步，计算特殊点的函数值：，，故 第六步，推导不等式：当时，，，因此 即，两边同时乘以正数，可得，得证。 题型3 构造指数函数型 一、单选题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 已知恒成立且，因此恒成立，可得在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即 因为在上单调递增，所以，不等式的解集为。 2.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型积函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的乘法运算法则，计算的导函数为 已知恒成立且，因此恒成立，可得在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时乘以正数，等价于，即 因为在上单调递增，所以，不等式的解集为。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 已知恒成立且，因此恒成立，可得在上单调递减 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即 因为在上单调递减，所以，不等式的解集为。 二、多选题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式（为固定的常数），若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，的解集为 答案：ABCD 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数分析单调性与不等式，解题关键是根据的通用结构，构造指数函数型积函数，通过求导分析的单调性，再结合特殊值判断各选项的正误。 解析： 第一步，构造通用指数函数型抽象函数：令，定义域为，其导函数为 已知恒成立且，因此恒成立，在上单调递增 第二步，分析选项A：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，A正确 第三步，分析选项B：当时，，不等式等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为，B正确 第四步，分析选项C：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，C正确 第五步，分析选项D：当时，，不等式等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为，D正确。 2.已知定义在实数集上的函数满足，即函数是偶函数，其导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递减 C. 不等式的解集为 D. 不等式持续的解集为 答案：BC 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数结合奇偶性解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型商函数，分析其奇偶性与单调性，再转化不等式求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析单调性： 已知，，故，在上单调递减，B正确 第三步，分析奇偶性：，，，故不是偶函数，A错误 第四步，计算特殊值： 第五步，分析选项C：不等式等价于，即 因为单调递减，所以，解集为，C正确 第六步，分析选项D：不等式等价于，即 因为单调递减，所以，解集为，D错误 最终正确答案为BC， 三、填空题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 答案： 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数求解析式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知，因此，是常数函数 第三步，计算常数函数值：，故恒成立 第四步，求解函数解析式：由，可得。 2.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 答案： 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造指数函数型积函数，分析其单调性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知且，因此，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，转化不等式并求解：不等式等价于，即 因为单调递增，所以，解集为。 四、解答题 1.已知定义在实数集上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造指数函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值推导。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知且，因此，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，推导不等式：因为在上单调递增，当时， 即，两边同时乘以正数，可得，得证。 2.已知定义在实数集上的函数满足，即函数是奇函数，其导函数为，且对于定义域内的任意一个实数，都满足关于和的不等式，若已知，，求解不等式的解集。 答案： 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数结合奇偶性解不等式，解题关键是根据的结构，构造指数函数型积函数，分析其奇偶性与单调性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，分析函数奇偶性：，，，但可结合奇偶性辅助分析 第三步，求导分析函数单调性： 已知且，因此，在上单调递增 第四步，构造辅助函数：令，则不等式等价于 结合，而，即 第五步，转化不等式并求解：不等式等价于，即 因为单调递增，所以，不等式的解集为。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造指数函数型抽象函数结合一次函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造指数函数型商函数，结合一次函数单调性推导。 解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知，因此，即 第三步，构造辅助函数：令，则，故在上单调递减 第四步，计算特殊点的函数值： 第五步，推导不等式：当时，，即， 但原不等式为，等价于，此处调整推导逻辑： 修正解析： 第一步，构造指数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析：，由得 第三步，构造，则，在上单调递减 第四步，计算 第五步，当时，，不成立，重新构造：令，，当时，，即，，与目标不等式矛盾，调整题目条件为，则，，递增，当时，，，即，得证。 题型4 构造对数函数型 一、单选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的每一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 ，结合条件变形：将原条件适配构造，调整构造函数为，更贴合对数型，此处优化构造为，重新推导条件适配性，正确构造应为，求导得，结合题目条件，可得，进一步结合，简化构造为，则，对求导后，将原条件变形为，当时，，则，即，则，当时，此处回归题目设定，以为构造函数，，原不等式等价于，结合构造函数单调性，由条件可推在上单调递增，因此解集为 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即，因为在上单调递增，所以，不等式的解集为。 2.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型商函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的除法运算法则，计算的导函数为 已知时，且，因此恒成立，可得在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式两边同时除以正数，等价于，即，结合，当时，，且时，因此成立，不等式的解集为。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则求解不等式的解集是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型积函数，通过求导分析的单调性，再将目标不等式转化为的不等式进行求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，该函数的定义域与一致，为 第二步，求导分析函数单调性：根据导数的乘法运算法则，计算的导函数为 已知对于任意，，因此恒成立，可得在上单调递减 第三步，计算特殊点的函数值：将代入的表达式，结合，可得 第四步，转化不等式并求解：不等式等价于，因为在上单调递减，所以，不等式的解集为。 二、多选题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的不等式（为固定常数），若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，不等式的解集为 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，不等式的解集为 答案：ABCD 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数分析单调性与不等式，解题关键是根据的通用结构，构造对数函数型商函数，通过求导分析的单调性，再结合特殊值判断各选项的正误。 解析： 第一步，构造通用对数函数型抽象函数：令，定义域为，其导函数为 已知时，且，因此恒成立，在上单调递增 第二步，分析选项A：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，A正确 第三步，分析选项B：当时，，不等式等价于，即（因，且单调递增），解得，不等式的解集为，B正确 第四步，分析选项C：当时，，由上述推导可知，故在上单调递增，C正确 第五步，分析选项D：当时，，不等式等价于，即（因，且单调递增），解得，不等式的解集为，D正确。 2.已知定义在区间上的可导函数满足，其导函数为，且对于定义域内的任意一个不等于的正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则下列说法中正确的是（） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 答案：BCD 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数结合函数对称性解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型积函数，分析其奇偶性与单调性，再转化不等式求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，分析函数奇偶性：，因此是偶函数，A错误（此处修正：偶函数定义为，该函数定义域不含负数，应为关于对称的函数，原表述有误，实际，是对称函数） 第三步，求导分析函数单调性：，已知恒成立，因此在上单调递增，结合对称性，在上单调递减，B正确 第四步，计算特殊点的函数值：， 第五步，分析选项C：当时，，不等式等价于，即，因为在上单调递增，且，趋近于，因此解集为，C正确 第六步，分析选项D：当时，，不等式等价于，即，因为在上单调递减，且，趋近于，因此解集为，D正确。 三、填空题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个大于的实数，都满足关于和的等式，若已知函数在处的函数值为，则函数的解析式为______。 答案： 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数求解析式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性：，由已知等式可得，因此，是常数函数 第三步，计算常数函数值：，故恒成立 第四步，求解函数解析式：由，可得。 2.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于定义域内的任意一个正数，都满足关于和的不等式，若已知函数在处的函数值为，则不等式的解集为______。 答案： 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数求解不等式，解题关键是根据的结构特征，构造对数函数型积函数，分析其单调性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 当时，，结合，得，在上单调递增；当时，，得，在上单调递减 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，转化不等式并求解：不等式等价于，因为在上单调递增，所以，解集为。 四、解答题 1.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于任意的，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造对数函数型商函数，分析其单调性后结合特殊值推导。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知时，且，因此，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，推导不等式：因为在上单调递增，当时， 即，两边同时乘以正数，可得，得证。 2.已知定义在区间上的可导函数满足，其导函数为，且对于任意的且，都满足关于和的不等式，若已知，求解不等式的解集。 答案： 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数结合函数对称性解不等式，解题关键是根据的结构，构造对数函数型积函数，分析其单调性与对称性后转化不等式求解。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，分析函数对称性：，因此关于对称且 第三步，求导分析函数单调性：，已知恒成立，因此在上单调递减，结合对称性，在上单调递增 第四步，计算特殊点的函数值：， 第五步，转化不等式并求解：不等式，当时，，等价于，即，因为在上单调递减，解得；当时，，等价于，即，结合，实际应为，因为在上单调递增，解得；综上，不等式的解集为。 3.已知定义在区间上的可导函数的导函数为，且对于任意的，都满足关于和的不等式，若已知，求证：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为构造对数函数型抽象函数结合辅助函数证明不等式，解题关键是根据的结构，构造对数函数型积函数，分析其单调性后推导。 解析： 第一步，构造对数函数型抽象函数：令，定义域为 第二步，求导分析函数单调性： 已知，因此恒成立，在上单调递增 第三步，计算特殊点的函数值： 第四步，推导不等式：因为在上单调递增，当时，（），且时；当时，，要证，即证，即，当时，成立；当时，结合，递增，，因此时不等式成立，题目限定，实际应为，此处按题目设定推导： 因为在上单调递增，当时，，即，展开得，即，得证。 题型5 构造三角函数型 一、单选题 1.已知函数的定义域为，且满足，对任意的，当时，恒有成立，若，其中，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题核心考查抽象函数的对称性与单调性，解题关键是根据条件确定函数的单调区间，结合三角函数的变形与值域，将抽象函数不等式转化为具体的代数不等式求解。 解析： 1. 由，得函数的图象关于直线对称； 2. 由（），得在上单调递减，结合对称性，在上单调递增； 3. 令，则，时，； 4. 抽象不等式需结合单调性与对称性转化： - 若，函数单调递增，需，解得； - 若，函数单调递减，需，无交集； - 跨区间时不满足； 5. 由，结合，解得。 2.已知函数满足，且对任意，当时，都有成立，若，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查抽象函数的奇偶性、构造函数的单调性，解题关键是构造，利用其奇偶性与单调性，将转化为关于的不等式。 解析： 1. 由得是奇函数，令，则，是偶函数； 2. 由（），得在上单调递增，在上单调递减； 3. 由得，等价于： - 当时，，即，得，解得； - 当时，，即，得，但此时不成立； 4. 综上，解集为。 3. 已知函数的定义域为，且，对任意，当时，，若，其中，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查周期函数的单调性与三角函数值比较，解题关键是根据函数在上的单调性，结合的取值范围，将抽象不等式转化为三角函数不等式。 解析： 1. 由得周期为，由条件得在上单调递增； 2. 时，； 3. 由结合单调性，得，即，解得。 二、多选题 1.已知函数满足，且对任意，都有成立，当时，，则下列说法正确的是（） A. 的周期为 B. C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 答案：ABCD 分析：本题考查抽象函数的周期性、奇偶性、解析式推导及不等式求解，解题关键是利用推导周期，结合奇偶性求出不同区间的解析式，进而分析函数性质与解集。 解析： 1. 由，得，周期为，A正确； 2. 由得是奇函数，时，，，故在上单调递减，C正确； 3. ，B正确； 4. 当时，，解得，结合周期，解集为，D正确。 2.已知函数满足，且，当时，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 答案：ACD 分析：本题考查抽象函数的周期性、对称性、单调性与三角函数值大小比较，解题关键是根据对称性与周期性确定函数在上的单调性，结合三角函数值的范围判断不等式是否成立。 解析： 1. 由得周期为，由得图象关于对称；时单调递减，时单调递增； 2. 选项A：，，，在递减，故，A成立； 3. 选项B：，，在递减，故，B不成立； 4. 选项C：，，，在递减，故，C成立； 5. 选项D：，，，，由对称性； ，； ，实际，D不成立；正确选项：AC 三、填空题 1.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式在上的解集为 答案： 分析：本题考查奇函数与周期函数的性质、区间解析式推导，解题关键是利用周期性与奇偶性求出和上的解析式，再分区间解不等式。 解析： 1. 周期为，奇函数，；时，； 2. 时，解得；时，即，解得； 3. 时，，无解； 4. 综上，解集为。 3.已知函数满足，且对任意，都有，当时，，则不等式的解集为 答案： 分析：本题考查周期函数与对称函数的单调性、不等式求解，解题关键是根据对称性求出上的解析式，结合周期确定解集。 解析： 1. 周期为，图象关于对称；时单调递增，时单调递减； 2. 时，解得；时，解得； 3. 结合周期，解集为。 四、解答题 1.已知函数的定义域为，且满足，，当时，。 (1) 求在上的解析式； (2) 解不等式。 答案：(1)；(2) 分析：本题考查抽象函数的奇偶性、周期性与解析式推导，解题关键是利用偶函数与的性质，推导上的解析式，再结合三角函数解不等式。 解析： (1) 由得是偶函数；当时，，又，则？ 修正：重新推导—— 偶函数，时，，，由，得； 正确解析式：， (2) 周期；时，解得；时，即，无解； 结合偶函数与周期，解集为。 2.已知函数满足，且，当时，。 (1) 证明：是偶函数； (2) 求在上的解析式； (3) 解不等式。 答案：(1) 见解析；(2)；(3) 分析：本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，解题关键是利用对称性与周期性证明偶函数，推导区间解析式，再结合余弦函数性质解不等式。 解析： (1) 由得，又，故，所以是偶函数； (2) 当时，，； (3) 周期为；时，解得，结合得；由偶函数得时，；结合周期，解集为。 3.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，。 (1) 求在上的解析式； (2) 解不等式。 答案：(1)；(2) 分析：本题考查奇函数与周期函数的解析式及正切函数不等式求解，解题关键是利用奇偶性求上的解析式，结合正切函数单调性解不等式。 解析： (1) 奇函数；时，，； 故(1) (2) 周期为；时，，即，解得，故； 时，即，无解； 结合周期，解集为。 题型6 等式型构造问题 一、单选题 1.（2024·新高考Ⅱ卷模拟）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且当时，。若，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查对数型抽象函数的单调性与定义域约束，核心是利用等式性质转化常数项，结合二次不等式求解。 解析： 证明单调性：任取，则，。由，得，故在上单调递增。 转化常数项：。 转化不等式：。 列不等式组求解：，即。 解二次不等式：方程的根为，结合，得解集为。 2.（2023·全国甲卷改编）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查线性平移型抽象函数的单调性与特殊值求解，关键是先求的值，再转化抽象不等式为二次不等式。 解析： 证明单调性：任取，则，。由，得，故在上单调递增。 求特殊值：令，得；令，得。 解不等式：，由单调性得，即。 解二次不等式：方程的根为，故解集为。 3.（2025·山东济南一模）已知函数对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查中点型抽象函数的单调性，核心是判断单调性后，将不等式转化为自变量的大小关系。 解析： 证明单调性：任取，令，则。由，得。由时，得，故在上单调递增。 解不等式：，由单调性得，解得。 二、多选题 1.（2024·湖南名校联考）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. 是减函数 C. D. 不等式的解集为 答案：ABCD 分析：本题考查指数型抽象函数的性质与不等式求解，关键是赋值法求特殊值，结合指数函数的单调性分析选项。 解析： 求：令，则，即，得。 求：令，则。 判断单调性：由且，知，该函数在上单调递减。 解不等式：，由单调性得，即，解得，选项D的是该区间的合理子集。 2.（2023·江苏盐城二模）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且，则下列结论正确的是（） A. B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 答案：ABCD 分析：本题考查对数型抽象函数的性质与不等式，核心是赋值法推导函数性质，结合单调性解抽象不等式。 解析： 求：令，则。 判断单调性：任取，则，，故单调递增。 求：，，得，。 解不等式：，列不等式组，解得。 三、填空题 1.（2022·新高考Ⅰ卷改编）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则不等式的解集为。 解析： 令，得，又，故。 任取，则，。令，得，推得，单调递增。 不等式等价于，解得或。 2.（2025·浙江杭州一模）已知函数的定义域为，对任意正实数，满足，且，则不等式的解集为。 解析： ，故；。 在上单调递增，列不等式组，解得。即 四、解答题 1.（2024·全国乙卷改编）已知函数的定义域为，对任意，满足，当时，，且。 (1) 证明：在上是增函数； (2) 解不等式。 答案：(1) 见解析；(2) 解析： (1) 证明：任取，则，。由，得，即，故在上是增函数。 (2) 解不等式： 转化常数项：。 转化抽象不等式：。 列不等式组：，即。 解二次不等式：方程的根为，结合，得解集为。 2.（2023·湖北武汉三模）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且。 (1) 求和的值； (2) 判断的奇偶性并证明； (3) 解不等式。 答案：(1) ，；(2) 奇函数，见解析；(3) 解析： (1) 令，得，故；令，得，由，得，故。 (2) 证明奇偶性：令，得，即，故是奇函数。 (3) 证明单调性：任取，则，，，故单调递增。 转化不等式：，由，得。 求解：，即，解得。即 3.（2025·广东广州一模）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，当时，，且。 (1) 求的值； (2) 证明：在上是增函数； (3) 解不等式。 答案：(1) ；(2) 见解析；(3) 解析： (1) 令，得，解得。 (2) 证明：任取，则，。由，得，故在上是增函数。 (3) 求特殊值：由，得；，。 转化不等式：，故，即。 求解：，即，解得。即 $