精品解析：河南省新乡市第十中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

新乡市2025—2026学年上期期末考试 初三年级数学学科试题 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 某运动员跳高成绩为120米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. ． 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（     ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的直线平分这条直径 D. 弦的垂直平分线经过圆心 8. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 9. 如图所示，二次函数 （，， 为常数，）的图象与 轴交于点 ，． 则以下结论错误的是 （ ） A. B. C. 若点 和 均在抛物线上，则 D. 若点 在二次函数的图象上，则 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______ 11. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 12. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C在x轴上，，则________． 13. 如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接和，点、、三点在一条直线上，与交于点．给出下面四个结论：①是等边三角形；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（共75分） 15. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 16. 双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 17. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 18. 如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． （1）求证：与相切； （2）若的半径为，求正方形的边长． 19. 在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 20. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 21. 已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 22. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市2025—2026学年上期期末考试 初三年级数学学科试题 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、旋转后能与原图形重合(中心对称)，但无对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、沿多条直线折叠能重合(轴对称)绕中心旋转也能重合(中心对称)，符合题意； 答案：D． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 某运动员跳高成绩为120米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，不可能事件是指一定条件下一定不会发生的事件，准确分析是解题的关键． 分析各选项，选项跳高米超出物理极限，不可能发生；、为随机事件；为必然事件． 【详解】不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； 选项：跳高120米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； 选项：投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； 选项：正方形一定是轴对称图形，是必然事件； 选项：射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选：． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】一元二次方程中的， 则其根的判别式为， 因此，方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度， 得到， 再向下平移3个单位长度， 得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解本题的关键． 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ． 故选：C． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的直线平分这条直径 D. 弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 8. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 9. 如图所示，二次函数 （，， 为常数，）的图象与 轴交于点 ，． 则以下结论错误的是 （ ） A. B. C. 若点 和 均在抛物线上，则 D. 若点 在二次函数的图象上，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质（对称轴、最值、函数值比较），熟练掌握二次函数的图象特征与代数表达式的关系是解题的关键．先根据二次函数与x轴的交点坐标，结合对称轴、函数最值、函数值比较等知识，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，． ∴ ，， ∴将两式相加，得，即，故B项正确，不符合题意； ∵ ，关于对称轴对称， ∴ 对称轴为， ∵ ，且抛物线开口向下（）， ∴ 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，对应函数值，故C项正确，不符合题意． ∵ 对称轴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下，， ∴ ，故A项错误，符合题意． ∵ 对称轴为，抛物线开口向下， ∴ 当时，函数取得最大值， ∵ 点在图象上，即， ∴ ，即，故D项正确，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特点作答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 11. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式． 12. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C在x轴上，，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】设点A，B的纵坐标为，则，，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：设点A，B的纵坐标为，则，， ∵， ， ． 13. 如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、扇形面积公式，由三角形内角和定理可得，由题意可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接和，点、、三点在一条直线上，与交于点．给出下面四个结论：①是等边三角形；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．旋转变换的性质可知，推出都是等边三角形，故①正确，再证明，推出，可以判定③④正确，利用反证法判断②错误． 【详解】解：旋转变换的性质可知， 都是等边三角形，故①正确， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④正确， 若，则，不符合已知条件，故②错误． 故答案为：①③④． 三、解答题（共75分） 15. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用因式分解法求解； （2）用配方法求解． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：； 【小问2详解】 ， 移项，得， 配方，得， 所以， 所以， 解得：． 16. 双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）， 补全条形图如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图与扇形统计图以及画树状图法求概率．明确频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键． （1）根据等级的人数和百分比得出总人数，进而求出等级的学生人数，再补全条形图； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取学生名， 故答案为：， 等级的学生有（名） 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为， 抽取的两人恰好都是男生的概率为． 17. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点P即为所求，点P的坐标． ． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． （1）求证：与相切； （2）若的半径为，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：如下图，过O作于H， 正方形， ， 是⊙O的切线， ， ， 为的半径， 为的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论； （2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的半径为， ， 由（1）可知， ， ， ， 四边形是正方形， ， 则在中， ，即， ， 解得：， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 19. 在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上． （1）求F（N）与s（m）之间的函数关系式； （2）当力达到10N时，求物体在力的方向上移动的距离． 【答案】（1）F（N）与x（m）之间的函数关系式为 （2）当力达到10N时，物体在力的方向上移动的离为1.2m 【解析】 【分析】（1）设，把P（4，3）代入求解即可； （2）把代入（1）中关系式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可设， 将点P（4，3）代入上式得：. 解得， F（N）与s（m）之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：当力时，， 解得 当力达到10N时，物体在力的方向上移动的离为1.2m． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 20. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 21. 已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图像与性质， （1）首先根据题意可知该二次函数的图像的对称轴为，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图像开口向下,且对称轴为,顶点坐标为,进而可知在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故当时，函数均在对称轴的同侧，然后分在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，关于的二次函数的顶点横坐标是1， 即该二次函数的图像的对称轴为， ∴，解得， ∴该函数解析式为； 【小问2详解】 结合（1）可知，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为，顶点坐标为, ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵当，函数有最大值，且， ∴当时，均在对称轴的同侧， ①若在对称轴的左侧，可知，即， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）； ②若在对称轴的右侧，可知， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，当或时，该二次函数有最大值． 22. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1） 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． （3） 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $