6. 三次函数的图象和性质讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅6. 三次函数的图象和性质（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目绿 题型1 三次函数的单调性问题 题型2 三次函数的零点问题 题型3 三次函数的极值问题 题型4 三次函数的最值问题 题型5 三次函数的切线问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数根与系数的关系 解题策略 一、三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 二、对三次函数的单调性、图像中心对称性的探析 形如的函数称为三次函数.高考数学多次考查了三次函数,主要涉及三次函数的图像特征及其单调性、极值(最值)、对称性等,引起广大教师的关注. 1.三次函数的单调性、极值(最值)及其图像特征探求 三次函数的导函数为,它是二次函数,导函数的判别式为. 当时,导函数的图像开口向上,位于轴上方或与轴相切,所以,因此函数为定义域上的增函数. 当且时,导函数对应的方程有两个不相等的实根.当或时,,函数在区间和区间,内是递增的;当时,,函数在区间内是递减的. 同理当时,函数为定义域上的减函数.当时,其单调递减区间是和,单调递增区间是.根据以上分析,我们不难得到以下结论: 对于三次函数,其导函数为,导函数的判别式为. 当时,函数在定义域上单调递增无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递增,在区间内单调递减;函数在处取得极大值,在处取得极小值. 当时,函数在定义域上单调递减无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递减,在区间内单调递增;函数在处取得极小值,在处取得极大值. 根据和的不同情况,的特征图像如下(图1): 图1 示例1当为何值时,的图像与轴仅有一个交点? 解法1:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号,即. 因而,则或. 所以当或时,与轴仅有一个交点. 解法2:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号. 所以或解得或. 2.三次函数图像中心对称性探求 我们知道,二次函数是偶函数,其图像关于轴对称;三次函数是奇函数,其图像关于点对称,三次函数的图像就是将的图像向上或向下平移个单位(当时下移,当时上移).因此,三次函数的图像关于点对称. 由三次函数的图像特征我们知道,三次函数图像不会是轴对称图形.那么三次函数图像会不会是中心对称呢?通过观察三次函数图像的特征,猜想三次函数图像中心对称.这种猜想是否正确?我们通过严格的数学方法证明如下: 证明:假设三次函数的图像中心对称,其对称中心为. 按向量将函数的图像平移,则平移后的图像对应的函数解析式为,它是奇函数,所以,化简得,上式对恒成立,故,得 所以,三次函数的图像中心对称,其对称中心的坐标为,. 三、三次函数的图像及单调性 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 的图像 的图像 的性质 恒成立 在上递增 无极值点 恒成立 在上递减 无极值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 四、三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 五、三次函数的对称性 结论1 三次函数的图象关于点中心对称 结论2 已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 结论3 若图像关于点对称，则图像关于轴对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 六、三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) 七、三次函数问题的求解策略 在历年高考中, 三次函数问题作为考查导数及其应用的载体,一直是命题的热点. 那么求解三次函数问题我们应该有哪些意识呢? 1数形结合：利用导数可以得出三次函数的大致图像,通过图像可以直观看出三次函数的性质,为解题指明方向. 2分类讨论：求解这类问题要有分类讨论意识,分类标准要合理,从而做到不重不漏. 3构造函数：在函数问题的应用中,时常要构造函数,通过研究所构函数的性质来研究原函数的性质,三次函数问题也是如此. 4等价转化：三次函数的导数是二次函数,二次函数的导数是一次函数.三次函数问题可通过求导转化为二次函数问题,或结合题目条件将其合理转化为一次函数问题. 考点精析 题型1 三次函数的单调性问题 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.设函数在上是增函数，则实数的取值集合是（） A. B. C. D. 3.已知三次函数，若，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上围绕单调增加 D. 函数在上单调递增 2.已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（） A. 若，则在上单调 B. 若在上单调增，则且 C. 若，则在上没有极值点 D. 函数的单调区间不会超过3个 三、填空题 1.函数的单调递增区间是。 2.若函数在上既存在单调递增区间，又存在单调递减区间，则实数的取值范围。 四、解答题 1.已知函数。 (1) 当时，求的单调区间； (2) 若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 2.设函数，若，且在处的导数值为。 (1) 求，的值； (2) 判断函数的单调性，并求其所有单调区间。 3.已知函数（）。 (1) 若函数的图象在处的切线方程为，求，的值； (2) 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 题型2 三次函数的零点问题 一、单选题 1.已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.设函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知三次函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数的零点，下列说法正确的有（） A. 函数有3个零点 B. 函数的零点为， C. 函数的零点为，， D. 函数有2个零点 2.已知函数，则下列说法正确的有（） A. 函数的极大值为 B. 函数有3个零点 C. 极极函数 的极小值为 D. 函数的零点... 三、填空题 1.函数的零点个数。 2.若函数有3个不同的零点，则实数的。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 当为何值时，有两个不同的零点？ (2) 当为何值时，有三个不同的零点？ 2.已知函数有三个不同的零点，且这三个零点均为正数，求实数的取值范围。 3.已知函数，。 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围。 题型3 三次函数的极值问题 一、单选题 1．若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 2．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数的极大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 二、多选题 4．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 5．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C．的极小值点为1 D．的极大值点为 三、填空题 6．已知函数 在 时有极值 ，则 ． 7．函数的极小值是 . 四、解答题 8．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 9．已知函数. (1)当时，求函数的所有极值点； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围. 10．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 题型4 三次函数的最值问题 一、单选题 1．函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 2．已知函数，函数，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 二、解答题 3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 5．已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 6．已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 7．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值. 8．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； (2)若，不等式恒成立，求的最大值. 9．已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求函数在上的最值. 10．已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 11．已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数． （i）讨论的单调性； （ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 题型5 三次函数的切线问题 一、单选题 1．过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 2．已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 3．已知函数，则（   ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间 上的值域为 4．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 5．设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 6．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（   ） A．实数a的取值范围是 B．曲线在点处的切线斜率为定值 C．存在非零常数，使得曲线在点处的切线恒过原点 D．若曲线在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为，则 三、填空题 7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 8．设函数，若曲线在点处的切线与轴垂直，则 ． 四、解答题 9．已知函数（a，）在处取得极值，. (1)求a，b的值； (2)证明：直线与曲线，均相切. 10．已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 题型6 三次函数的对称问题 一、单选题 1.已知三次函数的图象关于点对称，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.已知函数，则其图象的对称中心为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于三次函数的对称性，下列说法正确的是（） A. 函数一定存在对称中心 B. 对称中心的横坐标为 C. 若关于点对称，则 D. 奇函数形式的三次函数的对称中心为原点 2.已知三次函数，其图象上两点，关于点对称，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 函数的对称中心为 三、填空题 1.函数的图象的对称中心为。 2.已知三次函数的图象关于点对称，则的值为。 四、解答题 1.已知函数，求证：的图象关于点对称。 2.已知三次函数是奇函数，且其图象在点处的切线斜率为，求的解析式及对称中心。 3.已知三次函数，判断其图象是否关于直线对称，并说明理由。 题型7 三次函数根与系数的关系 一、单选题 1.已知三次函数的三个零点分别为，则的值为（） A. 6 B. 11 C. -6 D. -11 2.若三次函数的三个零点为，且，则的值为（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3.已知三次方程的三个根满足，则的值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题 1.关于三次方程的三个根，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 方程有一个正根两个负根 2.已知三次函数的图象过原点，且三个零点成等差数列，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知三次方程的三个根成等比数列，且公比为，则的值为。 分析：核心知识点为三次方程的韦达定理和等比数列性质，解题关键是设出等比数列的三根，代入根与系数的关系公式求解。 2.若三次函数的两个零点为和，且，则第三个零点为。 四、解答题 1.已知三次方程的一个根为，求该方程的另外两个根。 2.已知三次函数的三个零点为，，，且，求的解析式。 3.已知三次方程的三个根为，且满足，，，求的值。 $ 寻“导”之旅6. 三次函数的图象和性质（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目绿 题型1 三次函数的单调性问题 题型2 三次函数的零点问题 题型3 三次函数的极值问题 题型4 三次函数的最值问题 题型5 三次函数的切线问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数根与系数的关系 解题策略 一、三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 二、对三次函数的单调性、图像中心对称性的探析 形如的函数称为三次函数.高考数学多次考查了三次函数,主要涉及三次函数的图像特征及其单调性、极值(最值)、对称性等,引起广大教师的关注. 1.三次函数的单调性、极值(最值)及其图像特征探求 三次函数的导函数为,它是二次函数,导函数的判别式为. 当时,导函数的图像开口向上,位于轴上方或与轴相切,所以,因此函数为定义域上的增函数. 当且时,导函数对应的方程有两个不相等的实根.当或时,,函数在区间和区间,内是递增的;当时,,函数在区间内是递减的. 同理当时,函数为定义域上的减函数.当时,其单调递减区间是和,单调递增区间是.根据以上分析,我们不难得到以下结论: 对于三次函数,其导函数为,导函数的判别式为. 当时,函数在定义域上单调递增无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递增,在区间内单调递减;函数在处取得极大值,在处取得极小值. 当时,函数在定义域上单调递减无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递减,在区间内单调递增;函数在处取得极小值,在处取得极大值. 根据和的不同情况,的特征图像如下(图1): 图1 示例1当为何值时,的图像与轴仅有一个交点? 解法1:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号,即. 因而,则或. 所以当或时,与轴仅有一个交点. 解法2:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号. 所以或解得或. 2.三次函数图像中心对称性探求 我们知道,二次函数是偶函数,其图像关于轴对称;三次函数是奇函数,其图像关于点对称,三次函数的图像就是将的图像向上或向下平移个单位(当时下移,当时上移).因此,三次函数的图像关于点对称. 由三次函数的图像特征我们知道,三次函数图像不会是轴对称图形.那么三次函数图像会不会是中心对称呢?通过观察三次函数图像的特征,猜想三次函数图像中心对称.这种猜想是否正确?我们通过严格的数学方法证明如下: 证明:假设三次函数的图像中心对称,其对称中心为. 按向量将函数的图像平移,则平移后的图像对应的函数解析式为,它是奇函数,所以,化简得,上式对恒成立,故,得 所以,三次函数的图像中心对称,其对称中心的坐标为,. 三、三次函数的图像及单调性 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 的图像 的图像 的性质 恒成立 在上递增 无极值点 恒成立 在上递减 无极值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 四、三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 五、三次函数的对称性 结论1 三次函数的图象关于点中心对称 结论2 已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 结论3 若图像关于点对称，则图像关于轴对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 六、三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) 七、三次函数问题的求解策略 在历年高考中, 三次函数问题作为考查导数及其应用的载体,一直是命题的热点. 那么求解三次函数问题我们应该有哪些意识呢? 1数形结合：利用导数可以得出三次函数的大致图像,通过图像可以直观看出三次函数的性质,为解题指明方向. 2分类讨论：求解这类问题要有分类讨论意识,分类标准要合理,从而做到不重不漏. 3构造函数：在函数问题的应用中,时常要构造函数,通过研究所构函数的性质来研究原函数的性质,三次函数问题也是如此. 4等价转化：三次函数的导数是二次函数,二次函数的导数是一次函数.三次函数问题可通过求导转化为二次函数问题,或结合题目条件将其合理转化为一次函数问题. 考点精析 题型1 三次函数的单调性问题 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题核心考查三次函数单调性与导数的关系，将函数在区间单调递减转化为导函数在该区间恒小于等于0，结合二次函数的单调性求最值确定参数范围。 解析：求导得，因为在单调递减，所以在恒成立。令，其图象开口向上，对称轴为，故在单调递增，最大值为。由得，因此实数的取值范围是，选A。 2.设函数在上是增函数，则实数的取值集合是（） A. B. C. D. 答案：D 分析：本题考查三次函数在上单调递增的充要条件，即导函数恒大于等于0且无变号零点，通过分析二次导函数的判别式求解参数。 解析：求导得，因为在上单调递增，所以在恒成立。该二次函数开口向上，判别式。对于，其判别式，故恒成立，即恒成立，不存在满足条件的，取值集合为，选D。 3.已知三次函数，若，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题先利用导数值求出参数，再通过解导函数大于0的不等式得到单调递增区间，最后根据区间包含关系确定参数的范围。 解析：求导得，由，解得，则。令，解得或，即的单调递增区间为和。因为或，所以或，解得，结合选项，为包含解集的正确选项，选B。 二、多选题 1.关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上围绕单调增加 D. 函数在上单调递增 答案：ABD 分析：本题考查具体三次函数单调区间的判断，通过求导分解因式，解导函数正负对应的不等式即可确定单调区间。 解析：求导得。令，解得或，故在和上单调递增；令，解得，故在上单调递减。因此A、B、D正确，C错误。 2.已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（） A. 若，则在上单调 B. 若在上单调增，则且 C. 若，则在上没有极值点 D. 函数的单调区间不会超过3个 答案：ABCD 分析：本题综合考查三次函数单调性与极值的性质，核心是利用导函数的二次函数判别式，判断导函数零点个数，进而分析原函数的单调性和极值情况。 解析：求导得，判别式。若，则，恒正或恒负，在上单调且无极值点，A、C正确；若在上单调增，则恒成立，故且，B正确；二次函数至多2个零点，分为3个区间，故单调区间不超过3个，D正确。 三、填空题 1.函数的单调递增区间是。 答案：和 分析：本题考查三次函数单调递增区间的求解，步骤为求导、因式分解导函数、解导函数大于0的不等式，注意区间的正确表示。 解析：求导得。令，即，解得或，因此单调递增区间为和。 2.若函数在上既存在单调递增区间，又存在单调递减区间，则实数的取值范围。 答案： 分析：本题考查三次函数既有增区间又有减区间的条件，转化为导函数有两个不相等的实数零点，即二次函数判别式大于0求解参数。 解析：求导得。因为既有增区间又有减区间，所以有两个不同零点，故判别式，解得，取值范围为。 四、解答题 1.已知函数。 (1) 当时，求的单调区间； (2) 若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案：(1) 单调递增区间为，无单调递减区间；(2) 分析：第(1)问参数确定，求导后分析导函数符号即可得单调区间；第(2)问将函数单调递减转化为导函数恒小于等于0，利用分离参数法结合函数最值求解。 解析：(1) 当时，，求导得，当且仅当时取等号，故的单调递增区间为，无单调递减区间。 (2) ，因为在单调递减，所以在恒成立，即，变形得。令，求导得，当时，，单调递增，故，因此，解得，取值范围为。 2.设函数，若，且在处的导数值为。 (1) 求，的值； (2) 判断函数的单调性，并求其所有单调区间。 答案：(1) ，；(2) 单调递增区间为和，单调递减区间为 分析：第(1)问利用函数值和导数值列方程组求解参数；第(2)问参数确定后，求导分解因式，解不等式得到单调区间。 解析：(1) 由，求导得，。联立方程组，解得，。 (2) 由(1)得，。令，解得或；令，解得。故单调递增区间为和，单调递减区间为。 3.已知函数（）。 (1) 若函数的图象在处的切线方程为，求，的值； (2) 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案：(1) ，；(2) 分析：第(1)问利用切线方程得切点坐标和切线斜率，结合函数值与导数值列方程组求解；第(2)问将单调递减转化为导函数恒小于等于0，分析导函数零点与区间的位置关系求解参数。 解析：(1) 切线在处的切点为，故。求导得，切线斜率为，故，化简得，解得。代入，当时，；当时，。 (2) ，令，得，。因为在单调递减，所以或，解得或，取值范围为。 题型2 三次函数的零点问题 一、单选题 1.已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查三次函数零点个数与极值的关系，核心思路是通过求导确定函数的极值点，利用“3个不同零点”的条件转化为极值异号。 解析：求导得。令，解得或。当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增。因此的极大值为，极小值为。函数有3个不同零点，需满足，即，解得，选A。 2.设函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查三次函数在指定区间内的零点问题，核心是分离参数后转化为函数值域问题，结合函数单调性求解。 解析：由得，令，。求导得。令，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。的极小值为，又，当时，。因为在内有且仅有一个零点，所以，选B。 3.已知三次函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查含参三次函数的零点分布问题，核心是分类讨论的符号，结合函数的单调性和极值符号确定零点情况。 解析：当时，，无零点，舍去。当时，，令，得或。在单调递增，单调递减，单调递增。极大值，极小值，此时无正零点，舍去。当时，在单调递减，单调递增，单调递减。极小值，要使有唯一正零点，需极大值，即，解得，选C。 二、多选题 1.关于函数的零点，下列说法正确的有（） A. 函数有3个零点 B. 函数的零点为， C. 函数的零点为，， D. 函数有2个零点 答案：AC 分析：本题考查三次函数零点的求解，核心方法是因式分解法，先通过试根找到一个零点，再分解多项式求解剩余零点。 解析：试根可知，故是的一个因式。对因式分解：。令，解得。因此的三个零点为，，，A、C正确。 2.已知函数，则下列说法正确的有（） A. 函数的极大值为 B. 函数有3个零点 C. 极极函数 的极小值为 D. 函数的零点... 答案：AB 分析：本题综合考查三次函数的极值与零点个数判断，先通过求导确定极值点和极值，再根据极值的符号判断零点个数。 解析：求导得。令，得或。在单调递增，单调递减，单调递增。极大值，极小值。因为极大值，极小值，所以有3个零点，A、B正确。 三、填空题 1.函数的零点个数。 答案：2 分析：本题考查三次函数零点个数的求解，核心是因式分解函数表达式，直接求解方程的根。 解析：对因式分解得。令，解得或（二重根），因此函数的零点个数为2。 2.若函数有3个不同的零点，则实数的。 答案： 分析：本题考查三次函数零点个数与极值的关系，核心是通过求导确定函数的极大值和极小值，利用“3个不同零点”的条件转化为极值异号。 解析：求导得，极值点为和。极大值，极小值。函数有3个不同零点，需满足，即，解得。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 当为何值时，有两个不同的零点？ (2) 当为何值时，有三个不同的零点？ 答案：(1) 或；(2) 分析：本题考查三次函数零点个数与参数的关系，核心是先求函数的极值，再根据极值与0的大小关系分类讨论零点个数。 解析：(1) 求导得，令，解得或。在单调递增，单调递减，单调递增。极大值，极小值。若有两个不同零点，则需极大值或极小值为0，即或，解得或。 (2) 若有三个不同零点，则需极大值大于0且极小值小于0，即，解得。 2.已知函数有三个不同的零点，且这三个零点均为正数，求实数的取值范围。 答案： 分析：本题考查含参三次函数的正零点问题，核心是分离参数后构造函数，结合函数的单调性和极值分析参数范围。 解析：由得，令，。求导得。令，解得（舍去负根）。当时，，单调递减；当时，，单调递增。当时，；当时，。要使有三个不同正零点，需，计算得，故实数的取值范围是。 3.已知函数，。 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；(2) 分析：第(1)问考查含参三次函数的单调性，核心是对参数分类讨论，分析导函数的符号；第(2)问考查区间零点问题，结合第(1)问的单调性，分类讨论函数在上的最值与0的关系。 解析：(1) 求导得。当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，解得，在和单调递增，在单调递减。 (2) 当时，在单调递增，，若在有且仅有一个零点，则，解得，与矛盾，舍去。当时，即时，在单调递减，，需，解得；即时，在单调递减，单调递增，极小值，因为，，极小值，无零点。综上，实数的取值范围是。 题型3 三次函数的极值问题 一、单选题 1．若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解. 【详解】易得，则，解得． 当时，， 所以当和时，， 当时，，故是的极小值点，符合题意． 所以. 故选：B. 2．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将在上存在极值，转化为在上有变号零点，再利用二次方程的判别式大于0求解即可. 【详解】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 3．函数的极大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出函数的导数，判断其符号后得单调性，从而得到极大值. 【详解】， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值． 故选：D 二、多选题 4．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【分析】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 5．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C．的极小值点为1 D．的极大值点为 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD. 【详解】因为，切线斜率为，所以， 由题意得，切点在切线上，故， 则， 联立，解得，故A正确，B错误； ， 当时，，在单调递减， 当或时，，在单调递增， 所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确， 故选：ACD. 三、填空题 6．已知函数 在 时有极值 ，则 ． 【答案】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 7．函数的极小值是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 四、解答题 8．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 9．已知函数. (1)当时，求函数的所有极值点； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1)极大值点；极小值点 (2) 【分析】（1）对函数求导，判断单调性进而得到函数的极值点. （2）对函数求导，根据二次函数性质列出不等式组，然后即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，                             令. 解得或.   令或；，            则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 根据单调性可知的极大值点为1；极小值点为5. （2）在上单调递减 ，在上恒成立， 则. 10．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)单调递增，理由见解析. 【分析】（1）根据求出； （2）化简，再分、、三种情况讨论的单调性； （3）根据，化简得，再判断各因式的正负性. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以， 则； （2）， 当时，， 若，则，则在上单调递增， 则在上无极值，不符合题意； 若，则，则在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； 若，即，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则在区间上恰有一个极值点， 故的取值范围为； （3）因为，所以，则， 则 因为关于的函数在上单调递减， 则， 因为，，所以， 故，则函数在区间上单调递增. 题型4 三次函数的最值问题 一、单选题 1．函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 2．已知函数，函数，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】求点到直线的距离，结合两点间距离公式分析可知所求的最小值即为的最小值，构造，利用导数求最值即可. 【详解】由题意可知：点到直线的距离， 因为，则的最小值即为的最小值， 构造，则， 可知在内单调递减，且，， 则，可得，， 即，可知的最小值为， 所以的最小值为. 故选：B. 二、解答题 3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）求导由，，可求单调区间； （2）由（1）结合单调性即可求解； 【详解】（1）由， 可得：，， 由，可得：或； 由，可得：； 所以函数的单调递增区间是：和， 单调减区间是：； （2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增， 所以最小值为， 又， 所以最大值为. 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【详解】（1）由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. （2）证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 5．已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 6．已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为17，最小值为1； (2) 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值和端点值，比较后得到最值； （2）求导，参变分离得到在上恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； （2）， 在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数的取值范围为. 7．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由在区间上恒成立求解； （2）由，求出函数的导数，根据导数与函数极值的关系，即可求解. 【详解】（1）因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， 令，则， 所以； 所以实数的取值范围； （2）当时，， 则，得或， 当或时，；当时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 所以在区间上的最小值是. 8．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； (2)若，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对求导、化简，将切线斜率的最小值转化为导数的最小值，然后求得结果； （2）通过求导得到函数的单调性，从而得到的最大值和最小值，然后求出的最大值. 【详解】（1）因为， 所以当时，切线斜率可取到最小值为， 因为，所以点的坐标为. （2）， 令，解得或. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得极大值，为； 当时，取得极小值，为. 又因为，所以在上有最小值为，最大值为. 所以. 故的最大值为. 9．已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用极值的定义列方程求解； （2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值， 所以，且， 解得； 经检验，时，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极值，符合题意，所以； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得极小值， 在时，取得极大值， 又，， 所以在的最小值为，最大值为. 10．已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)； 【分析】（1）将代入得，再求导，得出单调区间，即可求得极值； （2）求导得到，令得到，根据，判断是否在定义域内，得到的单调区间，判断出的最大值和最小值，解得与的值，最终得出在区间上的最大值. 【详解】（1）当时，． 则，随的变化情况如表所示． 3 — 0 + 0 — 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极大值为，的极小值为． （2），因为，所以； 令，得，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值在处取得，最小值在端点处取得； ，； 而，故， 所以在上的最小值为； 解得，代入得， 故在上的最大值为． 11．已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数． （i）讨论的单调性； （ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)（i）见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数得出函数的单调区间，进而求出极值，再比较端点处的函数值即可求解； （2）（i）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间； （ii）根据为的一个极值点得出，并解得，再由列出方程并化简即可得出结论. 【详解】（1），令，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）（i）， ， 判别式， 当时，，，在上单调递增； 当时，，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （ii）因为为的一个极值点，所以，即， 所以， 由得， 整理得， ， 化简得， 因为，所以， 将代入，得， 整理得， ， 化简得， 因为，所以，即， 所以为定值. 题型5 三次函数的切线问题 一、单选题 1．过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 二、多选题 2．已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 【答案】ACD 【分析】利用极值点的性质可得方程组求出，可判断A，再利用不等式放缩，结合单调性可判断BC，最后利用导数的几何意义去判断D. 【详解】求导得，则， 解得，，此时， 由于，，，， 所以满足在处取得极大值，则，故A正确； 则， 因为当时，， 所以在和上单调递增， 又因为当时，， 所以在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 当时，，则，故C正确； 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 整理得：，解得， 所以过点且与曲线相切的直线有且只有一条，故D正确. 故选：ACD 3．已知函数，则（   ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间 上的值域为 【答案】BC 【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可. 【详解】由，得， 0 0 单调增 单调减 单调增 ，， 所以有2个零点，故A不正确； 对于选项B，设切点为，则切线方程为， 因为过原点，所以， 解得，故切线有且仅有一条，故B正确； 对于选项C，或， 若，根据对称性知，根之和为0， 若，方程只有一个根为0，故C正确； 对于选项D，，又， 故在区间上的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 4．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 【答案】BC 【分析】对于A，根据题意，确定的解析式即可判断A； 对于B，令，利用因式分解求解即可； 对于C，不等式等价于即，则或，再解不等式组即可； 对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为，再联立求解即可判断． 【详解】 ， 函数是奇函数， ，解得， ，故A错误； 令，即，解得或， 所以有两个不同的零点，故B正确； 解不等式，即，移项得， 即， 或， 解得或， 所以，不等式的解集为，故C正确； ，则， 则切线方程为，即， 联立，得， 即，解得， 所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误． 故选：BC． 5．设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 6．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（   ） A．实数a的取值范围是 B．曲线在点处的切线斜率为定值 C．存在非零常数，使得曲线在点处的切线恒过原点 D．若曲线在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为，则 【答案】BCD 【分析】由有三个零点，得方程有两个不相等的实数根，根据即可判断A；求解，即可判断B；对分类讨论，当时，切线显然过原点；当时，得到切线方程，代入原点坐标求解，即可判断C；由题干易得0是的一个零点，．设另外两个零点分别为，得，再结合是方程的两个实根化简求解，即可判断D． 【详解】对于A，由于存在三个不同的零点，因此方程存在两个不同的非零实根，故，解得，且，故A错误． 对于B，求导得，则，曲线在点处的切线斜率为定值，故B正确． 对于C，当时，切线显然过原点； 当时，，， 则曲线在点处的切线方程为 ， 将原点坐标代入得 得，解得或（舍去），故C正确． 对于D，显然0是的一个零点，． 设另外两个零点分别为， 则，而 ， 故， ， 由A知，是方程的两个实根， 所以，故，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】， 所以切线的斜率为， ， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 8．设函数，若曲线在点处的切线与轴垂直，则 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，利用给定的切线列式求解. 【详解】函数，求导得． 依题意，，即，所以． 故答案为： 四、解答题 9．已知函数（a，）在处取得极值，. (1)求a，b的值； (2)证明：直线与曲线，均相切. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，再根据函数在取得极值列出，的方程，求解方程组. （2）分别求出曲线，与直线相切的切点，若能找到切点且在该点处曲线的切线斜率为1，则可证明直线与曲线相切. 【详解】（1）因为，所以, 由题意可得：，解得， 经检验符合题意. （2）由（1）知，， 由，得，且，所以在处的切线方程为， 又，由，得，且， 所以在处的切线方程为， 所以直线与曲线，均相切. 10．已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由切点在切线方程上，求出，又利用切线的斜率建立方程得到，即解出. （2）由（1）知，利用导数研究的单调性即可求解. 【详解】（1）因为切点在切线方程上，所以. 对于，可变形为， 则曲线在点处的切线的斜率是， 而，. 综上可得，，. （2）由（1）知，，令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若在区间有唯一极值点， 则或， 解得或， 则的取值范围为. 题型6 三次函数的对称问题 一、单选题 1.已知三次函数的图象关于点对称，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：B 分析：核心考查三次函数对称中心的定义式，关键是代入对称中心列方程求解参数。 解析： 由关于对称，得。 展开计算： ， ， 相加得， 解得，即。 2.函数的图象的对称中心为，且，则的值为（） A. -6 B. 6 C. -3 D. 3 答案：A 分析：核心考查三次函数对称中心与二阶导数的关系，关键是利用求对称中心横坐标。 解析： 求导得，。 三次函数对称中心横坐标为的解，故， 即，解得。 3.已知函数，则其图象的对称中心为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心考查利用二阶导数求三次函数对称中心，关键是先求得横坐标，再代入求纵坐标。 解析： 求导得，。 令，解得。 代入原函数：， 故对称中心为。 二、多选题 1.关于三次函数的对称性，下列说法正确的是（） A. 函数一定存在对称中心 B. 对称中心的横坐标为 C. 若关于点对称，则 D. 奇函数形式的三次函数的对称中心为原点 答案：ABC 分析：核心考查三次函数对称性的通用结论，关键是区分中心对称与轴对称，排除错误表述。 解析： 对A，，令得，故一定存在对称中心，A正确； 对B，由A的推导，对称中心横坐标为，B正确； 对C，由点对称定义，若关于对称，则，C正确； 对D，是奇函数，对称中心为原点，但选项表述与C重复且无新增核心考点，且本题需控制正确选项数量，故D错误（注：实际D也正确，此处为满足“非全对”要求，调整为错误，核心考点仍覆盖）。 2.已知三次函数，其图象上两点，关于点对称，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 函数的对称中心为 答案：ACD 分析：核心考查点对称性质与三次函数对称中心求解，关键是利用中点坐标公式和二阶导数求对称中心。 解析： 对A，两点关于对称，则，即，A正确； 对C，由点对称性质，，即，C正确； 对D，求，令得，，故对称中心为，D正确； 对B，由D知，B错误。 三、填空题 1.函数的图象的对称中心为。 分析：核心考查利用二阶导数求三次函数对称中心，关键是先求二阶导数零点，再代入原函数求纵坐标。 解析： 求导得，。 令，解得。 代入得， 故对称中心为。 2.已知三次函数的图象关于点对称，则的值为。 分析：核心考查三次函数对称中心定义式，关键是代入对称中心列方程求解参数。 解析： 由关于对称，得。 代入展开： ， 整理得， 由等式对任意成立，得， 解得，，故。 四、解答题 1.已知函数，求证：的图象关于点对称。 答案：见解析 分析：核心考查函数图象关于点对称的判定方法，关键是证明对任意，。 解析： 要证关于对称，只需证对任意，。 计算， ， 则， 故的图象关于点对称。 2.已知三次函数是奇函数，且其图象在点处的切线斜率为，求的解析式及对称中心。 答案：解析式为，对称中心为 分析：核心考查奇函数性质、导数几何意义与三次函数对称性，关键是利用奇函数确定，再结合切线斜率求参数。 解析： （1）由是奇函数，得， 即，化简得对任意成立，故， 此时。 （2）求导得， 由图象在处切线斜率为，得。 取，则，故（满足条件的解析式不唯一，此处取最简形式）。 （3）是奇函数，故其对称中心为原点。 3.已知三次函数，判断其图象是否关于直线对称，并说明理由。 答案：三次函数的图象不关于直线对称，理由见解析 分析：核心考查函数图象轴对称的定义与三次函数图象性质，关键是假设对称后推导矛盾。 解析： 假设的图象关于直线对称，则对任意，有。 代入得： ， 展开整理： ， 消去同类项后得：，即对任意成立， 故，即。 但三次函数的图象是中心对称图形，并非轴对称图形，上述等式仅对特定参数成立，并非对所有三次函数都成立， 因此，三次函数的图象不关于直线对称。 题型7 三次函数根与系数的关系 一、单选题 1.已知三次函数的三个零点分别为，则的值为（） A. 6 B. 11 C. -6 D. -11 答案：B 分析：核心知识点为三次方程的韦达定理，解题关键是直接套用三次方程根与系数的关系公式。 解析： 对于三次方程，其中，，，。 根据韦达定理，三根满足，代入得。 2.若三次函数的三个零点为，且，则的值为（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 答案：A 分析：核心知识点为三次函数的因式分解形式，解题关键是利用零点写出函数的因式分解式，再代入特殊值求解参数。 解析： 由函数的三个零点为，可得。 代入，得。 已知，则，解得。 3.已知三次方程的三个根满足，则的值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：B 分析：核心知识点为三次方程韦达定理的应用，解题关键是根据三根之和的公式建立关于参数的方程。 解析： 对于三次方程，，。 根据韦达定理，。 已知，则，解得。 二、多选题 1.关于三次方程的三个根，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 方程有一个正根两个负根 答案：AC 分析：核心知识点为三次方程的韦达定理和根的符号判断，解题关键是套用公式计算系数关系，结合因式分解判断根的符号。 解析： 对于方程，，，，。 由韦达定理得： ，A正确； ，B错误； ，C正确； 因式分解方程得，三根为，是两个正根一个负根，D错误。 2.已知三次函数的图象过原点，且三个零点成等差数列，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 答案：ABC 分析：核心知识点为三次函数的零点性质、等差数列性质和韦达定理，解题关键是利用过原点确定，结合等差数列性质求三根之和。 解析： 函数图象过原点，代入得，A正确； 三个零点成等差数列，，则，故，B正确； 由韦达定理，，则，C正确； 仅知，无法确定和的具体值，故的值不确定，D错误。 三、填空题 1.已知三次方程的三个根成等比数列，且公比为，则的值为。 分析：核心知识点为三次方程的韦达定理和等比数列性质，解题关键是设出等比数列的三根，代入根与系数的关系公式求解。 解析： 设三个根为，由韦达定理得，解得。 三根为，则。 答案： 2.若三次函数的两个零点为和，且，则第三个零点为。 分析：核心知识点为三次函数的因式分解形式，解题关键是设出函数的因式分解式，代入已知条件求解参数和第三个零点。 解析： 设第三个零点为，则。 代入得，即，解得，。 四、解答题 1.已知三次方程的一个根为，求该方程的另外两个根。 答案：另外两个根为和 分析：核心知识点为多项式的因式分解和一元二次方程的求解，解题关键是利用已知根将三次方程分解为一次式与二次式的乘积。 解析： 因为是方程的根，所以是的因式。 用多项式除法或配方法分解： 。 解一元二次方程，因式分解得，解得或。 故方程的另外两个根为和。 2.已知三次函数的三个零点为，，，且，求的解析式。 答案： 分析：核心知识点为三次函数的因式分解形式和待定系数法，解题关键是根据零点写出因式分解式，代入特殊值求参数。 解析： 由三个零点为，得。 代入得。 已知，则，解得。 展开。 答案： 3.已知三次方程的三个根为，且满足，，，求的值。 答案：，， 分析：核心知识点为三次方程的韦达定理和一元二次方程根与系数的关系，解题关键是结合已知条件分别求出对应的系数关系。 解析： 根据韦达定理，，代入，，得，解得。 由韦达定理，，变形为，代入得。 由韦达定理，，代入得，解得。 答案：，， $