精品解析：北京市延庆区第一中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题

延庆一中2025-2026学年高二年级12月质量检测试卷 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集且，集合，则真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 5. “”是“直线的倾斜角大于”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 7. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 若直线与双曲线相交，则的取值范围是 A. B. C. D. 10. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“M点”，那么下列结论中正确的是（ ） A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“M点” C. 直线上的所有点都不是“M点” D. 直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 抛物线的焦点坐标是______；准线方程______ 12. 双曲线的一条渐近线方程可以为_________. 13. 设不同的直线，，若，则_____. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 15. 如图，在正方体中，点是对角线上一个动点，在点从顶点移动到顶点的过程中，下列结论中正确的序号有_____. ①二面角的取值范围是； ②直线与平面所成的角逐渐增大； ③存在一个位置，使得平面； ④存在一个位置，使得平面平面. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 17. 求下列曲线的标准方程. （1）圆心在直线上，且过点和点的圆； （2）经过点，的椭圆； （3）与双曲线共焦点，且过点的双曲线； （4）顶点在原点，焦点在直线的抛物线. 18. 已知圆，直线. （1）若，求直线被圆所截得的弦长； （2）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （3）若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 19. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程及短轴长； （2）设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； （3）若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 20. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上任意一点，已知一点，求的最小值及此时点的坐标； （3）过的直线交曲线于两点，且的倾斜角为，求及的面积. 21. 人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆一中2025-2026学年高二年级12月质量检测试卷 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模及除法运算计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 设全集且，集合，则真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 4. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 5. “”是“直线的倾斜角大于”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式方程形式求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系、正切函数的单调性、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为. 当时，则有，所以该直线倾斜角大于. 当该直线倾斜角大于时，即， 当时，，即， 当时，， 所以由直线倾斜角大于，不一定能推出， 所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分不必要条件. 故选：A 6. 设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义结合共轭复数的概念即可得解. 【详解】设，则， 由得，即在复平面内对应的点的轨迹为圆. 故选：B. 7. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得双曲线渐近线方程，根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即， 因为渐近线与圆相切， 所以圆心（0,2）到直线的距离，解得， 所以或（舍）. 故选：B 8. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找到平面的垂线BE，则就是直线与面所成的角，再解直角三角形即可. 【详解】如图，设点E为线段的中点，连接. 因为在长方体中，平面， 所以平面，平面，得. 又，且E为线段BC的中点，所以，且平面， 所以平面，故就是直线与面所成的角. 在直角三角形中，，， 所以.故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 9. 若直线与双曲线相交，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围. 【详解】联立直线和双曲线的方程得 当，即时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点. 当，即时，， 解之得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“M点”，那么下列结论中正确的是（ ） A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“M点” C. 直线上的所有点都不是“M点” D. 直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断直线与抛物线的位置关系，确定三点的位置关系，利用共线向量表示出两点的坐标，再根据两点都在抛物线上可联立方程组根据方程是否有根确定点是否存在，即可得出结果. 【详解】由题意可知，将直线和抛物线联立消去整理得， ； 此时该方程，即该方程无解； 可得直线和抛物线无交点， 过的直线交抛物线于两点，由几何关系可知，在点的同侧，如下图所示： 不妨设， 由可得，即； 所以， 又因为在抛物线上，所以 消去并整理得 此时关于的一元二次方程恒成立， 即恒有解， 也就是对于直线上任意一点，过的直线与抛物线交于两点，都有，所以A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题以新定义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，关键是将点在直线和抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题，注意等价转化方能找到题眼求解. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 抛物线的焦点坐标是______；准线方程______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则抛物线的焦点在轴上，且，即， 所以抛物线焦点坐标为，准线方程为, 故答案为：；. 12. 双曲线的一条渐近线方程可以为_________. 【答案】.（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的求法计算即可. 【详解】由可得双曲线的标准方程：， 令，可得即为双曲线的两条渐近线方程. 故答案为：.（或，答案不唯一） 13. 设不同的直线，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】直线，， 若，则有，解得. 当时，，，两直线是不同的直线，满足题意. 故答案为：. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 15. 如图，在正方体中，点是对角线上一个动点，在点从顶点移动到顶点的过程中，下列结论中正确的序号有_____. ①二面角的取值范围是； ②直线与平面所成的角逐渐增大； ③存在一个位置，使得平面； ④存在一个位置，使得平面平面. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】点由点移动到中点的过程中，二面角逐渐由减小至，再由对称性即可判断结论①；找特殊点，令点分别与点和点重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断结论②；当点为平面与直线的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断结论③④． 【详解】对于结论①，当与重合时，二面角为， 点由点移动到中点的过程中，二面角逐渐减小至， 由对称性可知，当由中点移动到点的过程中，二面角由逐渐增大至，即结论①正确； 对于结论②，不妨设正方体棱长为2， 当点与重合时，即为所求，此时有， 当与重合时，连接相交于点，则锐角即为所求， 在中，， 由余弦定理， 此时有， 所以，即直线与平面所成的角并不是逐渐增大，所以结论②错误； 对于结论③，当点为平面与直线的交点时，连接，则， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以． 同理可得，． 因为，平面，所以平面，即结论③正确； 对于结论④，当点为平面与直线的交点时， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，平面， 所以平面平面，即结论④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 取中点，连接，如下图： 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 且，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先找所在的平面平行于平面，得到面面平行后再证明线面平行即可； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，再求两个平面的法向量后即可求两个平面所成角的大小； （3）用空间中点到平面距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 由题得：，如下图： 设平面的法向量为，，，则有，即，令，则； 平面的法向量为， 则两平面夹角满足，所以， 故平面与平面所成角为. 【小问3详解】 由题得，点到平面的距离为. 故点到平面的距离为. 17. 求下列曲线的标准方程. （1）圆心在直线上，且过点和点的圆； （2）经过点，的椭圆； （3）与双曲线共焦点，且过点的双曲线； （4）顶点在原点，焦点在直线的抛物线. 【答案】（1） （2） （3） （4），或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； （3）根据焦点的坐标公式，结合代入法进行求解即可； （4）根据抛物线标准方程的特征分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆的圆心在直线上，且过点和点， 所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆的方程为， 因为椭圆经过点，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 因为双曲线与双曲线共焦点， 所以双曲线的半焦距为，且焦点在横轴上， 所以设双曲线的标准方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 【小问4详解】 在中，令，得， 令，得. 所以抛物线的焦点为，或. 当抛物线的焦点为时， 因为顶点在原点，焦点在纵轴负半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 所以，因此抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点为时， 因为顶点在原点，焦点在横轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 所以，因此抛物线的标准方程为， 综上所述：抛物线的标准方程为，或. 18. 已知圆，直线. （1）若，求直线被圆所截得的弦长； （2）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （3）若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【小问1详解】 由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. 【小问2详解】 由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 19. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程及短轴长； （2）设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； （3）若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）， （3）直线与直线斜率乘积为定值 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和离心率公式列出方程求解即可；（2）根据椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式即可求得；（3）根据题意设出点的坐标代入椭圆的方程，结合两点的斜率公式代入化简即可. 【小问1详解】 依题意，，离心率，解得，所以； 所以椭圆的标准方程为，短轴长为； 【小问2详解】 设，则， 在中，由余弦定理得， 所以，所以； 又，解得， 所以的面积为； 又，解得； 综上，的面积为；点纵坐标为； 【小问3详解】 依题意，设，则， 又，所以直线的斜率为，直线的斜率为； 又在椭圆上，所以， 两式作差得，所以； 所以，即直线与直线斜率乘积为定值. 20. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上任意一点，已知一点，求的最小值及此时点的坐标； （3）过的直线交曲线于两点，且的倾斜角为，求及的面积. 【答案】（1） （2）的最小值为； （3），的面积为 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式与两点间的距离公式列出方程化简即可求得；（2）结合抛物线的定义和图象，根据点到直线的距离最短即可求得最小值，利用三点共线且平行于横轴即可求得点的坐标；（3）联立直线与抛物线的方程，根据根与系数的关系和弦长公式即可求得弦长，再利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为点到直线的距离比到点的距离大，所以； 当时，，化简得，不符合题意； 当时，，化简得；所以曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，曲线，焦点为，准线方程为； 如图，过点作准线的垂线交准线于，则； 由图可知，当三点共线时，即在图中的位置时，的最小； 即，即的最小值为；此时，，所以，即； 【小问3详解】 设，由（1）知，，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为； 由，得，所以，； 所以； 因为直线的方程为，即，所以到直线的距离为； 所以的面积为； 综上，，的面积为. 21. 人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. 【小问2详解】 设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为. 【小问3详解】 设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $