精品解析：河北省承德市丰宁县2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

2025～2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试题 注意事项 1．本试题的题签共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前考生请将试题密封线左侧的项目填写清楚． 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案涂在答题卡上） 1. 下列四个图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 3，4，3 C. 2，3，6 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，根据此关系逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故该选项不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故该选项符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故该选项不符合题意； D、 ，不满足三角形三边关系，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小数，解题的关键是掌握科学记数法的形式（为负整数）及的确定方法． 将小数转换为科学记数法时，需确保数值部分满足，并通过移动小数点确定指数． 【详解】， 故选C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，整式的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则，单项式除以单项式运算法则，以及合并同类项运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 6. 若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（　　） A 40 B. 44 C. 48 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】将a2＋4ab＋b2化成已知式形式即可解答. 【详解】解：a2＋4ab＋b2＝（a＋b）2＋2ab＝36＋8＝44. 故选B. 【点睛】本题考查完全平方式变式，掌握完全平方式是解题关键. 7. 若式子的值等于0，则x的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分式的值为0需分子为0且分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵式子的值等于0， ∴， ∴ ∴或， 把代入，得，符合题意； 把代入，得，不符合题意； ∴． 故选：D． 8. 已知中，于点D，．若，则的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线判定，三角形内角和性质，等边对等角．由，得是的垂直平分线，从而，为等腰三角形，再结合，利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则点D为的中点，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴点D为的中点． ∴为斜边上的中线， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知单项式，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，大正方形与小正方形的面积差为24，则阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可知，再确定阴影部分的面积，即可获得答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，可得， 则阴影部分的面积． 故选：B． 12. 如图，在面积为6等腰中，，垂直平分，D为的中点，E为上一动点．若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，连接，交于点P，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点P，连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段 ， ∵等腰中，点D为的中点，，， ∴，， ∴， 即， 解得， ∴最小值为3， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共12分．请把答案直接填写在答题卡中相应题号后面的横线上） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，先化简运算零次幂，负整数指数幂，再运算减法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为 _________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，平分，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质等知识，首先根据三角形内角和定理和角平分线的定义确定为直角三角形，且，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：4． 16. 甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式， 根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， 甲船的速度为， 则乙船的速度为：， ∴乙船航行的路程为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先进行积的乘方运算、单项式除以单项式运算，再进行单项式乘以单项式运算，然后合并同类项即可； （2）首先根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． 【小问2详解】 解：． ， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，首先进行括号内的运算，并将的分子、分母分别进行因式分解，进而约分即可完成化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：原式 , 当时，原式． 20. 下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 （1）第三步到第四步运用了因式分解中的（ ） A．提取公因式 B．两数的平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【答案】（1）A （2）见解析 【解析】 【分析】‘ 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据提公因式法判断即可； （2）根据平方差公式和提公因式法计算即可； 【小问1详解】 解：利用了提公因式法； 故选． 【小问2详解】 解：有其他解法，解法如下： 原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，已知．解答下列问题： （1）在所给坐标系中画出，则的面积是 ； （2）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）在x轴上找一点，使最小，请标出点P的位置并直接写出点P的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． ()在坐标系中描出已知，即可画出，再利用割补法求面积； ()根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； ()作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点 【小问1详解】 解：如图：在坐标系中画出， 【小问2详解】 解：关于轴对称的点的坐标规律：横坐标取反，纵坐标不变， 关于轴对称的点的坐标； 关于轴对称的点的坐标； 关于轴对称的点的坐标 ； 连接，即得所求三角形， 如图，即为所求： 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点； 连接，与轴的交点即为所求点， 设直线解析式为，代入， 得：， 解得：， 即直线解析式为 令，得， 故， 如图，点P即为所求，由图可知：． 22. 为了深入开展“五育并举，书法进校园”，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔字帖和毛笔字帖作为奖品发给在比赛活动中获奖的学生，下表是购买的相关信息： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：1.2x元/本 购买数量： 本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量： 本． （1）请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； （2）已知购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本，求钢笔字帖和毛笔字帖的单价分别是多少元？ （3）如果学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖共80本，求最多购买钢笔字帖多少本？ 【答案】（1）见解析 （2）毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元 （3）该校最多购买钢笔字帖30本 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、分式方程的应用一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）根据数量等于钱数除以单价列代数式即可； （2）根据购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本列方程求解即可； （3）设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，根据学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：补全表中的购买数量如下： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：元/本 购买数量：本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量：本． 【小问2详解】 解：由题意得，． 解得． 经检验，为原方程的解， 所以原方程的解为． 所以． 答：毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元． 【小问3详解】 解：设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，由题意可得， ， 解得． 答：该校最多购买钢笔字帖30本． 23. 某校八年级的数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们先通过一定的计算来发现规律： ； ； ； …… 于是该小组猜想：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的位数字与比它大的自然数的乘积，再在末尾接着写上25． （1）分别写出和两处省略的具体内容； （2）请你尝试直接写出计算的最终结果为 ； （3）下面是小组的成员用所学的两数和的平方公式对上述猜想做出科学合理的解释． 证明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是n（n是1到9的正整数）则这个两位数可以表示为 （用含n的代数式表示）；【以下的证明过程缺失】请补全缺失的证明过程； （4）通过（3）中的证明，还可以说明对于个位数字是5的三位数、四位数等，这个速算规律同样适用．请应用得出的规律计算： ． 【答案】（1）①十，②1 （2）4225 （3），证明见解析 （4）38025 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式等知识，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据示例得出规律解答即可； （2）根据（1）中的规律解答即可； （3）根据（1）中的规律进行证明即可； （４）根据（1）中的规律解答即可． 【小问1详解】 解：观察例子： ：十位数字是1，乘以比它大1的数2，，末尾写； ：十位数字是2，乘以比它大1的数3，，末尾写； 所以规律是：先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾写上25． 故答案为：十；1； 【小问2详解】 解：根据规律： ：十位数字是6，乘以比它大1的数7，，末尾写 即， 故答案为：4225； 【小问3详解】 解：设这个两位数的十位数字为n，则这个两位数可以表示为：． 证明： 这正好对应“十位数字n与的乘积乘以100，再加上25”的速算规律． 【小问4详解】 解：把19看作“十位数字”，乘以比它大1的数20，，末尾写25 ，则可得： ， 故答案为：38025． 24. 如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； （3）直接写出当是等腰三角形时，的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）直角三角形，理由见解析； （3）当或或时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）由，则，，根据等边三角形性质可得，所以，则，从而可得，然后通过等边三角形的判定即可求证； （）由（）得是等边三角形，则，由全等三角形性质可得，则，然后通过直角三角形的判定即可求解； （）先求出，，，然后分为当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下， 由（）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时 ，， ∴， 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形定义，三角形内角和定理，直角三角形判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试题 注意事项 1．本试题的题签共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前考生请将试题密封线左侧的项目填写清楚． 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案涂在答题卡上） 1. 下列四个图形是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 3，4，3 C. 2，3，6 D. 3，4，8 3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 6. 若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（　　） A. 40 B. 44 C. 48 D. 52 7. 若式子的值等于0，则x的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知中，于点D，．若，则的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知单项式，满足，则等于（ ） A B. C. D. 11. 如图，大正方形与小正方形的面积差为24，则阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 9 D. 6 12. 如图，在面积为6的等腰中，，垂直平分，D为的中点，E为上一动点．若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（每小题3分，共12分．请把答案直接填写在答题卡中相应题号后面的横线上） 13. 计算：_______． 14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为 _________． 15. 如图，平分，，则__________． 16. 甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为___． 三．解答题（本大题共8个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接和，直接写出和之间的数量关系． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 （1）第三步到第四步运用了因式分解中的（ ） A．提取公因式 B．两数的平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，已知．解答下列问题： （1）在所给坐标系中画出，则的面积是 ； （2）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）在x轴上找一点，使最小，请标出点P的位置并直接写出点P的坐标． 22. 为了深入开展“五育并举，书法进校园”，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔字帖和毛笔字帖作为奖品发给在比赛活动中获奖的学生，下表是购买的相关信息： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：1.2x元/本 购买数量： 本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量： 本． （1）请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； （2）已知购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本，求钢笔字帖和毛笔字帖的单价分别是多少元？ （3）如果学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖共80本，求最多购买钢笔字帖多少本？ 23. 某校八年级的数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们先通过一定的计算来发现规律： ； ； ； …… 于是该小组猜想：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的位数字与比它大的自然数的乘积，再在末尾接着写上25． （1）分别写出和两处省略具体内容； （2）请你尝试直接写出计算的最终结果为 ； （3）下面是小组成员用所学的两数和的平方公式对上述猜想做出科学合理的解释． 证明：设一个两位数个位数字是5，十位数字是n（n是1到9的正整数）则这个两位数可以表示为 （用含n的代数式表示）；【以下的证明过程缺失】请补全缺失的证明过程； （4）通过（3）中的证明，还可以说明对于个位数字是5的三位数、四位数等，这个速算规律同样适用．请应用得出的规律计算： ． 24. 如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； （3）直接写出当是等腰三角形时，的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $