广东省惠州光正实验学校2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试题2

2025-2026学年惠州光正高二上学期期末数学模拟试题2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知等差数列的前项和为，满足，则(    ) A. B. C. D. 3.若椭圆的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 4.是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是(    ) A. B. C. D. 6.正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 7.已知双曲线：，若抛物线为双曲线半焦距的准线被双曲线截得的弦长为为双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知点和圆，下列说法正确的是(    ) A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 10.如图，在三棱柱中，，分别是上的点，若，则(    ) A. B. C. D. 11.设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则(    ) A. B. 以为直径的圆与轴相切 C. D. 三角形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列的公比为，记其前项和为，则           ． 13.直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为          ． 14.椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等差数列的公差，且成等比数列． 求数列的通项公式； 记数列的前项和为，求数列的前项和． 16.本小题分 四边形的四个顶点坐标分别为． 求边的垂直平分线的方程； 若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且． 求证：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知数列的首项，且满足． 求证：数列为等差数列； 求数列的通项公式； 若，求满足条件的最大整数． 19.本小题分 椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点． 求椭圆的方程； 设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点． 若点不共线，求三角形的面积的最大值； 若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 2025-2026学年惠州光正高二上学期期末数学模拟试题2答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直线经过两点和，所以该直线的斜率为， 则该直线的倾斜角满足，因为，所以． 2.【答案】  【解析】解：由等差数列的性质得，则，所以． 3.【答案】  【解析】解：因为，所以，所以． 4.【答案】  【解析】解：因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 所以，所以，所以． 5.【答案】 【解析】解：因为点和点， 所以线段的中点 ， ， 故以为直径的圆的标准方程为． 6.【答案】  【解析】解：因为正方体的棱长为为的中点， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离． 7.【答案】  解：抛物线的准线：，它正好经过双曲线：的下焦点，  准线被双曲线截得的弦长为， ， 即，  ， ，双曲线的渐近线方程为． 8.【答案】  【解析】解：由，，可得，， 则，当且仅当时，取得等号． 9.【答案】  【解析】解：因为圆：的圆心，半径为，选项 A正确； 因为，，所以， 所以点在圆外，所以过点且与圆相切的直线有条，选项B正确，选项C错误； 设点是圆上任意一点， 则的最小值为，选项 D正确． 10.【答案】  【解析】解：在三棱柱中，设，，， 因为， ，， 所以，． 对于选项，因为， ， 所以， 所以与不垂直，即 B错误； 因为，所以， ，， 所以，故 A正确； 对于选项，因为，， 所以， ， 所以，故 C错误； 对于选项， ， 所以，故 D正确． 11.【答案】  【解析】解：选项：因为抛物线的焦点为，所以，所以选项正确； 则抛物线的方程为设． 选项：因为，因为，所以的中点为， 所以点到轴的距离为， 因为直径，所以半径，所以 所以以为直径的圆与轴相切，选项正确． 选项：由消去，并化简得，所以， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，选项正确． 选项：直线，即， 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为，选项错误． 12.【答案】  【解析】解：因为等比数列的公比为，首项， 所以． 13.【答案】或  【解析】解：将圆的方程化为，所以圆心，半径为，因为直线，所以弦心距，因为弦长为，所以，即，解得或． 14.【答案】  【解析】解：因为椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点， 且最小值为，所以， 所以当且仅当时等号成立， 所以，解得， 所以，所以， 15.【答案】解：等差数列中，成等比数列， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 故答案为：． 16.【答案】解：因为， 所以边的中点为， 又因为边的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为， 即； 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点． 因为边的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为．   17.【答案】解：证明：因为，， 所以， 因为底面，底面， 所以， 因为平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为底面，， 所以分别以所在直线为轴，轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，，，， 所以，， 因为点在上，且， 所以， 所以， 设为平面的一个法向量， 则，，即，， ， 令，则，， ， 设直线与平面所成的角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为．   【解析】详细答案和解析过程见【答案】 18.【答案】解：证明：因为数列满足， 所以，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列； 由可知数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为； 因为，所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以 ， 若，即，解得， 因为是整数， 所以满足的最大整数的值为．   【解析】详细答案和解析过程见【答案】 19.【答案】解：因为椭圆：的一个焦点为， 所以另一个焦点坐标为，且椭圆经过点． 所以， 所以， 所以， 故椭圆的方程为． 椭圆的右顶点， 设，． 三角形的面积为， 因为， 所以 三角形的面积的最大值为． 当直线的斜率不存在时，，不符合题意； 故可设直线的方程为， 联立，得， 且满足． ，， ， ， ， ， ， ， 或． 易知，当时，，此时直线过右顶点，不符合题意． 当时，直线的方程为，过定点，与右顶点重合，不符合题意． 当时，代入，解得 此时直线方程为，过定点． 故直线过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $