7.3三角函数的图象及性质题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3三角函数的性质和图象 知识点1 五点作图法作正弦函数和余弦函数的简图 （1） 在正弦函数的图象中，五个关键点是:，， （2） 在余弦函数的图象中，五个关键点：，， 知识点2 正弦函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：当时，；当时， 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 单调性：在上是增函数；在上是减函数 对称性：对称中心: 对称轴: 知识点3 余弦函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：当时，；当时， 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性：偶函数 单调性：在上是增函数；在上是减函数 对称性：对称中心: 对称轴: 知识点4 正切函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：既无最大值也无最小值 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 单调性：在上是增函数 对称性：对称中心: 对称轴:无 知识点5 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期，最小正周期公式为： 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的最小正周期公式为： 知识点6 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩 （2） 平移 口诀：左加右减，上加下减 题型一 正弦函数的图象 1．已知、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质与函数的性质逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，当时，满足，但，故A不正确； 对于B，当时，满足，但，故B不正确； 对于C，函数在上为减函数，若，则，故C正确； 对于D，当时，满足，但，故D不正确. 故选：C. 2．函数，的零点个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】令得，结合，得到根的个数，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 故或或或，解得或或或， 所以零点个数为4. 故选：C 3．已知那么 【答案】 【分析】令，解得，再根据解析式求解即可. 【详解】因为，故令，解得， 所以 故答案为： 4．已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题设，直接求出，进而可得，再利用图象过点，即可求解. 【详解】由表易知，，又，所以，解得， 又时，，所以，得到， 又，所以，则， 故答案为：. 5．已知函数，用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图像并求它在上的增区间. 【答案】图像见解析，在上的增区间为，. 【分析】用五点法，列表，描点，连线，作函数在内的简图；通过图像直接写出单调递增区间. 【详解】列表 0 1 0 0 描点、连线得到图像如下： 由图可知，时，单调递增，时，单调递增， 所以在上的增区间为，. 题型2 余弦函数的图象 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数，指、对函数的单调性可得. 【详解】. 故选：D. 2．函数的部分图象为（    ） A．    B．   C．  D．   【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 当时，，所以，故排除C. 故选：B 3．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】首先画出它们各自的图象，然后根据余弦函数的性质和图象可判断交点个数. 【详解】令，因为，所以. 根据余弦函数的图象和性质，画出它们的图象为：    从图象可以看出它们的交点个数为4个. 故选：C. 4．在上，使不等式成立的的集合为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 5．设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是 ．（写出一个满足条件的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解方程得，然后取，则，即可得满足条件的一个点坐标. 【详解】要求函数与的交点，即先解方程， 两边同时除以（），得，其解为， 取，则，此时， 因此，点的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 正（余）弦（型）函数的单调性 1．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代入法即可求解的单调递减区间. 【详解】令，则， 所以函数的单调递减区间为， 当时，，则. 经检验ACD均不满足题意. 故选：B. 2．下列区间中，函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质求出在上的递减区间，再判断各选项区间是否为其子集即可. 【详解】由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 经检验，仅是的子集，其余选项中的区间均不是其子集. 故选：B 3．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 4．函数，在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递减 【答案】B 【分析】首先根据三角函数诱导公式，得到，再根据余弦函数的单调性即可判断出正确选项. 【详解】因为， 根据余弦函数的单调性得：原函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故选：. 5．函数在上的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数的单调递增区间，然后根据所给条件进一步求出函数在上的单调递增区间即可. 【详解】由， 得， 当时，在上的单调递增区间为， 当时，在上的单调递增区间为， 故答案为：． 题型四 正余弦型函数的定义域、值域和最值 1．（多选）下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对四个选项的函数依次求其值域，即可得到答案. 【详解】对于A选项，的值域为，故错误； 对于B选项，的值域为，正确； 对于C选项，的值域为，故错误； 对于D选项，的值域为，正确. 故选：BD 2．函数在上的最大值与最小值之和是 【答案】/ 【分析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴最大值与最小值之和为， 故答案为：. 3．已知函数． (1)求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； (2)当时，求的最大值及最小值，并求出相应的的取值． 【答案】(1)最小正周期为； (2)时，最大值为；时，最小值为. 【分析】（1）利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，根据，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （2）根据，求得，结合正弦函数的性质可求答案. 【详解】（1）由函数，可得函数的最小正周期为， 由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 4．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的最值及其相应的值. 【答案】(1)；单调递增区间为 (2)最大值为1，；最小值为， 【分析】（1）利用求函数的最小正周期，利用整体思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间. （2）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）函数的最小正周期为：； 由，得， ∴函数的单调递增区间为. （2）， ， ∴当，即时，函数有最大值1， 当时，即时，函数有最小值. 5．已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调增区间； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式来求解. （2）利用正弦函数的单调性，通过解不等式来确定单调区间. （3）先确定自变量的取值范围，再根据正弦函数的值域来求解的值域. 【详解】（1）函数的最小正周期为； （2）令，得, 所以函数的单调递增区间为. （3）因为，所以， 所以当时，即，取得最小值； 当时，即，取得最大值1. 所以在区间上的值域为. 题型五 正余弦型函数的奇偶性 1．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦函数、指数函数、幂函数的单调性和奇偶性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，在上单调递减，在上单调递减，A错误； 对于B，，不恒成立， 为定义在上的奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，，为定义在上的偶函数； 当时，，又在上单调递增，在上单调递增，C正确； 对于D，，不恒成立， 为定义在上的奇函数，D错误. 故选：C. 2．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由简单幂函数、对数函数、余弦函数的性质判断A、B、D，由奇偶性定义及二次函数的性质判断C. 【详解】由为奇函数，为非奇非偶函数，故B、D不符合， 由为偶函数，但在上不单调，A不符合， 由的定义域为R，且，则为偶函数， 根据二次函数的性质，在上单调递增，C符合. 故选：C 3．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义,结合函数解析式判断单调性可得答案. 【详解】对于A，时，，函数在上单调递增，A错误； 对于B，函数是奇函数，B错误； 对于C，函数是偶函数，当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，由得函数的定义域为，不关于原点中心对称，D错误. 故选：C. 5．函数是 函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 6．若为奇函数，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据余弦函数的性质找到符合题意的的值即可. 【详解】函数的定义域为， 当时， 则，所以为奇函数， 同理当时也为奇函数， 故均能使为奇函数. 故答案为：（答案不唯一） 题型六 正余弦型函数的周期性 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 2．下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为的周期为， 当时，， 此时不单调递增，故A错误； 对于B，因为的周期为，且函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的周期为，不满足题意，故C错误； 对于D，作出的部分图象，如图所示： 由此可得函数的周期为，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 3．下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各选项函数的周期性，再判断其在上的单调性，筛选出同时满足“非周期函数”和“单调递增”的选项. 【详解】对于选项A：，其图像关于轴对称， 时，时，无周期性重复图像，故不是周期函数. 当时，，在上单调递增，符合题意. 对于选项B：，当时，， 在上单调递减，不符合递增要求. 对于选项C：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 对于选项D：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 故选：A 4．（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用周期的计算公式即可. 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 故选：ABC. 5．（多选）列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项. 【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； B.函数的最小正周期为，故B错误； C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误. 故选：AC 题型七 正余弦型函数的对称性 1．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】令求解. 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 2．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入余弦函数的对称性的公式，，即可求解. 【详解】由余弦函数的对称性可知，，， 所以，，且， 所以的最小值为. 故选：B 3．函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质求出函数的对称轴方程，即可判断. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意. 故选：B 4．（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ）． A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的最大值 C．与有相同的零点 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】AB 【分析】对于和的最小正周期、最大值、零点和对称轴进行分析即可. 【详解】对于：因为，可得最小正周期，， 令，得零点为：， 令，解得，故对称轴为； 对于：因为，可得最小正周期,， 令，得零点为：, 令，解得，故对称轴为； 综上可得，和的最小正周期和最大值相同. 故选：AB 5．（多选）已知函数，，则下列命题正确的是（    ） A． B．的对称中心为， C．的图象关于对称 D．的图象和的图象关于对称 【答案】ACD 【分析】直接代入计算即可判断A；根据正弦函数与余弦函数的性质即可判断C，利用设点法即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，根据余弦函数的性质知的对称中心为，故B错误； 对C，根据正弦函数性质知的图象关于对称，故C正确； 对D，设是图象上任意一点，则它关于直线 对称点为， 而， 因此点在的图象上， 同理设是图象上任意一点， 可证其关于直线 对称点为在的图象上， 所以的图象和的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD. 题型八 正切型函数的图象及性质 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 2．下列函数中是偶函数且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，以及函数值域，即可求解， 【详解】，是偶函数， 值域为，故A错误， ，是奇函数， 值域为，故B错误， ，，是偶函数， 值域为，故C正确， ,，是奇函数， 值域为，故D错误， 故选：C 3．下列函数中，定义域是 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，求得函数的定义域，进而得到答案. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，不符合题意； 对于B，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，符合题意； 对于C，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，不符合题意； 对于D，要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域不是，不符合题意. 故选：B. 4．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 5．已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 题型九 图象的平移伸缩 1．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换的规则，先求出图象向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式． 【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 2．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将点代入变换得到的解析式，结合范围求解. 【详解】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】由题意， 对于A，，所以是图象的一条对称轴； 对于B，，所以不是图象的一条对称轴； 对于C，，所以不是图象的一条对称轴； 对于D，，所以不是图象的一条对称轴. 故选：A. 4．（多选）若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 【答案】BC 【分析】由题可求得可对C判断；可得即可对A判断求解；利用正弦型函数的值域可对B求解；由即可对D判断. 【详解】C：由函数的图象向左平移后为 ， 因关于原点对称，所以，，解得，， 又因为，所以，即，故C正确； A：由题可得，故A错误； B：由值域为，所以的最小值为，故B正确； D：由， 故D错误. 故选：BC. 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型十 三角函数性质的综合应用 1．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，将转换为，再代入已知解析式即可求解． 【详解】函数是偶函数，又是最小正周期为的周期函数， 当时，， ，故D正确． 故选：D． 2．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象中的零点和最低点求出的最小正周期,从而求出,再代入最低点结合可求出， 从而得到函数的解析式，再由三角函数图象伸缩变换的规律可得函数的解析式. 【详解】观察图象中的零点和最低点，可知，所以最小正周期，故， 将最低点代入可得，即， 由余弦函数的性质可知，又，所以取0，得， 所以,将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知. 故选：C. 3．（多选）下列结论正确的是（   ） A．在上为增函数 B．函数的图象关于点对称 C．“，”的否定是“，” D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】由正切函数、余弦函数的性质判断A、B，由特称量词命题的否定为全称量词命题判断C，由抽象函数的定义域求法求定义域判断D. 【详解】由正切函数的性质知，在上为增函数，A对， 由余弦函数的性质知，的图象关于点对称，B对， 由特称量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为，，C错， 由的定义域为，则对于有，即定义域为，D对. 故选：ABD 4．已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围. 【详解】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 故答案为： 5．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 课后习题 题组A 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质，利用代入验证的方法，可判断A、B；求出函数的单调区间，即可判断C、D. 【详解】A：，所以的图象关于点对称，正确； B：是函数的最大值，故直线是图象的一条对称轴，正确； C、D：由，解得， 所以的单调递增区间为， 当时，在上单调递增，而，故C正确，D错误. 故选：D 2．下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 3．函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 4．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 6．已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及即可求解. 【详解】因为正弦型函数的图象过点， 所以，又，故. 故选：B 7．（多选）若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 【答案】BC 【分析】由题可求得可对C判断；可得即可对A判断求解；利用正弦型函数的值域可对B求解；由即可对D判断. 【详解】C：由函数的图象向左平移后为 ， 因关于原点对称，所以，，解得，， 又因为，所以，即，故C正确； A：由题可得，故A错误； B：由值域为，所以的最小值为，故B正确； D：由， 故D错误. 故选：BC. 8．函数的值域为 【答案】 【分析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【详解】因为，所以，则， 故的值域为． 故答案为： 9．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 10．已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】由 时，，结合函数的单调性列出关于m的不等式，即可求出. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 题组B 1．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 2．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 3．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 4．已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知正弦函数关于对称，得出，求出表达式，再利用的范围确定的值． 【详解】，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 5．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体思想，根据正弦函数的最值以及单调性，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】由，则，由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得，则，即， 化简可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 6．函数的部分图像如图所示，则 ．    【答案】 【分析】由函数图象求得，再根据函数周期性求解即可. 【详解】由题知：函数的振幅为，周期满足， 所以，即，所以， 又，故， 所以，即， 所以 所以，，， ，，， 所以 故答案为： 7．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）由，求解即可； （3）由，得到 ，再结合正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）因为的图象关于直线对称，所以，， 解得，. 因为，所以. （2）由（1）得. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，. （3）由，可得. 因为的值域是，所以， 解得.故m的取值范围是. 8．已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知，现将函数进行化简，得到，然后根据周期为，利用即可求解出的值，然后根据给的范围，利用整体法求解函数的对称中心即可； （2）可以先求解出的单调递增区间，根据条件，满足为该区间的子集，从而得到不等关系，求解即可. 【详解】（1）由周期为且，得， 解得，即， 令，解得， 所以的对称中心的坐标为； （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增. 由题知，存在使得成立，则必有， 因为给定区间包含正数和负数，而当时，单调递增区间为正， 当时，单调递增区间为负，故只能取， 则，解得，故. 所以的最大值为. 9．已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 【答案】(1) (2) (3)时，函数有最大值，时，函数有最小值 【分析】（1）通过正弦型函数的周期公式，求函数的最小正周期. （2）利用整体思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间. （3）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值以及相应的值. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）由，， 得， 所以函数的单调递增区间为； （3），，， 当，即时，函数有最大值， 当时，即时，函数有最小值 10．已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的周期为可得，然后根据给定的范围，利用整体法求解函数的值域即可； （2）先求出的单调增区间，从而得到不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由， 由周期为且，得， 解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为． （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增． 由题知，存在使得成立，则必有 则，解得，故，所以的最大值为． 题组C 1．函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，利用正弦函数的周期公式和对称性得到，再利用函数的周期性可得. 【详解】    过点作轴于点，则由题意得. 因为是正三角形，所以. 设函数的最小正周期为，则. 因为，所以，所以. 因为，所以，，所以，，， 所以，，解得，. 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 2．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先从函数的奇偶性入手，图像关于原点对称，说明 是奇函数；再结合特殊点的函数值符号（如 处的符号）和零点情况来筛选各选项. 【详解】由图像可知 是奇函数， 选项A中， ，是奇函数， 时，，，而图像在 处并非零点，A错误； 选项B中， ，为偶函数，B错误； 选项C中， ，是奇函数， 时 ，，与图像零点一致， 时 ，，与图像趋势相符， C正确； 选项D中， ，是奇函数，但是，而图像在 处并非零点，D错误. 故选：C 3．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、三角函数的性质，确定，，的取值范围，判断即可. 【详解】在上单调递增， ， ， 在单调递减， ， ， ， 在区间单调递增， ， ， . 故选：B 4．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调区间求得，然后分，和，结合正弦函数单调性讨论即可得解. 【详解】由函数在上单调可知，得， 所以，所以， 当 时，，函数 在该区间不单调，故舍去， 因此只需考虑 的情况， 因为，所以， 当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则， 所以即； 当时，要使在上单调，则， 所以即. 综上，的最大值为. 故选：C 5．（多选）已知函数，则（ ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】直接代入计算可判断A的正误；根据正切函数周期性可判断B的正误；根据正切函数的对称性，整体代入求解，可判断C的正误；利用正切函数单调性解不等式，可判断D的正误. 【详解】对于选项A，，所以A正确； 对于选项B，的最小正周期，所以B错误； 对于选项C，由正切函数对称中心得，解得， 所以图象的对称中心为，所以C错误； 对于选项D，由得， 所以，解得，所以D正确. 故选：AD. 6．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论，分在区间有3个零点且在区间有2个零点，在区间有4个零点且在区间有1个零点，和在区间有5个零点且在区间没有零点，三种情况求解即可. 【详解】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数. 当时，，得到， （1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时， 满足 ，得到； （2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时， 满足或 ，得到； （3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时， 满足 ，无解； 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为：. 7．函数的部分图象如图，，则 ． 【答案】 【分析】先根据正弦函数图像求出的值,然后利用周期及零点求出的值.最后利用对称性及周期求出的值. 【详解】结合题意可知,, 又由图像可知,,即,又因为，解得. 又由,即， 即,从而,故. 因为，所以与之间的对称轴为. 由图像可以知道该对称轴与零点之间的距离为. 因为，，所以. 所以. 故答案为：. 8．已知 (1)求； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可. 【详解】（1）依题意，，且，所以， 又因为，，； ，； 所以； 所以； （2）由（1）知，，； 所以； 又，所以，即， 解得，且； 所以原不等式的解集为且. 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3三角函数的性质和图象 知识点1 五点作图法作正弦函数和余弦函数的简图 （1） 在正弦函数的图象中，五个关键点是: ， ， （2） 在余弦函数的图象中，五个关键点： ， ， 知识点2 正弦函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：当时，；当时， 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性： 单调性：在 上是增函数；在 上是减函数 对称性：对称中心: 对称轴: 知识点3 余弦函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：当时，；当时， 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性： 单调性：在 上是增函数；在 上是减函数 对称性：对称中心: 对称轴: 知识点4 正切函数的图象及性质： 定义域： 值域： 最值：既无最大值也无最小值 周期性：周期： 最小正周期： 奇偶性： 单调性：在 上是增函数 对称性：对称中心: 对称轴: 知识点5 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期，最小正周期公式为： 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的最小正周期公式为： 知识点6 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩 （2） 平移 口诀：左加右减，上加下减 题型一 正弦函数的图象 1．已知、，且，则（    ） A． B． C． D． 2．函数，的零点个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知那么 4．已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为 ． 5．已知函数，用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图像并求它在上的增区间. 题型2 余弦函数的图象 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象为（    ） A．    B．   C．  D．   3．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．在上，使不等式成立的的集合为 . 5．设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是 ．（写出一个满足条件的坐标即可） 题型三 正余弦型函数的单调性 1．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列区间中，函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 3．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 4．函数，在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递减 5．函数在上的单调递增区间是 ． 题型四 正余弦型函数的定义域、值域和最值 1．（多选）下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 2．函数在上的最大值与最小值之和是 3．已知函数． (1)求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； (2)当时，求的最大值及最小值，并求出相应的的取值． 4．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的最值及其相应的值. 5．已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调增区间； (3)求函数在区间上的值域. 题型五 正余弦型函数的奇偶性 1．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．函数是 函数（填“奇”或“偶”） 6．若为奇函数，则的一个取值为 ． 题型六 正余弦型函数的周期性 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 题型七 正余弦型函数的对称性 1．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ）． A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的最大值 C．与有相同的零点 D．与的图象有相同的对称轴 5．（多选）已知函数，，则下列命题正确的是（    ） A． B．的对称中心为， C．的图象关于对称 D．的图象和的图象关于对称 题型八 正切型函数的图象及性质 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是偶函数且值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，定义域是 的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 5．已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 题型九 图象的平移伸缩 1．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 题型十 三角函数性质的综合应用 1．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列结论正确的是（   ） A．在上为增函数 B．函数的图象关于点对称 C．“，”的否定是“，” D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 4．已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 5．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 课后习题 题组A 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 3．函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 8．函数的值域为 9．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 10．已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 题组B 1．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 4．已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图像如图所示，则 ．    7．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 8．已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 9．已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 10．已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 题组C 1．函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （   ）    A． B． C． D． 2．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 3．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则（ ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 6．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 7．函数的部分图象如图，，则 ． 8．已知 (1)求； (2)解关于的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $