山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷6

山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第一册（第一至第三章）、选择性必修第二册（第四章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 2.已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3.已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程 为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 7．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 8．已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．2048不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前n项和等于 10．已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 11．已知点分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的有（  ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 13．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 16（15分）．记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 17（15分）．已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的 弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 18（17分）．如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 19（17分）．已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第一册（第一至第三章）、选择性必修第二册（第四章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的判定列方程求参数值. 【详解】由得，可得. 故选：C 2．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 3.已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程 为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据弦长公式和点到直线的距离公式判断直线方程即可. 【详解】设半径为，圆心到直线的距离为， 则，当时，， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，则, 当时，，所以满足使得. 当直线斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离，也满足弦长. 所以当时，直线的方程可能为或 故“”是“直线l的方程为”的必要不充分条件. 故选：B. 4．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 故. 故选：B 5．已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以， 解得，故双曲线的方程为，所以，渐近线方程为． 故选：A 6．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 7．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 设，，则， 则，， 则 ， 设直线与直线所成角为， 则， 当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 8．已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得，解得. 当时，；当时，，所以. . 所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．2048不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前n项和等于 【答案】BCD 【分析】已知数列满足，求得通项，选项A：利用通项公式与等比数列定义验证2048是否在数列中；选项B：利用对数运算与等差数列定义判断的等差性；选项C：利用数列差与等比数列定义判断的等比性；选项D：利用等比数列求和公式结合计算前项和是否等于. 【详解】由，当 时，得，即 ； 当 时，得； 所以，化简得到； 所以是首项为1、公比为 2 的等比数列，通项为； 令，即 ，所以2048 是数列的第 12 项，故A错误； ，这是首项为 0、公差为的等差数列，故B正确； 是首项为1、公比为 2 的等比数列，故C正确； ，可知是首项为 1、公比为 4 的等比数列， 其前n项和为，而， 因此，故D正确. 故选：BCD. 10．已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 【答案】BCD 【分析】根据圆的一般式计算圆心坐标和半径，直线的方向向量判断向量共线，直线与圆相切求解参数，直线与圆的位置关系计算相交弦的长度，即可判断各个选项； 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，A错误； 对于B，直线的方向向量为和共线，B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，C正确； 对于D，当时，，即， 计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心， 此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确； 故选：BCD. 11．已知点分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的有（  ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABD 【分析】对A，由双曲线方程求出渐近线比较判断；对B，由双曲线定义求出焦点三角形各边长判断；对C，由双曲线定义及勾股定理求出直角边长计算判断；对D，根据直线斜率与渐近线斜率关系求解判断. 【详解】对于A，双曲线，则， 故渐近线方程为，即， 双曲线，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由题意得，， 由双曲线的定义得，，， 故的周长为，B正确； 对于C，不妨设点在右支上， 设，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，C错误； 对于D，若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间， 即，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和，当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 13．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可. 【详解】由题意知：直线过定点 ，    曲线是以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, 所以点D的位置向量, 直线PC的单位方向向量 设点D到直线的距离为， 则， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 16（15分）．记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【分析】（1）通过，当时，两式相减得出，进行适当变形即可证明； （2）由（1）得出的通项公式，进一步得出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）因为，① 所以当时，，② ①②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是公比为，首项为的等比数列. （2）由（1）数列是公比为，首项为的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以 ，所以， 所以数列的前项和为： ，③ ，④ ③减④得： 所以 . 17（15分）．已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的 弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 【分析】（1）设圆心坐标为，其中，利用勾股定理定理求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心坐标，进而可得出圆的标准方程； （2）由已知得出，利用三角形的面积公式可求出点到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）根据题意，不妨设圆心坐标为，其中， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 因为，解得，故圆心为，故圆的标准方程为. （2）因为过圆心的直线与圆交于、两点，则， 设点到直线的距离为，则，解得， 若直线的斜率不存在，此时直线的方程为，则原点到直线的距离为，符合题意，    若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18（17分）．如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【分析】（1）直接根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得； （2）由（1）知平面，所以将线面距离转化为到平面的距离，再用向量的方法计算可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【详解】（1）法1：取中点，连接，，如图：      由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且，则有，， 故四边形是平行四边形，故，又平面，平面， 故平面. 法2：以为原点，分别以直线，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图：    则有，，，，，，，, 则有，，，, 设平面的法向量为，则有， 取，则有，，即平面的一个法向量， ,, 又 （2）由（1）知平面，故直线到平面的距离等于点到平面的距离. 点的位置向量,由（1）中解法2知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离 , 即直线到平面的距离为. （3）设平面的法向量为，则有， 取，则有，，故，平面的法向量， 所以， 故平面与平面的夹角余弦值为. 19（17分）．已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 【分析】（1）根据题意得到的值即可； （2）根据题意，设直线方程为，，联立得到，结合，进而得到，则直线过定点，再由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求解； （3）由（2）得，则，再令，结合基本不等式求最值即可． 【详解】（1）椭圆上顶点，离心率为， ，又， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）当轴时，不可能垂直，故可设直线方程为，设，， 由，得， 方程的判别式， ， 所以， 又因为，所以 即，即：， 所以 代入可得， 整理得：，解得（舍）或， 所以直线的方程为，令，得， 所以直线过定点， ，为直角三角形， 当为中点时，即时，， 所以，存在定点，即时，的长度为定值； （3）由（2）知， 所以面积 ， 令，所以代入可得： ， 此时，所以面积的最大值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $