北京市延庆区第一中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题

延庆一中2025-2026学年高二年级12月质量检测试卷 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集且，集合，则真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 5. “”是“直线的倾斜角大于”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 7. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 若直线与双曲线相交，则的取值范围是 A. B. C. D. 10. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“M点”，那么下列结论中正确的是（ ） A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“M点” C. 直线上的所有点都不是“M点” D. 直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 抛物线的焦点坐标是______；准线方程______ 12. 双曲线的一条渐近线方程可以为_________. 13. 设不同的直线，，若，则_____. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 15. 如图，在正方体中，点是对角线上一个动点，在点从顶点移动到顶点的过程中，下列结论中正确的序号有_____. ①二面角的取值范围是； ②直线与平面所成的角逐渐增大； ③存在一个位置，使得平面； ④存在一个位置，使得平面平面. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 17. 求下列曲线的标准方程. （1）圆心在直线上，且过点和点的圆； （2）经过点，的椭圆； （3）与双曲线共焦点，且过点的双曲线； （4）顶点在原点，焦点在直线的抛物线. 18. 已知圆，直线. （1）若，求直线被圆所截得的弦长； （2）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （3）若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 19. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程及短轴长； （2）设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； （3）若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 20. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上任意一点，已知一点，求的最小值及此时点的坐标； （3）过的直线交曲线于两点，且的倾斜角为，求及的面积. 21. 人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 延庆一中2025-2026学年高二年级12月质量检测试卷 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 【12题答案】 【答案】.（或，答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（共6小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1） 取中点，连接，如下图： 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 且，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）； （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4），或 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）直线与直线斜率乘积为定值 【20题答案】 【答案】（1） （2）的最小值为； （3），的面积为 【21题答案】 【答案】（1），， （2） （3）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $