5.函数的最大（小）值讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅5.函数的最大（小）值（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 函数的最值与极值的关系 题型2 求不含参函数的最值问题 题型3 求含参函数的最值问题 题型4 由函数的最值求参数问题 题型5 导数在解决实际问题中的应用 解题策略 知识点1 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反映的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 解题策略1 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略2含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略3求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略4由函数的最值求参数问题 1、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 2、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 3、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 注：（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 考点精析 题型1 函数的最值与极值的关系 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】B 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 3．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可. 【详解】由，又， 因为任意，都有， 所以是函数的最小值，也是极小值， 故有两实根，即有两实根，则， 记二次函数的零点为， 且，则在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，因为是最小值， 所以，即， 解得，故， 故选：B． 4．已知函数，以下结论中错误的是（    ） A．是偶函数 B．有无数个零点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确. 【详解】对于A，定义域为，， 为偶函数，A正确； 对于B，令，即，，解得：， 有无数个零点，B正确； 对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则； ，， 不是的极小值点，C错误； 对于D，，； 则当，，即时，取得最大值，D正确. 故选：C. 5．已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数有极小值也有最小值 B．函数存在两个不同的零点 C．当时，恰有三个实根 D．若时，，则的最小值为2 【答案】C 【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案. 【详解】由，得， 令，则或，当或时，；当时， ， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，有极大值， 当时，， 当时，， 故函数的图象如图， 由图像可知A，B，D正确，C错误. 故选：C 6．设函数，则（    ） A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，但无最小值 C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则 【答案】D 【解析】先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形． 【详解】由题意， ∴当或时，，当时，， 在和上递增，在上递减． 极大值＝，极小值＝， 或时，，时，，时，， ∴也是最小值．无最大值． 作出的图象，和直线，如图， 当或时，有一个根，当时，有三个根． 故选：D． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解． 7．已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数，利用导数求函数的值域即可. 【详解】作出函数的图象如图， 当时，，由得，由可得， 由图可知，，点、关于直线对称，则， 点、关于直线对称，则， 所以， 令，其中， ，当时，，在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，当时，， 当时，；当时，，则， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点. 8．对函数(，且)的极值和最值情况进行判断，一定有（    ） A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值 C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值 【答案】C 【分析】先求出导数，，然后讨论方程根的情况，进而判断各选项 【详解】，下面讨论方程根的情况.令，， （1）当时(即)，仅有一个唯一的正零点，不妨设为，此时有三个不同零点，分别为，0，；满足既有极小值，也有最小值； （2）当时(即)；满足既有极小值，也有最小值； （3）当时(即且)，若(即且)，则仅有一个唯一的极小值点为0，若，结合分析可知：当时，有两个不同的正零点(令为，且).此时在，，上单调递减，当时，则仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析， 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当；（2）当；（3）当，进而判断各选项，属于难题 二、多选题 9．已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 10．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定错误；选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定正确；选项，求得，令，求得，得出，可判定正确；选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定正确. 【详解】A选项，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误； 选项，由知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，，所以函数有3个零点，故正确； 选项，由，可得， 令，可得，又由， 所以点是函数的对称中心，故C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 11．已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．在上有两个极值点 B．在处取得最小值 C．在处取得极小值 D．函数在上有三个不同的零点 【答案】AC 【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 当时，，，恒成立； 可作出图象如下图所示，    对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确； 对于B，不是的最小值，B错误； 对于C，在处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误. 故选：AC. 13．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间和上，函数均是减函数 B．为函数的零点 C．为函数的极小值点 D．为函数的最大值 【答案】AC 【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，又，； 当时，，又，； 在和上均为减函数，A正确； 对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误； 对于C，由A知：在上为减函数； 当时，，又，； 在上单调递增，又，， 是的极小值点，C正确； 对于D，当时，，又，； 在上单调递减，又在上单调递增， 是的极大值，无法确定是最大值，D错误. 故选：AC. 14．已知且，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 三、填空题 15．对于函数 （1）是的单调递减区间； （2）是的极小值，是的极大值； （3）有最大值，没有最小值； （4）没有最大值，也没有最小值. 其中判断正确的是 . 【答案】（2）（3） 【分析】求出函数的导数，然后根据导数的性质，结合极值和最值的定义进行判断即可. 【详解】. 当时，函数单调递减，得或，因此（1）说法不正确； 当时，函数单调递增，得，因此是的极小值，是的极大值，所以（2）说法正确； 当时，； 当时，或，因此函数有最大值，最大值为，没有最小值，所以（3）说法正确，(4)说法不正确. 故答案为：（2）（3） 【点睛】本题考查了函数的最值和极值，考查了导数的应用，考查了数学运算能力. 16．已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导判单调性，根据在开区间上存在最小值，则区间左端点的函数值不能低于极小值，列式可得a的取值范围. 【详解】已知函数，所以， 时 或，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 令得，，即，得到或 因为在上存在最小值，则区间左端点的函数值不能低于极小值， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题 17．已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间既有最大值又有最小值，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，得到，得出切线的斜率为，进而求得切线的方程； （2）由（1）知，求得函数的单调性和极值，由，求得，结合和，即可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 则，切线的斜率为， 所以函数在点处的切线方程，即. （2）解：由（1）知， 令，即，解得或， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值， 又由，解得， 经验证：若时，此时区间为，此时，可得， 此时函数在处取得最小值； 当时，此时区间为，此时，此时， 此时函数在处取得最大值， 所以函数在区间既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围. 18．已知函数，其中是自然数的底数，． （1）当时，解不等式； （2）若，试判断在上是否有最大或最小值，说明你的理由． 【答案】（1）；（2）在上有最小值，无最大值． 【分析】（1）由于，因此不等式可化为二次不等式，利用二次不等式的解的结论可得； （2）判断最大值和最小值，首先研究函数的单调性，即求出，考虑的解，如有解，判断这个解是否在上，从而确定函数在上的单调性，本题中判断解的情况可利用二次函数的性质，判断出导函数在内有一个零点，记为，再判断导函数的正负，有结论在上，递减，在上，递增，从而在上有最小值，无最大值． 【详解】（1）因为，所以不等式即为， 又因为，所以不等式可化为， 所以不等式的解集为． （2）， 令， 图象对称轴为． 因为，所以在内有零点，记为， 在上，递减，在上，递增， 在上有最小值，无最大值． 19．已知函数， (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求导后按，分类讨论得到单调区间； （2）恒成立问题转化为在恒成立，再构造函数，通过导数和隐零点确定函数单调性，得到最值后再构造函数，借助导数研究最值即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增，，，在上单调递减， （2）因为恒成立，即在恒成立， 记，，， 当时，，在上单调递增，由，则，，不符合题意. 当时，令，， ，则，在上单遇递增， ，， ，使得①， 所以在上单调递减在单调递增，则恒成立， 由①得 所以， 即，当且仅当时，，所以， 记，，， 即在上单调递增，在单调递减，，即 【点睛】方法点睛：主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3、求函数的极值（最值）； 4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5、证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 20．已知函数，. （1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围； （2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】1，等价于方程在恰有一个变号零点． 即在恰有一个变号零点．令，利用 函数图象即可求解． 2要证明：只需证明，即证明要证明，即证明利用导数即可证明． 【详解】Ⅰ，， ， 函数恰有一个极值点， 方程在恰有一个变号零点． 在恰有一个变号零点． 令，则． 可得时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减． 函数草图如下， 可得， ． 实数a的取值范围为： 2要证明：证明． 证明，即证明． 令则， 时，，函数递增，时，，递减． ，即原不等式成立． 要证明，即证明． ， 故只需证明即可． 令，则． 时，，函数递减，时，，函数递增． ， 又， 故原不等式成立． 综上，， 【点睛】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题． 21．已知函数，． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，，都有成立． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.　 【详解】试题分析：（Ⅰ）由，当，，单调递增，所以函数在区间上单调递增，在区间上的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以函数（）在时取得最大值，又，可知， 所以对任意，，都有成立． 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得． 当，，单调递减； 当，，单调递增． 所以函数在区间上单调递增， 又，所以函数在区间上的最小值为． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值， 又，可知． 由，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以函数（）在时取得最大值， 又，可知， 所以对任意，，都有成立．　 22．已知曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且，证明：对任意的，． 【答案】(1)， (2)在上单调递增，无单调递减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）求得 结合，列出方程，即可求解： （2）由（1）知，令.求得.求得的单调性和.即可求解； （3）根据题意转换为，由，可知，只需证明，，证明时，即证明，令，由单调性，只需证明，由已知条件即证，通过构造函数利用导数判断单调性进而证得结果，同理证明成立. 【详解】（1）， 则． 因为，所以， 解得，． （2）． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立， 故在上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由，可得． 又，所以． 因为，，所以只需证明，， 即证明，． 先证明，即，令， 则，所以在上单调递增． 只需证，， 即，． 令，，则， 所以，故． 再证明，即．同理，只需证明， 即． 令，，则． 令，，则，所以在上单调递增． 又因为，， 则存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，所以，故． 综上，对任意的，． 【点睛】思路点睛：已知化简可得，只需证明， 构造函数，可知在上单调递增．只需，， 即，．通过构造函数，利用导数求得最值即可证得结果,同理可证得. 题型2 求不含参函数的最值问题 一、单选题 1．函数在区间的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先由导函数求出函数在区间上的单调性， 【详解】由题得， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间的最小值是. 故选：A 2．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 3．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解. 【详解】， 令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以. 故选：C. 4．函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B 5．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 6．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】A 【分析】先对函数解析式进行变形因为，把求的最小值转化为求点到与的距离之和的最小值，计算，令，利用导数求得的单调性和最小值，再根据，求得答案． 【详解】因为， 故求的最小值转化为求点到与的距离之和的最小值， 又，令， 则，则在单调递减，在单调递增，故， 所以，易知两个不等号均在时取等号， 故的最小值为1． 故选：A. 7．已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，设，令，结合导数求出的单调区间以及最值即可. 【详解】因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令则 ，当时，， 当 时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当，即时取得最大值为，则的最大值为. 故选：C. 8．已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 9．若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 （   ） A．16 B． C．36 D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称性求出函数的表达式，结合导函数求出极大值，进而得到最大值. 【详解】函数过点，. 因为函数图象关于直线对称，所以点，也在函数的图象上， 即. 所以，即，解得. 所以. 则. 令，即，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以函数在处取得极大值， 又 ， ， 的最大值为36. 故选：C. 10．设正数、、满足，，则以下大小关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式变形得出，构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，对的取值范围进行讨论，可得出、、的大小关系. 【详解】由得，由得， 所以，由题意可知，则， 所以， 又由于、、都是正数，所以，解得，，且， 构造函数，，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上为增函数， 故对任意的恒成立，因此， 构造函数，， 则对任意的恒成立，所以函数在上为增函数， 且，由于，故， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 故当时，； 当时，，此时. 综上所述，、、间的大小关系只能是或或. 故选：C. 11．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上恒成立，令，则只需即可，利用导数求解即可. 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数的取值范围是. 故选：D. 12．已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，应用分段函数时，， 时 ，， 分别构造函数应用导数得出单调性进而得出最值，最后确定零点即可求出参数. 【详解】令，当时，， 令，则，令，则；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以当时， 方程无实数根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程 有1个 根 . 当 时 ，， 令 且， 则 ， 由 ， 知在和上单调递减，当时，，当时，， 所以当时，方程无实数根， 当或时，方程有1个根， 综上可知，当和时，方程有1个根. 当时，方程有3个根， 当，及时，方程有2个根， 所以当时，函数有3个零点. 故选：D. 二、多选题 13．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 14．已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【分析】先利用题给条件求得实数m的取值范围，进而得到实数m的可能取值. 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，， 令，，则， 可知为增函数，当时，有最小值， 故实数m的取值范围为， 故选：AB. 15．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．有且仅有一个零点，且该零点为 【答案】ACD 【分析】求定义域判断A，换元法结合二次函数值域计算判断B，求导得出单调性判断C，令函数值为0计算得出零点判断D. 【详解】的定义域为，A正确. 令，则，所以的值域为，B错误. ，当时，，所以在上单调递增，，C正确. 令，即，即，且，解得，D正确. 故选：ACD. 16．设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 【答案】AD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 17．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 【答案】ABD 【分析】求导判断函数的单调性可知A；利用结合函数单调性可知B；由单调性可知C；判断与特点可知D. 【详解】由，得，当时，在上单调递增，A正确． 当时，在上单调递减，所以， 因为，所以，B正确． 易得在处取得最大值，最大值为，C错误． 令0，得，函数与函数两函数的图象有唯一交点，所以有唯一零点，D正确． 故选：ABD 18．若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 【答案】ACD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 19．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．曲线在处的切线方程是 【答案】ACD 【分析】选项A：根据偶函数的定义判断即可；选项B：对原函数进行求导，判断函数的单调性，进而判断是否存在周期性；选项C：根据函数的单调性即可求出最值；选项D：求出及，利用直线点斜式求解即可. 【详解】由题可知的定义域为. 选项A：，所以是偶函数，故A正确； 选项B：. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由选项A可知，是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增； 所以不存在非零，使得，即不可能是周期函数，故B错误； 选项C：由选项B可知，在时取得最小值，此时， 所以函数的值域为，故C正确； 选项D：因为，， 所以曲线在处的切线方程是，即，故D正确. 故选：ACD. 20．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增，在上单调递减 B． C．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则或 【答案】BCD 【分析】先求函数的导数，根据导数的正负判断函数的单调性，可判断选项A；根据函数的单调性，结合，可判断选项B；将恒成立问题，转化为求函数的最值，可判断选项C；可构造函数，通过求函数的极值和端点值确定的取值范围，进而判断选项D. 【详解】对于选项A，由，得，令，得， 当，，单调递增；当，，单调递减，故选项A错误； 对于选项B，，因为， 而函数在区间上单调递减，所以， 即，故选项B正确； 对于选项C，不等式在上恒成立，即在上恒成立. 令，，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为， 所以，故选项C正确； 对于选项D，方程在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个解. 令，，由选项C分析知，在上单调递增，在上单调递减. ，，， 因为，所以当或时，与的图象在上有且只有一个交点， 即当时，若方程有且只有一个根，则或，故选项D正确. 故选：BCD 21．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设，至少有三个整数解，则 【答案】BD 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，故A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当时，有两个解，当时，有一个解，故C错误； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，，， 所以，故此时满足， 所以至少有三个整数解，则，故D正确. 故选：BD. 22．已知，则（   ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．有最小值 【答案】AD 【分析】由得.举例说明判断A；利用导数证明即可判断B；易知，结合二次函数的图象与性质即可判断C；，结合其几何意义和点线距公式计算即可判断D. 【详解】由，得或，即或. 又函数的图象恒在的图象上方， 所以无解，故，即. A：当时，成立，所以，使得，故A正确； B：易知函数的图象恒在的图象上方，则； 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，即， 所以不存在，使得，故B错误； C：设， 由，得， 对于二次函数， 其对称轴为，且， 所以，都有不成立，故C错误； D：， 其几何意义为点到点的距离的平方减去1. 又点到直线，即的距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 三、填空题 23．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调性，易知函数的极小值即为函数的最小值，代入数值即可得解. 【详解】由题意， 令得，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 24．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 25．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定义域，求导，得到函数单调性，求出最小值. 【详解】定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为： 26．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合仅存在一个正整数，使进行分析求得参数范围即可. 【详解】已知，， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在时，在递减，递增，最小值为. 因为仅存在一个正整数，使，则这个正整数只能是， 因此需满足，代入得 解得. 故答案为： 27．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 28．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令 ， 令，于是有， 设函数，因此函数是实数集上的增函数， 所以由， 由， 当时，由， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，且，当时，，当时，， 函数在定义域内有零点， 转化为函数在时，与直线有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当时，函数在时，总与直线有交点， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 29．已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为 . 【答案】 【分析】方程联立消去得，结合判别式得到恒成立，通过分参求最值即可求解. 【详解】由方程组可知，代入化简得：， 由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意的恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 30．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2)，. 【分析】（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得函数的最值. 【详解】（1）， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. （2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 31．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据求得在点处的切线方程，在根据切线与坐标轴所围成的三角形的面积为即可求解； （2）由（1）得，利用导数即可求最值. 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以. （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 32．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 33．已知.当，求实数的取值范围 【答案】 【分析】易知；将变形为在上恒成立，利用导数求出即可. 【详解】易知； 当时，， 令， 则， 当时，在递减； 时，在递增， 所以，得， 即实数的取值范围为. 34．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 35．已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值； （2）原不等式可化为，当时，不等式恒成立，当时，先证明在上单调递增，求出，分和两种情况分别讨论，即可求出答案； （3）由（1）知，当时，，利用放缩得到，代入再通过不等式累加即可证明. 【详解】（1）由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为. （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是. （3）由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即. 题型3 求含参函数的最值问题 一、单选题 1．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果. 【详解】令， 则，令 若时， 若时， 所以可知函数在递减，在递增 所以 由对任意的实数恒成立 所以 故选：A 【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题. 2．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据题意有在上有解,可得，转化为求函数的的最值即可． 【详解】因为，所以， 因为在上有解，所以在上有解， 化简得．因为， 即在）上有解． 因为，设，则在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为，此时， 当且仅当，即时，有最大值0. 故选:C． 3．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 5．已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，令，求得，得到的单调性，得到函数的最小值，得出，令，求得，得出的单调性，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 要使得函数在上的最小值为，则必不是单调函数， 所以在定义域上为先减后增， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且， 令，可得， 构造函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知在上恒成立，设，可得在上恒成立，由，可得为的极小值点，得到，利用求出，从而得到，只有当时，，从而得到，设，利用导数法求出的最小值为，由，得到在上恒成立时，进而得解. 【详解】在上单调递增， 在上恒成立， 设， 在上恒成立， ， 为的极小值点， ， ， ，， 将代入，得到， ， 当，， 当时，，这与在上恒成立矛盾， 故必有时， ， ， ， 设，， 的解为，则在上是单调递增函数， 的解为，则在上是单调递减函数， 则在处取最小值，且最小值为， 故在上恒成立， ， 在上恒成立时，， ，， 的取值范围为. 故选：C. 7．已知函数，若且的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的性质，由已知可得，再构造函数，由其最大值为求出值即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，则，， 因此，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而的最大值为， 于是，解得，此时，符合题意， 所以的值为. 故选：B 二、多选题 8．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极小值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD 9．已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若曲线与相切于点，则， B．若，，则曲线与相切 C．若，则恒成立 D．若，且的最小值为0，则 【答案】ACD 【分析】利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对，， 对A：当时，，又，故在处的切线方程为， 即，故此时，故A正确； 对B：令，解得，又，故此时在处的切线方程为：， 即，此时，故错误； 对C：令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，故，则正确； 对D：若，则， ，当时，恒成立，故单调递增，不存在最小值，故舍去； 当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，又其最小值为0 故，解得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题. 10．已知函数，的图像分别与直线交于A，B两点，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【分析】由题意得，，表示出，利用导数求出即可求解. 【详解】由题意得，，，易知， 所以，. 令，，则， 令，得. 所以当时，；当，， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 所以， 故选：AB 11．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是增函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的定义域和值域的求法判断AB，根据指数型复合函数单调性求法判断C；令，利用导数研究单调性并求其最小值，由求解判断D. 【详解】由题意的定义域为，A正确； 因为，所以，即值域为， B错误； 在上单调递增， 在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知是增函数，C正确； 即.令，则， 当时，，当时，， 所以的增区间为，减区间为， 所以.由，解得，D正确. 故选：ACD 12．设函数，则（    ） A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点 C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则 【答案】BCD 【分析】对于A：求导，按极值点的定义验证即可；对于B：代入，因式分解，可求出零点，即得答案；对于C： 值域为 等价于 的值域包含所有正实数，求导，求出的值域即可；对于D：的定义域为，需要求 ，求导，求出即可. 【详解】， 当 时， 且 （因 )，故 ； 当 时， 且 ，故 . 故不是的极值点，故选项 A 错误； 代入 得： ， 的判别式为 ，无实根. 因此，即仅有一个实数零点，故选项 B 正确； 值域为 等价于 的值域包含所有正实数， 得 或 ， 在上恒小于等于0，故在上单调递减； 在上恒大于0，故在上单调递增； 又连续且当时，， 所以的值域为， 依题意只需满足，又， 所以，故选项 C 正确； 的定义域为，需要求对所有实数 有 ，即 ， 由选项 C 的计算， 时，，即 ， 结合 ，得 .故选项 D 正确. 故选：BCD 13．已知三次函数，则（   ） A． B．若有三个不同的实数根，则 C．若，则 D．若有三个不同的正实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】化简函数为，可判断A正确；转化为方程有两个实数根，结合，可判定B错误；根据，可判定C正确；根据二次函数的性质，列出不等式组，求得，令，求得，得到单调递减，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数 可，所以A正确. 对于B中，由，可得是的一个解， 要使得有三个不同的实数根， 则有两个实数根，则， 即，即，解得或，所以B错误； 对于C中，由， 则，所以C正确； 对于D中，要使得有三个不同的正实数根，其中是的一个解， 则满足，解得， 令，其中，可得， 所以在上单调递减，且时，， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 14．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线与直线相切 B．存在不同时为0的实数a，b，使得恒成立 C．存在实数a，b且，使得既有极大值又有极小值 D．若且恒成立，则 【答案】ABD 【分析】求出时的解，从而可求解A项；由，当方程无正根如时，恒成立，则在上单调递增，可对B判断求解；若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根，再利用根与系数关系即可对C判断求解；由若，则恒成立，则得，分别讨论，时的情况，从而求出，即可求解D. 【详解】A：若，则，， 令，解得，又，所以曲线与直线相切，故A正确； B：，当方程无正根， 如时，恒成立，则在上单调递增， 而恒成立，所以恒成立，故B正确； C：若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根， 即方程有两个不同的正根，设为， 则，且，，所以，故C错误； D：若，则，， 当时，，不符合条件， 当时，有一个正根， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到极小值也是最小值， 要使恒成立，只需，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 15．已知函数，若，则 ，若在其定义域的一个子区间内存在最小值，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】求导，令，即可解出，根据函数最值与单调性的关系即可列不等式组求解的范围. 【详解】函数，，， 由，，解得． 令，得（负值舍去）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，当时，取得极小值且为最小值， 由题意可知，解得，实数k的取值范围是． 故答案为：1，. 16．已知函数，当时的最大值为3，最小值为－6，则＝ . 【答案】 【分析】利用函数导数得到函数的单调区间，进而得到的极小值，联立解方程组解出即可. 【详解】由题可知， 因为，，所以， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 又因为所以， 所以 所以解得所以. 故答案为:. 17．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 【答案】4 【分析】由题意求导得函数的单调区间，进一步由，且列不等式组即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得，． ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减； ③当时，，单调递增． 所以只需，且即可， 由，可得， 由，可得， 综上可得，． 故答案为：4. 18．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数单调性并求得最值以及，再解不等式即可. 【详解】，， 又，故当，，单调递增； 则，; ，即，解得，又，故. 故答案为：. 19．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值. 【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，， 时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值， 函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立. 时，恒成立，此时， 时，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 故，，， 综上可知，实数的最大值为. 故答案为：. 20．已知函数的最小值为0，则 . 【答案】 【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值. 【详解】因为，所以. 若，则在上单调递减，无最小值. 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得. 故答案为： 21．已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】方法一：先对函数求导，再分类讨论导数的正负号并判断函数的最小值，只要最小值非负即可；方法二：先求不等式成立的必要性，得，再验证充分性，利用不等式放缩得恒成立可得结果. 【详解】方法一：函数，，在上单调递增.令，解得. ①当时，.对任意， 有， 故在上单调递增.所以， 符合题意. ②当时，.在上，， 函数单调递减；在上， 函数单调递增. 故在处取得极小值，也是最小值： 令， 则， 所以在上单调递减，故，即， 不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 方法二： 先证必要性：因为在上恒成立，且，所以必须有. 求导得， 故， 解得.结合已知， 得. 再验证充分性：当时，对任意，利用不等式 (当时等号仅在处成立)，证明如下： 令，，所以在单调递增， 所以恒成立，即恒成立(当时等号仅在处成立). 故有在恒成立. 故的取值范围为. 故答案为：. 22．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，利用导数分别求出，得，解不等式即可. 【详解】， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又恒成立， 所以，即， 由，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 23．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】构造函数并求出最小值，建立不等式并用表示，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，，设， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为： 24．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用求导判断函数的单调性，进而得到函数的值域为，再把问题化为需使即可得. 【详解】由题设知，且 令，则；令，则； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，时，时， ∴的值域为， 令，则， ∵，则， ∴要使的值域也为，则需使，解得. 则实数a的取值范围是． 故答案为: . 25．已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，设，利用导数结合题意推得，将其化成，设，利用导数求出其最大值即得. 【详解】根据题意，可得对任意的恒成立． 设，则． 若，则在上单调递增， 当且时，，不符合题意． 若，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，所以． 设，（），则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即的最大值为， 此时． 故答案为：. 26．若时，，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 27．设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和； (2). 【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值. 【详解】（1）， 由得或， 所以的单调递增区间为和； （2）由Ⅰ知函数在处取得极大值， 即，得 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以在上的最小值为． 28．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 29．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 30．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分、时讨论，时，由参变分离得，令，求导分析函数单调性，结合极值确定交点个数即可求解； （2）由题意得恒成立，令，，再分、、讨论，当时，，则，令，求导、确定的最值即可求解． 【详解】（1）函数定义域为， 时，，函数无零点； 时，令，则， 令，， 则的解为或， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 又时，，时，， 所以当，即时，无解， 当，即时，有3个解， 当，即时，有2个解， 当，即时，有1个解， 综上，当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2； 当时，函数的零点个数为3； （2），则， 即，令，， 当时，，在上单调递增， 时，，无最小值，不成立； 当时，，则，此时， 当时，，解得， 则时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， ， 则，令， ， 则的解为（舍去），， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 即，当且仅当时取等， 综上，的最大值为． 31．已知. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得切线斜率，用点斜式求解. （2）求导判断函数单调性，找到最小值，令最小值大于等于0求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，当时，，. ，，切线方程为. （2）因为（）. 当时，，恒成立； 当时，在递减，递增， 最小值，得； 当时，在递减，递增， 最小值，解得. 综上，的取值范围为. 32．设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 33．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析． 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； （3）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为，()，通过构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即切线方程为：． （2）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （3）要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是． 不妨设，设，则． 因此，． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数． ，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 题型4 由函数的最值求参数问题 一、单选题 1．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 2．已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【详解】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故选：D 3．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】，其中 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值. 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 故选：A. 4．若函数在上的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出定义域，由导函数得到所以在单调递增，从而求出最小值，进而求出a的值 【详解】定义域为， 在恒成立， 所以在单调递增， 所以，所以 故选：B 5．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 6．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 7．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 8．已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 9．已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 10．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的单调性与最值，结合同构法得出计算即可. 【详解】可化为， 令可得， 令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 故， 当且仅当时取得等号， 又，显然，即， 所以. 故选：B 11．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 12．曲线在处的切线为，且满足，，若，则整数m的最小值为（   ） （参考数据：当时，方程的解为） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合导数的几何意义得到切线参数、的表达式，构造函数并通过求导确定其极大值点，化简计算函数最大值，进而得到的范围，求出整数的最小值。 【详解】若，结合函数的图象，可得， 由在处的切线为，可得， 即，则， 设， ， 由可得或或， 设的解为，而，所以， 所以在上，在上， 所以为的极大值点，且为最大值点． 由 ， 得，即有，整数m的最小值为． 故选：B 13．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 14．已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导得出，由题意得出函数在上存在极小值点，然后对参数分类讨论，在时，函数单调递增，无最小值；在时，根据函数的单调性得出，从而求出实数的取值范围. 【详解】，， 构造函数，其中，则. ①当时，对任意的，，则函数在上单调递减， 此时，，则对任意的，. 此时，函数在区间上单调递增，无最小值； ②当时，解方程，得. 当时，，当时，， 此时，. （i）当时，即当时，则对任意的，， 此时，函数在区间上单调递增，无最小值； （ii）当时，即当时，，当时，， 由零点存在定理可知，存在和，使得， 即，且当和时，，此时，； 当时，，此时，. 所以，函数在处取得极大值，在取得极小值， 由题意可知，， ， 可得，又，可得，构造函数，其中， 则，此时，函数在区间上单调递增， 当时，则，. 因此，实数的取值范围是，故选C. 二、多选题 15．已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】AD 【分析】由题意，根据，得到是的极小值点，进而可判断AB；对函数进行求导，根据导函数的符号即可判断选项CD. 【详解】由题意知，得， 若，所以是的极小值点， 此时，解得， 则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，则，故A正确，B错误； 若，此时， 当时，，在上单调递减，故C错误； 若，此时， 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：AD． 16．已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性及最值，根据题意分析运算. 【详解】由题意可得：，， 当时，则，显然不合题意，舍去； 当时，令，而，则， 故在上单调递减，在上单调递增，且，即， 故，解得，则； 当时，令，而，则， 故在上单调递减，在上单调递增，且，即， 故，解得，则； 综上所述：或. 故选：AC. 17．若函数在上有最小值，则实数a的值可能是（    ）. A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】利用导数研究函数的性质可得为函数的极小值点，为极大值点. 根据题意可知函数的极小值点必在区间内，即且， 解不等式组即可. 【详解】令，解得， 所以当时， 当时， 所以为函数的极小值点，为函数的极大值点. 因为函数在区间上有最小值， 所以函数的极小值点必在区间内， 即实数a满足，且. 由，解得. 不等，即， 有，， 所以，即. 故实数a的取值范围是. 故选：ABC. 18．已知函数，则下列正确的选项有（    ） A．是函数的极小值点 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D．关于的不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据导数与函数极值点的关系判断A；求出可判断B；结合函数的极值以及单调性判断C；利用换元法结合函数单调性判断D. 【详解】由，得， 当或时，，当时，， 故在上均单调递增，在上单调递减， 故是函数的极大值点，A错误； ， 即函数的图象关于点中心对称，B正确； 结合A的分析可知，在时取极大值，在时取极小值， ， 令，即，解得或； 故要使得函数在区间上既有最大值也有最小值，需满足，C正确； 对于，令，则，即得 由以上分析可知，当时，单调递增，故， 即， 即的解集为，D错误， 故选：BC 19．已知函数，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D．已知函数无最小值，则a的取值范围是 【答案】AD 【分析】求出导数计算判断A；求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的，再验证判断C；作出函数图象及直线，数形结合判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，A正确； 对于B，，曲线在点处的切线方程为，B错误； 对于C，当或时，；当时，， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，方程， 当，即时，直线与曲线有两个交点，即方程有两个根， 当时，，解得，，则， 当时，，解得，，不符合题意， 因此方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于，C错误； 对于D，作出函数的图象与直线， 由图知，当时，函数有最小值；当时，函数有最小值， 当时，函数没有最小值，因此a的取值范围是，D正确. 故选：AD 20．已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 【答案】ACD 【分析】分别求导后由函数的单调性得到最值相等，可得A正确；结合A由最小值不能同时取得可得B错误；求导后分和讨论导数值可得C正确；当直线与和交点的上方时，不妨设，数形结合由指数函数对数函数的运算性质可得，同理在下方也可得，进而得到D正确. 【详解】对于A，，所以易得在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ，当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即，解得，故A正确； 对于B，因为当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，所以，故B错误； 对于C，， 当时，，； 当时，，， 总之，当时，， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与和交点的上方时，不妨设， 则， ，， ，即，， 同理，，， 所以，即. 同理，当直线与和交点的下方时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 21．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 22．若函数，且在区间上的最大值为6，则a的一个取值为 . 【答案】（或2） 【分析】讨论和时，判断的单调性，利用函数的最大值求出a的取值. 【详解】解：由题意得： 当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得； 当时，函数在区间上单调递减，最大值为，解得； 综上可知：a的一个取值为（或2） 故答案为：（或2） 23．已知函数的最小值为0，则实数a的值为 ． 【答案】1 【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值. 【详解】的定义域为， ， 当时，，在区间上递增，没有最小值. 当时，在区间递减；在区间递增. 所以在区间上的最小值为. 故答案为： 24．已知函数在上的最大值为2，则 ． 【答案】1 【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出. 【详解】解：在上 在上单调递增，且当取得最大值 ，可知 故答案为：1 25．若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 26．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数和单调性的关系，结合给定区间及函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 故答案为： 27．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 28．在上对任意都存在使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得在上无最小值，然后由单调性讨论与0大小关系可得答案. 【详解】由题意，在上无最小值，又， ,. 则在，上递增，在上递减， 当时，，不满足题意； ②时，为使不存在，则； ③时，为使不存在，则， 即.综上，． 故答案为：. 29．已知实数，函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用求导判断函数的单调性，求得0为函数的极大值点，且函数的值域为，再根据题意，需使，求解即得. 【详解】由题设知，且， ∵，，∴恒成立， 令，则；令，则； ∴在上递增，在上递减， ∴，即的值域为， 令，则， ∵，∴， ∴要使的值域也为，则需使，解得. 则实数a的取值范围是． 故答案为: . 30．已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，则当时，，利用导数研究函数的单调性和最大值即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以当时，， 当时，，所以， 令有：或，由或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，令，即， 解得或，所以，    要使当时，，只需，即， 故答案为：. 31．已知函数的值域为，则实数m取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别讨论、、、，利用导数法研究最值. 【详解】，，令. （1）当时，，故在上单调递增， 令得，即， ∵单调递增，值域为，为单调递减直线或，故与总有唯一交点存在，使得. 故当，，即，单调递减； 当，，即，单调递增. 故，符合题意； （2）当时，令得或， 设与切于，则有，解得，. i.故当时，此时与相切. 当，即，，即，单调递减； 当，即，，即，单调递增. 故，符合题意； ii.当时，与无交点，且在恒成立，即 在恒成立， 故当，，即，单调递减； 当，，即，单调递增. 故，设，，故在单调递增，故， 即，值域不为，不合题意； iii.当时，则存在使得，成立，此时且， 当，，即，单调递减； ①若，则当，，即，单调递增； 当，，即，单调递减； 当，，即，单调递增. 此时、为极小值，由②可知此时，故在单调递减，故， 即，故此时； ②若，则当，，即，单调递增； 当，，即，单调递减； 当，，即，单调递增. 此时、为极小值，故此时. 综上，实数m取值范围为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：含指数、对数复杂函数的最值，一般通过导数法研究，当研究极值点时，一般设出极值点，最后通过极值点满足的方程求极（最）值. 32．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】[1，+∞） 【分析】参变分离后构造函数，求导后求解单调性和最值，求解参数的取值范围. 【详解】，其中， 分离参数为， 令，定义域为 有. 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 可得函数f（x）的递增区间为（0，m），递减区间为 ， 有， 可得：， 故实数a的取值范围为[1，+∞） 【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种常用方法，使用参变分离的题意，一是参变容易分离，二是分离后构造的新函数，求导后简单. 33．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围. 【详解】解：已知对于定义域内的任意恒成立， 即对于内的任意恒成立， 令，则只需在定义域内即可， ， ，当时取等号， 由可知，，当时取等号， ， 当有解时， 令，则， 在上单调递增， 又，， 使得， ， 则， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力. 四、解答题 34．已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间； （2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围. 【详解】（1）解：求导可得 ①时，令可得，由于知；令，得 ∴函数在上单调递减，在上单调递增； ②时，令可得；令，得或，由于知或； ∴函数在上单调递减，在上单调递增； ③时，，函数在上单调递增； ④时，令可得；令，得或，由于知或 ∴函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）时，，（不符合，舍去） 当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可 ∴. 综上，. 35．已知函数，且. （1）求的值；         （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值； （2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值. 【详解】解：（1）因为，所以， 因为, 所以, 解得 所以. （2）由（1）可知，则， 令，得, 和的变化情况如下表： 2 0 极小值 因为， 所以函数在上的最大值为, 所以，解得, 所以, 由上面可知在上单调递增，在上单调递减； 又因为， 所以函数在上的最小值为. 【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题. 36．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 37．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 38．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 39．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 40．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在 上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 41．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 42．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若在上的最大值为，求实数的值； (3)若，的图象上是否存在两点，，（其中），使得的斜率等于曲线在其上一点（点的横坐标等于中点的横坐标）处的切线的斜率，如果存在，求出、的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，  的单调递增区间为，单调递减区间是； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调区间； （2）根据（1）中函数的单调性，分情况讨论的取值，求出函数在上的最大值，进而求出的值； （3）先求出的表达式，再根据斜率公式和导数的几何意义列出等式，通过化简等式并结合已知条件判断是否存在满足条件的、两点. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，对于，，， 所以在上单调递增； 当时，令，因为， 所以，解得或（舍）， 当时，，，所以单调递增； 当时，，，所以单调递减； 因此，当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，  的单调递增区间为，单调递减区间是； （2）当时， 由（1）知在上单调递增，所以， 令，不满足，舍去. 当时，由（1）可知在单调递增，在单调递减. 若，即时，在上单调递增， ，令，不满足，舍去. 若，即时， 在上单调递增，在单调递减， ， 化简后得，即，解得， 满足，因此，实数的值为. （3）当时，，， 已知，，，中点的横坐标为， 则， ， 化简得， 进一步化简得，即， 令，则，即，整理得， 令，对求导得， 所以在上单调递增，， 即，所以不存在满足条件的、两点. 43．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 44．已知函数的最大值为0． (1)求实数的值. (2)若对恒成立，求k的取值范围. (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求函数最大值点，由最大值求实数的值； （2）问题转化为对恒成立，令，利用导数讨论函数的单调性和恒成立的条件，可求k的取值范围； （3）由（2）知，，可得，利用累加法结合对数式的运算证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，令，解得，（，否则单调递增，无最大值)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 最大值为， 由题意，得. （2）由（1）可知，，故， 不等式化简为， 即在上恒成立， 设，求导得， 令，求导得， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 所以，即，在上单调递增， ，符合题意； 当时，令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 又，则在上恒成立，即在上恒成立， 在上单调递减， 又，所以存在，使，与已知矛盾，不合题意. 综上，实数k的取值范围为. （3）证明：由（2）知，当时，在上恒成立， 所以， 即， 两边取对数得，， 令，得， ， 左边 即. 题型5 导数在解决实际问题中的应用 一、单选题 1．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【答案】B 【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意，且， ， 所以函数在，函数递增；在，函数递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故选：B 2．在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆柱的高，根据储液罐的表面积为，列出方程，表示出圆柱的高，进而表示出储液罐的体积求解. 【详解】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为，所以， 则由得，储液罐的体积为， 所以，所以函数在定义域上单调递增， 所以时，取最大值. 故选：C 3．现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出圆锥的底面半径，根据圆锥的几何特征找到与的关系，由此表示出圆锥容积关于的函数表达式，再利用导数即可求出容积的最大值. 【详解】设圆锥筒的底面半径为，容积为， 因为，．所以， 即，．因为， 令得：（舍负值）． 列表如下： 0 极大值 所以，当时，取极大值即最大值，则的最大值为， 故选B． 4．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定给定条件，确定正四棱柱体积最大时情况，再借助轴截面且正四棱柱底面边长表示其高，列出体积关系，进而求出最大值. 【详解】依题意，正四棱柱体积最大时，其上底面正方形外接圆是平行于圆锥底面的截面圆， 因此正四棱柱的下底面中心是圆锥的下底面圆心，作出过正四棱柱下底面对角线的圆锥的轴截面， 该轴截面截正四棱柱得其对角面，如图，设正四棱柱的底面边长为，则，    由，得，而，则，， 因此该正四棱柱体积，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，，所以正四棱柱体积最大值为. 故选：A 5．如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设圆柱的上、下底面圆心分别为，求得且，设圆柱的底面圆的半径为，高为，根据，得到，结合圆柱的体积公式，求得，令，利用导数求得函数的单调性和最大值点，即可求解. 【详解】如图所示，设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心， 因为正四面体的棱长为，可得， 在直角中，可得，且， 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由，可得，即，解得， 则圆柱的体积为，其中， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值. 故选：A. 6．已知三棱锥中，，则三棱锥体积的最大值为（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设，则，通过几何关系将体积表示为关于的函数，利用导数求出最值，得解. 【详解】因为，所以， 取的中点，连接，则， 设三棱锥的高为，，则， 故，， ， 令，， 则，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， ，当且仅当，且时取等号， 所以三棱锥体积的最大值为. 故选：B. 二、多选题 7．已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台母线与下底面所成的角为 C．存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D．过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 【答案】ACD 【分析】设，，，则圆台的高为，应用圆台体积公式求体积判断A；根据圆台的结构特征求母线与下底面所成角大小判断B；应用圆台内切球的轴截面相关几何性质判断C；设圆柱的半径为，高为，体积为，进而得到关于a的表达式，应用导数求体积最小值判断D. 【详解】设，，，则圆台的高为， 对于A，，正确； 对于B，设母线与底面所成角为，则，所以，错误； 对于C，设梯形为圆台的轴截面， 圆台上、下底面圆心分别为，，则，与球心共线． 若存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切， 如图所示，圆为梯形的内切圆，为圆与的切点， 由圆的切线性质可得，，即， 因为成立，所以，存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切，正确； 对于D，若剩下的几何体体积最小，则圆柱的体积最大， 设圆柱的半径为，高为，体积为， 可知，， ， 当时，，当时，， 所以，当时， 所以剩下几何体的体积最小值为，正确． 故选：ACD 三、填空题 8．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径 厘米. 【答案】3 【分析】由题意得到条件等式，进而可得关于的表达式，由导数即可求得极值点. 【详解】设圆柱高为，表面积为，体积为，则， 所以，从而， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当该圆柱的底面半径时，表面积最小， 故答案为：3. 9．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时， 【答案】3 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设，则，得， 则. 设函数， 则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 故答案为：3 10．在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，设出梯形的上底，求出该梯形面积的函数关系，利用导数求出最大值即可. 【详解】依题意，该梯形为等腰梯形，设其上底长为，则该梯形的高， 梯形面积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时梯形面积取得最大值，梯形的上底长为. 故答案为： 11．如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为，则圆台侧面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】根据条件先求解出球的半径，然后将圆台的侧面积表示为关于圆台上底面半径的函数，利用导数思想可求解出侧面积的最大值. 【详解】设半球的半径为，所以，解得．    设圆台的上底面半径为，高为，母线为，则，， 圆台的侧面积，， 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有最大值，此时侧面积的最大值为． 故答案为：. $ 寻“导”之旅5.函数的最大（小）值（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 函数的最值与极值的关系 题型2 求不含参函数的最值问题 题型3 求含参函数的最值问题 题型4 由函数的最值求参数问题 题型5 导数在解决实际问题中的应用 解题策略 知识点1 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反映的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 解题策略1 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略2含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略3求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略4由函数的最值求参数问题 1、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 2、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 3、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 注：（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 考点精析 题型1 函数的最值与极值的关系 一、单选题 1．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 3．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，以下结论中错误的是（    ） A．是偶函数 B．有无数个零点 C．的最小值为 D．的最大值为 5．已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数有极小值也有最小值 B．函数存在两个不同的零点 C．当时，恰有三个实根 D．若时，，则的最小值为2 6．设函数，则（    ） A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，但无最小值 C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则 7．已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．对函数(，且)的极值和最值情况进行判断，一定有（    ） A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值 C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值 二、多选题 9．已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 10．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 11．已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．在上有两个极值点 B．在处取得最小值 C．在处取得极小值 D．函数在上有三个不同的零点 13．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间和上，函数均是减函数 B．为函数的零点 C．为函数的极小值点 D．为函数的最大值 14．已知且，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．对于函数 （1）是的单调递减区间； （2）是的极小值，是的极大值； （3）有最大值，没有最小值； （4）没有最大值，也没有最小值. 其中判断正确的是 . 16．已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ． 四、解答题 17．已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间既有最大值又有最小值，求a的取值范围. 18．已知函数，其中是自然数的底数，． （1）当时，解不等式； （2）若，试判断在上是否有最大或最小值，说明你的理由． 19．已知函数， (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的值. 20．已知函数，. （1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围； （2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）. 21．已知函数，． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，，都有成立． 22．已知曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且，证明：对任意的，． 题型2 求不含参函数的最值问题 一、单选题 1．函数在区间的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 6．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．e D． 7．已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 （   ） A．16 B． C．36 D． 10．设正数、、满足，，则以下大小关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 14．已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D． 15．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．有且仅有一个零点，且该零点为 16．设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 17．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 18．若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 19．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．曲线在处的切线方程是 20．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增，在上单调递减 B． C．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 D．当时，若方程有且只有一个根，则或 21．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设，至少有三个整数解，则 22．已知，则（   ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．有最小值 三、填空题 23．已知函数，则的最小值为 ． 24．已知函数，则函数的值域为 ． 25．函数的最小值为 ． 26．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 27．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 28．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为 . 29．已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为 . 四、解答题 30．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 31．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 32．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 33．已知.当，求实数的取值范围 34．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 35．已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 题型3 求含参函数的最值问题 一、单选题 1．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 3．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若且的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极小值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 9．已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若曲线与相切于点，则， B．若，，则曲线与相切 C．若，则恒成立 D．若，且的最小值为0，则 10．已知函数，的图像分别与直线交于A，B两点，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 11．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是增函数 D．若，则 12．设函数，则（    ） A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点 C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则 13．已知三次函数，则（   ） A． B．若有三个不同的实数根，则 C．若，则 D．若有三个不同的正实数根，则的取值范围是 14．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线与直线相切 B．存在不同时为0的实数a，b，使得恒成立 C．存在实数a，b且，使得既有极大值又有极小值 D．若且恒成立，则 三、填空题 15．已知函数，若，则 ，若在其定义域的一个子区间内存在最小值，则实数k的取值范围是 ． 16．已知函数，当时的最大值为3，最小值为－6，则＝ . 17．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 18．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 19．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 20．已知函数的最小值为0，则 . 21．已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为 22．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 . 23．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 24．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为 ． 25．已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为 ． 26．若时，，则实数的最大值为 . 四、解答题 27．设 (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值． 28．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 29．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 30．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若，求的最大值． 31．已知. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 32．设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 33．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 题型4 由函数的最值求参数问题 一、单选题 1．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 3．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 9．已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 11．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．曲线在处的切线为，且满足，，若，则整数m的最小值为（   ） （参考数据：当时，方程的解为） A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 15．已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 16．已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 17．若函数在上有最小值，则实数a的值可能是（    ）. A． B． C．0 D．1 18．已知函数，则下列正确的选项有（    ） A．是函数的极小值点 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D．关于的不等式的解集为 19．已知函数，则（   ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D．已知函数无最小值，则a的取值范围是 20．已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 三、填空题 21．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 22．若函数，且在区间上的最大值为6，则a的一个取值为 . 23．已知函数的最小值为0，则实数a的值为 ． 24．已知函数在上的最大值为2，则 ． 25．若曲线在处有最值，则实数的值为     26．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 27．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 28．在上对任意都存在使，则实数的取值范围是 ． 29．已知实数，函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是 ． 30．已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是 ． 31．已知函数的值域为，则实数m取值范围为 ． 32．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 33．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题 34．已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围. 35．已知函数，且. （1）求的值；         （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值. 36．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 37．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 38．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 39．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 40．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 41．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 42．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若在上的最大值为，求实数的值； (3)若，的图象上是否存在两点，，（其中），使得的斜率等于曲线在其上一点（点的横坐标等于中点的横坐标）处的切线的斜率，如果存在，求出、的坐标；如果不存在，请说明理由. 43．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 44．已知函数的最大值为0． (1)求实数的值. (2)若对恒成立，求k的取值范围. (3)证明： 题型5 导数在解决实际问题中的应用 一、单选题 1．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 2．在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 3．现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 6．已知三棱锥中，，则三棱锥体积的最大值为（　　） A． B． C． D．4 二、多选题 7．已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台母线与下底面所成的角为 C．存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D．过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 三、填空题 8．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径 厘米. 9．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时， 10．在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为 ． 11．如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为，则圆台侧面积的最大值为 ．    $